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9.已知多项式$x^{a+1}y^2 - x^3 + x^2y -1$是关于$x,y$的五次四项式，单项式$-8x^2y^3z$的次数为$b$，$c$是最小的正整数，求$(a - b)^{c+1}$的值。
答案
解：
因为多项式$x^{a+1}y^2 - x^3 + x^2y -1$是关于$x,y$的五次四项式，该多项式的最高次项次数为5，其中项$-x^3$的次数是3，项$x^2y$的次数是3，因此最高次项只能是$x^{a+1}y^2$，可得：
$a+1+2=5$
解得$a=2$。
单项式的次数是所有字母的指数和，对于单项式$-8x^2y^3z$，可得：
$b=2+3+1=6$
又因为$c$是最小的正整数，所以$c=1$。
将$a=2$，$b=6$，$c=1$代入$(a - b)^{c+1}$：
$(a-b)^{c+1}=(2-6)^{1+1}=(-4)^2=16$
因为多项式$x^{a+1}y^2 - x^3 + x^2y -1$是关于$x,y$的五次四项式，该多项式的最高次项次数为5，其中项$-x^3$的次数是3，项$x^2y$的次数是3，因此最高次项只能是$x^{a+1}y^2$，可得：
$a+1+2=5$
解得$a=2$。
单项式的次数是所有字母的指数和，对于单项式$-8x^2y^3z$，可得：
$b=2+3+1=6$
又因为$c$是最小的正整数，所以$c=1$。
将$a=2$，$b=6$，$c=1$代入$(a - b)^{c+1}$：
$(a-b)^{c+1}=(2-6)^{1+1}=(-4)^2=16$
解析
【分析】
要计算$(a - b)^{c+1}$的值，需先求出$a$、$b$、$c$三个参数的值，具体思路如下：1. 求$a$：多项式的次数是最高次项的次数，题目给出的是关于$x,y$的五次四项式，先判断多项式各项的次数，可知只有$x^{a+1}y^2$可能是最高次项，根据该项次数为5即可列方程求出$a$；2. 求$b$：单项式的次数是所有字母的指数和，直接计算给定单项式的字母指数和即可得到$b$；3. 求$c$：最小的正整数是1，直接得到$c$的值；最后将三个参数代入代数式计算结果即可。
【解析】
因为多项式$x^{a+1}y^2 - x^3 + x^2y -1$是关于$x,y$的五次四项式，多项式的次数为最高次项的次数，观察各项次数：$-x^3$的次数是3，$x^2y$的次数是3，常数项$-1$的次数是0，因此最高次项为$x^{a+1}y^2$，可得：
$a+1+2=5$
解得$a=2$
单项式的次数为所有字母的指数和，对于单项式$-8x^2y^3z$，其次数$b=2+3+1=6$
又因为$c$是最小的正整数，所以$c=1$
将$a=2$，$b=6$，$c=1$代入$(a - b)^{c+1}$得：
$(a-b)^{c+1}=(2-6)^{1+1}=(-4)^2=16$
【答案】
$16$
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，有理数乘方运算
【点评】
本题考查整式相关基础概念的应用，解题核心是准确掌握多项式次数、单项式次数的定义，再结合正整数的性质求出未知参数即可求解，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.8
要计算$(a - b)^{c+1}$的值，需先求出$a$、$b$、$c$三个参数的值，具体思路如下：1. 求$a$：多项式的次数是最高次项的次数，题目给出的是关于$x,y$的五次四项式，先判断多项式各项的次数，可知只有$x^{a+1}y^2$可能是最高次项，根据该项次数为5即可列方程求出$a$；2. 求$b$：单项式的次数是所有字母的指数和，直接计算给定单项式的字母指数和即可得到$b$；3. 求$c$：最小的正整数是1，直接得到$c$的值；最后将三个参数代入代数式计算结果即可。
【解析】
因为多项式$x^{a+1}y^2 - x^3 + x^2y -1$是关于$x,y$的五次四项式，多项式的次数为最高次项的次数，观察各项次数：$-x^3$的次数是3，$x^2y$的次数是3，常数项$-1$的次数是0，因此最高次项为$x^{a+1}y^2$，可得：
$a+1+2=5$
解得$a=2$
单项式的次数为所有字母的指数和，对于单项式$-8x^2y^3z$，其次数$b=2+3+1=6$
又因为$c$是最小的正整数，所以$c=1$
将$a=2$，$b=6$，$c=1$代入$(a - b)^{c+1}$得：
$(a-b)^{c+1}=(2-6)^{1+1}=(-4)^2=16$
【答案】
$16$
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，有理数乘方运算
【点评】
本题考查整式相关基础概念的应用，解题核心是准确掌握多项式次数、单项式次数的定义，再结合正整数的性质求出未知参数即可求解，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.8
10.如图,从一个长方形中剪下两个大小相同的正方形留下一个“T”形(阴影部分).
(1)用含x,y的代数式表示“T”形的面积(可以不化简);
(2)若x=6米,y=20米,“T”形区域铺上价格为每平方米20元的草坪,请计算草坪的造价.
(1)用含x,y的代数式表示“T”形的面积(可以不化简);
(2)若x=6米,y=20米,“T”形区域铺上价格为每平方米20元的草坪,请计算草坪的造价.
答案
10. (1)$(2x+y)(x+2y)-2y^2$ 或 $2x(2y+x)+xy$ (2)13 440元
解析
【分析】
对于(1)求“T”形阴影面积，可采用两种常用思路：思路一（整体减空白）：先计算原大长方形的总面积，再减去2个空白正方形的面积，剩余部分就是阴影面积；观察图形可确定大长方形的长为$y+x+y=x+2y$，宽为$2x+y$，空白正方形的边长为$y$，对应代入即可列出代数式。思路二（分割求和）：把阴影部分拆分为上方的长方形和下方中间的小长方形，分别计算两个规则长方形的面积再相加即可。
对于(2)，只需将$x=6$、$y=20$代入(1)得到的代数式算出阴影面积，再乘以每平方米草坪的单价20元，即可求出总造价。
【解析】
(1) 方法1：整体减空白法
原大长方形的长为$x+2y$，宽为$2x+y$，面积为$(2x+y)(x+2y)$；
两个空白正方形的边长均为$y$，总面积为$2y^2$；
因此“T”形的面积为$(2x+y)(x+2y)-2y^2$。
方法2：分割求和法
上方阴影长方形的长为$x+2y$，宽为$2x$，面积为$2x(x+2y)$；
下方中间阴影小长方形的长为$y$，宽为$x$，面积为$xy$；
因此“T”形的面积为$2x(x+2y)+xy$。
(2) 将$x=6$，$y=20$代入$2x(x+2y)+xy$计算阴影面积：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=2×6×(6+2×20)+6×20\\&=12×46+120\\&=552+120\\&=672\ (\mathrm{平方米})\end{aligned}$
草坪总造价为：$672×20=13440$（元）
【答案】
(1) $(2x+y)(x+2y)-2y^2$（或$2x(2y+x)+xy$）
(2) 13440元
【知识点】
列代数式，代数式求值，割补法求面积
【点评】
本题核心考查不规则图形面积的计算，解题关键是灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形的和或差计算，代入求值时需注意运算顺序，这类结合实际场景的题型能较好地考查代数式相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
对于(1)求“T”形阴影面积，可采用两种常用思路：思路一（整体减空白）：先计算原大长方形的总面积，再减去2个空白正方形的面积，剩余部分就是阴影面积；观察图形可确定大长方形的长为$y+x+y=x+2y$，宽为$2x+y$，空白正方形的边长为$y$，对应代入即可列出代数式。思路二（分割求和）：把阴影部分拆分为上方的长方形和下方中间的小长方形，分别计算两个规则长方形的面积再相加即可。
对于(2)，只需将$x=6$、$y=20$代入(1)得到的代数式算出阴影面积，再乘以每平方米草坪的单价20元，即可求出总造价。
【解析】
(1) 方法1：整体减空白法
原大长方形的长为$x+2y$，宽为$2x+y$，面积为$(2x+y)(x+2y)$；
两个空白正方形的边长均为$y$，总面积为$2y^2$；
因此“T”形的面积为$(2x+y)(x+2y)-2y^2$。
方法2：分割求和法
上方阴影长方形的长为$x+2y$，宽为$2x$，面积为$2x(x+2y)$；
下方中间阴影小长方形的长为$y$，宽为$x$，面积为$xy$；
因此“T”形的面积为$2x(x+2y)+xy$。
(2) 将$x=6$，$y=20$代入$2x(x+2y)+xy$计算阴影面积：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=2×6×(6+2×20)+6×20\\&=12×46+120\\&=552+120\\&=672\ (\mathrm{平方米})\end{aligned}$
草坪总造价为：$672×20=13440$（元）
【答案】
(1) $(2x+y)(x+2y)-2y^2$（或$2x(2y+x)+xy$）
(2) 13440元
【知识点】
列代数式，代数式求值，割补法求面积
【点评】
本题核心考查不规则图形面积的计算，解题关键是灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形的和或差计算，代入求值时需注意运算顺序，这类结合实际场景的题型能较好地考查代数式相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
11.现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图①所示$(a＞1)$.某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形(不重叠无缝隙)，如图②和图③所示，其面积分别为$S_1,S_2$.
(1)请用含$a$的式子分别表示$S_1,S_2$；
(2)当$a=2$时，求$S_1+S_2$的值.
(1)请用含$a$的式子分别表示$S_1,S_2$；
(2)当$a=2$时，求$S_1+S_2$的值.
答案
11. (1)$S_1=a^2+3a+2,S_2=5a+1$ (2)当$a=2$时,$S_1+S_2=23.$
解析
【分析】
解决本题可以按照以下思路：(1)先分别计算甲、乙、丙三种卡片的单个面积，再分别数出图②、图③中三种卡片的数量，将各卡片面积相加即可得到对应拼接长方形的面积$S_1$和$S_2$，也可以通过求出拼接后长方形的长和宽，用长方形面积公式直接计算。(2)先将$S_1$和$S_2$的表达式相加化简，再把$a=2$代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算三种卡片的面积：
甲为边长是$a$的正方形，面积为$a · a = a^2$；
乙为长$a$、宽$1$的长方形，面积为$a · 1 = a$；
丙为边长是$1$的正方形，面积为$1 · 1 =1$。
观察图②，共包含1张甲、3张乙、2张丙，因此：
$S_1 = a^2 + 3a + 2×1 = a^2 + 3a + 2$；
观察图③，共包含5张乙、1张丙，因此：
$S_2 = 5a + 1×1 = 5a + 1$。
(2) 先求$S_1 + S_2$的表达式：
$S_1 + S_2 = (a^2 + 3a + 2) + (5a + 1) = a^2 + 8a + 3$，
将$a=2$代入上式：
$S_1 + S_2 = 2^2 + 8×2 + 3 = 4 + 16 + 3 = 23$。
【答案】
(1) $S_1=a^2+3a+2$，$S_2=5a+1$；(2) $23$
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合图形拼接考查整式的相关应用，解题的核心是准确把握拼接图形的面积组成，既可以通过拆分求和计算面积，也可以通过求整体长宽计算面积，能锻炼学生的图形观察能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.8
解决本题可以按照以下思路：(1)先分别计算甲、乙、丙三种卡片的单个面积，再分别数出图②、图③中三种卡片的数量，将各卡片面积相加即可得到对应拼接长方形的面积$S_1$和$S_2$，也可以通过求出拼接后长方形的长和宽，用长方形面积公式直接计算。(2)先将$S_1$和$S_2$的表达式相加化简，再把$a=2$代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算三种卡片的面积：
甲为边长是$a$的正方形，面积为$a · a = a^2$；
乙为长$a$、宽$1$的长方形，面积为$a · 1 = a$；
丙为边长是$1$的正方形，面积为$1 · 1 =1$。
观察图②，共包含1张甲、3张乙、2张丙，因此：
$S_1 = a^2 + 3a + 2×1 = a^2 + 3a + 2$；
观察图③，共包含5张乙、1张丙，因此：
$S_2 = 5a + 1×1 = 5a + 1$。
(2) 先求$S_1 + S_2$的表达式：
$S_1 + S_2 = (a^2 + 3a + 2) + (5a + 1) = a^2 + 8a + 3$，
将$a=2$代入上式：
$S_1 + S_2 = 2^2 + 8×2 + 3 = 4 + 16 + 3 = 23$。
【答案】
(1) $S_1=a^2+3a+2$，$S_2=5a+1$；(2) $23$
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合图形拼接考查整式的相关应用，解题的核心是准确把握拼接图形的面积组成，既可以通过拆分求和计算面积，也可以通过求整体长宽计算面积，能锻炼学生的图形观察能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.8
