例1 (1)在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 50^{\circ}$，则$\angle B =$；
(2)(限制顶角)已知$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle A = 50^{\circ}$，则$\triangle ABC$的顶角度数是；
(3)(不限制)已知$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle A = 50^{\circ}$，则$\angle B =$。

65°；50°或80°；50°或65°或80°

(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∠A=50°，∠B=(180°-50°)/2=65°；
(2)①∠A为顶角时，顶角度数50°；②∠A为底角时，顶角=180°-2×50°=80°，顶角度数50°或80°；
(3)①∠A为顶角时，∠B=(180°-50°)/2=65°；②∠A为底角，∠B为底角时，∠B=50°；③∠A为底角，∠B为顶角时，∠B=180°-2×50°=80°，∠B=50°或65°或80°

例2 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$70^{\circ}$，则等腰三角形的顶角度数为。

20°或160°

分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部。此时高与另一腰的夹角为70°，则顶角=90°-70°=20°；
2. 当等腰三角形顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部。此时高与另一腰的夹角为70°，则顶角的补角=90°-70°=20°，顶角=180°-20°=160°。
综上，顶角度数为20°或160°。

例3 (1)已知一个等腰三角形的两边长分别为$5\mathrm{cm}$，$7\mathrm{cm}$，则第三条边的边长是，该三角形的周长是；
(2)已知一个等腰三角形的两条边的边长分别为$2\mathrm{cm}$和$5\mathrm{cm}$，则第三条边的边长是。

(1) 5cm或7cm，17cm或19cm；(2) 5cm

(1) 当5cm为腰长时，三角形的三边分别为5cm，5cm，7cm，满足三角形三边关系，则周长为5+5+7=17cm；
当5cm为底边时，三角形三边分别为5cm，7cm，7cm，满足三角形三边关系，则周长为5+7+7=19cm；
所以第三条边长为5cm或7cm，周长为17cm或19cm；
(2) 当2cm为腰长时，三角形三边分别为2cm，2cm，5cm，因为2+2＜5，不满足三角形三边关系；
当2cm为底边时，三角形三边分别为2cm，5cm，5cm，满足三角形三边关系，所以第三条边长为5cm。

例4 等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为$9$和$12$的两部分，则这个等腰三角形的腰长为。

$6$或$8$

例5 如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 5\mathrm{cm}$，$BC = 4\mathrm{cm}$，动点$P$从点$A$出发，以$2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向点$B$运动，到达点$B$时停止运动，设运动时间为$t\mathrm{s}$，在运动过程中，当$t$的值为时，$\triangle ACP$为等腰三角形。

$1.25$或$1.5$或$1.8$

在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$AB = 5\mathrm{cm}$，$BC = 4\mathrm{cm}$，根据勾股定理$AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}$，可得$AC = \sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3\mathrm{cm}$。
动点$P$从点$A$出发，速度为$2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$，运动时间为$t\mathrm{s}$，则$AP = 2t\mathrm{cm}$。
当$\triangle ACP$为等腰三角形时，分三种情况讨论：
情况一：当$AC = AP$时
即$3 = 2t$，解得$t = 1.5÷ 2=1.5÷2 = 1.5（错误计算修正为） = 1.5÷2?（原式3 = 2t，t=3/2=1.5的运算逻辑正确） 1.5$（实际应为$t = 1.5$） ，$t = 1.5$，此时$AP = 3\mathrm{cm}$，$P$点未到达$B$点，符合题意。
情况二：当$PA = PC$时
此时$\angle A = \angle PCA$，因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle PCA+\angle PCB = 90^{\circ}$，所以$\angle B=\angle PCB$，则$PB = PC$，所以$PA = PB$。
因为$AB = AP + PB = 5\mathrm{cm}$，且$AP = PB$，所以$AP=\frac{5}{2}= 2.5\mathrm{cm}$，由$AP = 2t = 2.5$，解得$t = 1.25$。
情况三：当$CA = CP$时
过点$C$作$CH⊥ AB$于$H$，根据面积法$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC× BC=\frac{1}{2}AB× CH$，即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CH$，解得$CH=\frac{12}{5} = 2.4\mathrm{cm}$。
再根据勾股定理$AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{3^{2}-2.4^{2}}=\sqrt{9 - 5.76}=\sqrt{3.24}= 1.8\mathrm{cm}$。
因为$CA = CP$，$CH⊥ AP$，所以$AP = 2AH = 3.6\mathrm{cm}$，由$AP = 2t = 3.6$，解得$t = 1.8$。

1. 如图，在平面直角坐标系中，矩形$OABC$的顶点$A$，$C$的坐标分别为$(5,0)$，$(0,3)$，点$P$在$BC$边上运动，当$\triangle OAP$是等腰三角形时，点$P$的坐标为。

(1,3)，(2.5,3)，(4,3)

∵矩形OABC中，A(5,0)，C(0,3)，∴B(5,3)，BC边在直线y=3上，设P(x,3)(0≤x≤5)。△OAP为等腰三角形分三种情况：
1. OA=OP：OA=5，OP=√(x²+3²)=5，解得x=4（x=-4舍去），P(4,3)；
2. OA=AP：AP=√[(x-5)²+3²]=5，解得x=1（x=9舍去），P(1,3)；
3. OP=AP：√(x²+3²)=√[(x-5)²+3²]，解得x=2.5，P(2.5,3)。
综上，P的坐标为(1,3)，(2.5,3)，(4,3)。

2. 在正方形$ABCD$中，$M$为对角线$BD$的中点，点$N$在边$AD$上(不与点$A$重合)，$AB = 1$。当以点$D$，$M$，$N$为顶点的三角形是等腰三角形时，$AN$的长为。

1/2或1 - √2/2

以D为原点，建立坐标系，设D(0,0)，A(0,1)，B(1,1)，C(1,0)，则M为BD中点，坐标(0.5,0.5)。设N(0,n)，0＜n＜1，AN=1-n，DN=n，MN=√[(0.5)²+(0.5-n)²]，DM=√2/2。
分三种情况讨论：
1. DM=DN：√2/2 = n，AN=1 - √2/2；
2. DM=MN：√[0.25+(0.5-n)²]=√2/2，解得n=0（N与D重合）或n=1（N与A重合），均舍去；
3. DN=MN：n=√[0.25+(0.5-n)²]，解得n=0.5，AN=1 - 0.5=1/2。
综上，AN的长为1/2或1 - √2/2。