7. 如图 1，在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y = a(x + 2)(x - 3)$与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴负半轴交于点$C$。连接$BC$，$\tan \angle ABC = 2$。
（1）求抛物线的表达式。
（2）设点$D$在直线$BC$下方的抛物线上。
①连接$OD$，$BD$，$CD$，设$\triangle OBD$的面积为$S_{1}$，$\triangle BCD$的面积为$S_{2}$，当$S_{1} + S_{2}$的值最大时，求点$D$的坐标；
②如图 2，设$AD$所在直线绕点$A$逆时针旋转$45^{\circ}$后与射线$CB$相交于点$E$，与抛物线交于另一点$F$，当$\frac{AE}{AF} = \frac{40}{33}$时，直接写出点$F$的横坐标。
（1）求抛物线的表达式。
（2）设点$D$在直线$BC$下方的抛物线上。
①连接$OD$，$BD$，$CD$，设$\triangle OBD$的面积为$S_{1}$，$\triangle BCD$的面积为$S_{2}$，当$S_{1} + S_{2}$的值最大时，求点$D$的坐标；
②如图 2，设$AD$所在直线绕点$A$逆时针旋转$45^{\circ}$后与射线$CB$相交于点$E$，与抛物线交于另一点$F$，当$\frac{AE}{AF} = \frac{40}{33}$时，直接写出点$F$的横坐标。
答案
（1）$y=x^2-x-6$；（2）①$(1,-6)$；②$\frac{7}{2}$
解析
（1）抛物线$y=a(x+2)(x-3)$与x轴交于$A(-2,0)$，$B(3,0)$。令$x=0$得$C(0,-6a)$，由$\tan\angle ABC=\frac{OC}{OB}=\frac{6a}{3}=2a=2$，得$a=1$，故抛物线表达式为$y=x^2-x-6$。
（2）①直线$BC$：$y=2x-6$。设$D(m,m^2-m-6)$，则$S_1=\frac{3}{2}(-n)$，$S_2=\frac{3}{2}(2m-n-6)$，$S_1+S_2=-3m^2+6m+9$。当$m=1$时，$S_1+S_2$最大，此时$D(1,-6)$。
②设直线$AD$斜率为$k$，旋转后直线$AE$斜率为$\frac{k+1}{1-k}$。联立方程求得$F$横坐标$x_F=\frac{2(2-k)}{1-k}$，$E$横坐标$x_E=\frac{4(k-2)}{3k-1}$。由$\frac{AE}{AF}=\frac{40}{33}$得$15k^2-22k-9=0$，解得$k=-\frac{1}{3}$，代入得$x_F=\frac{7}{2}$。
（2）①直线$BC$：$y=2x-6$。设$D(m,m^2-m-6)$，则$S_1=\frac{3}{2}(-n)$，$S_2=\frac{3}{2}(2m-n-6)$，$S_1+S_2=-3m^2+6m+9$。当$m=1$时，$S_1+S_2$最大，此时$D(1,-6)$。
②设直线$AD$斜率为$k$，旋转后直线$AE$斜率为$\frac{k+1}{1-k}$。联立方程求得$F$横坐标$x_F=\frac{2(2-k)}{1-k}$，$E$横坐标$x_E=\frac{4(k-2)}{3k-1}$。由$\frac{AE}{AF}=\frac{40}{33}$得$15k^2-22k-9=0$，解得$k=-\frac{1}{3}$，代入得$x_F=\frac{7}{2}$。
