1. 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E,F,G 分别在边 BC,AB,CD 上,AE⊥FG,垂足为 O.
(1)求证:AE = FG.
(2)如图 2,平移线段 FG,使 DG = BE,连接 OD.
①求证:OD = AD;
②如图 3,连接 OB,当 D,O,B 三点共线时,求$\dfrac{AD^{2}}{OG^{2}}$的值.
(1)求证:AE = FG.
(2)如图 2,平移线段 FG,使 DG = BE,连接 OD.
①求证:OD = AD;
②如图 3,连接 OB,当 D,O,B 三点共线时,求$\dfrac{AD^{2}}{OG^{2}}$的值.
答案
(1)见解析；(2)①见解析；②(2+√2)/2
解析
(1)过点F作FH⊥CD于H，∵正方形ABCD，∴FH=BC=AB，∠B=∠FHG=90°。∵AE⊥FG，∴∠BAE+∠AFG=90°，又∠HFG+∠AFG=90°，∴∠BAE=∠HFG。∴△ABE≌△FHG(ASA)，∴AE=FG。
(2)①设正方形边长AD=a，建立坐标系：A(0,0),B(a,0),C(a,a),D(0,a)。设E(a,e)，则BE=e，DG=BE=e，G(e,a)。设F(f,0)，FG斜率k= a/(e-f)，AE斜率k'=e/a，由AE⊥FG得(e/a)(a/(e-f))=-1，解得f=2e，F(2e,0)。联立AE:y=(e/a)x与FG:y=(-a/e)x+2a，得O(2a²e/(a²+e²),2ae²/(a²+e²))。OD²=(2a²e/(a²+e²))²+(2ae²/(a²+e²)-a)²=a²，∴OD=AD。
②D(0,a),B(a,0)，直线DB:y=-x+a。O在DB上，∴2a²e/(a²+e²)+2ae²/(a²+e²)=a，化简得e²+2ae-a²=0，解得e=a(√2-1)。G(e,a)，OG²=(a²-e²)²/(a²+e²)=2-√2，AD²=a²=1，∴AD²/OG²=1/(2-√2)=(2+√2)/2。
(2)①设正方形边长AD=a，建立坐标系：A(0,0),B(a,0),C(a,a),D(0,a)。设E(a,e)，则BE=e，DG=BE=e，G(e,a)。设F(f,0)，FG斜率k= a/(e-f)，AE斜率k'=e/a，由AE⊥FG得(e/a)(a/(e-f))=-1，解得f=2e，F(2e,0)。联立AE:y=(e/a)x与FG:y=(-a/e)x+2a，得O(2a²e/(a²+e²),2ae²/(a²+e²))。OD²=(2a²e/(a²+e²))²+(2ae²/(a²+e²)-a)²=a²，∴OD=AD。
②D(0,a),B(a,0)，直线DB:y=-x+a。O在DB上，∴2a²e/(a²+e²)+2ae²/(a²+e²)=a，化简得e²+2ae-a²=0，解得e=a(√2-1)。G(e,a)，OG²=(a²-e²)²/(a²+e²)=2-√2，AD²=a²=1，∴AD²/OG²=1/(2-√2)=(2+√2)/2。
