对点训练 4. 某公司计划从商场购买一批台灯和手电筒,已知台灯的单价比手电筒的单价高50元,用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等,则手电筒的单价为元.

手电筒单价为$30$（答案处填写数字即可）填（此句不输出）$30$

设手电筒的单价为$x$元，则台灯的单价为$(x + 50)$元。
根据题意，用$240$元购买台灯的数量和用$90$元购买手电筒的数量相等，可列出方程：
$\frac{240}{x + 50} = \frac{90}{x}$
交叉相乘得：$240x = 90(x + 50)$
去括号得：$240x = 90x + 4500$
移项得：$240x - 90x = 4500$
合并同类项得：$150x = 4500$
系数化为$1$得：$x = 30$
经检验，$x = 30$是原方程的解，且符合题意。

例1 (2025凉山州改编)已知关于x的分式方程$\frac{x + m}{x - 2}+\frac{1}{2 - x}=3$.
(1)若该方程的解为$x = 3$,则$m =$;
(2)若该方程无解,求m的值;
(3)若该方程的解为正数,则m的取值范围为.

（1）$1$；（2）$-1$；（3）$m＞-5且m\neq - 1$。

（1）将$x=3$代入原方程$\frac{x + m}{x - 2} +\frac{1}{2 - x}=3$，因为$2-x=-(x - 2)$，原方程可化为$\frac{x + m}{x - 2}-\frac{1}{x - 2}=3$，即$\frac{x + m - 1}{x - 2}=3$。
把$x = 3$代入$\frac{x + m - 1}{x - 2}=3$得$\frac{3 + m - 1}{3 - 2}=3$，$\frac{m + 2}{1}=3$，解得$m = 1$。
（2）方程两边同乘$(x - 2)$得$x + m - 1 = 3(x - 2)$，
去括号得$x + m - 1 = 3x - 6$，
移项、合并同类项得$-2x=-5 - m$，
系数化为$1$得$x=\frac{m + 5}{2}$，
若分式方程无解，则分式分母为$0$，即$x-2=0$，$x = 2$，
把$x = 2$代入$x=\frac{m + 5}{2}$得$\frac{m + 5}{2}=2$，解得$m=-1$；
当$-2x=-5 - m$中一次项系数为$0$时，即$-2 = 0$（不成立），此时方程也无解情况不存在，所以$m=-1$时方程无解。
当$m+5 = 4$（即通过整式方程无解情况分析（此处整式方程为一元一次方程一定有解）），综合分式分母为$0$的情况，$m=-1$。
（3）由（2）知$x=\frac{m + 5}{2}$，因为方程的解为正数，所以$\frac{m + 5}{2}＞0$，且$\frac{m + 5}{2}\neq2$，
由$\frac{m + 5}{2}＞0$得$m+5＞0$，$m＞- 5$；由$\frac{m + 5}{2}\neq2$得$m+5\neq4$，$m\neq - 1$，
所以$m$的取值范围是$m＞-5$且$m\neq - 1$。

例2 (北师八下P129改编)某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元. 求第一年每间房屋的租金.
解:设第一年每间房屋的租金为x元,则第二年每间房屋的租金为元.

根据题意,得. 解得$x =$.
经检验,,且符合题意.
答:第一年每间房屋的租金为元.

第一年每间房屋的租金为 $x$ 元处的答案为：$x+500$；
所有房屋出租的租金处的答案为：$\frac{96000}{x}$（或$\frac{102000}{x+500}$ ）；
得方程处的答案为：$\frac{96000}{x}=\frac{102000}{x+500}$；
$x=$ 处的答案为：8000；
经检验处的答案为：$x=8000$是原方程的解；
第一年每间房屋的租金处的答案为：8000。

设第一年每间房屋的租金为 $x$ 元，第二年每间房屋的租金为 $x + 500$ 元。
第一年所有房屋的租金总额为 9.6 万元，即 96000 元。
第二年所有房屋的租金总额为 10.2 万元，即 102000 元。
房屋数量在两年中保持不变。
根据题意，可以列出以下方程：
第一年的房屋数量为 $\frac{96000}{x}$，
第二年的房屋数量为 $\frac{102000}{x + 500}$。
由于房屋数量不变，因此：
$\frac{96000}{x} = \frac{102000}{x + 500}$，
交叉相乘得：
$96000(x + 500) = 102000x$，
$96000x + 48000000 = 102000x$，
$48000000 = 6000x$，
$x = 8000$
经检验，$x = 8000$ 是原方程的解，且符合题意。
答：第一年每间房屋的租金为 8000 元。

例3 某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署,对通往某偏远学校的一段全长为1200m的道路进行了改造,铺设柏油路面. 铺设400m后,为了尽快完成道路改造,后来每天的工作效率比原计划提高25%,结果共用13天完成了道路改造任务. 原计划每天铺设路面多少米?
解:设原计划每天铺设路面x m,则提高工作效率后每天铺设路面m.
根据题意,得.

解得$x =$.
经检验,,且符合题意.
答:原计划每天铺设路面m.

80

设原计划每天铺设路面 $ x $ 米，则提高工作效率后每天铺设路面 $ 1.25x $ 米。
根据题意，得：
$\frac{400}{x} + \frac{1200 - 400}{1.25x} = 13$。
简化方程：
$\frac{400}{x} + \frac{800}{1.25x} = 13$，
$\frac{400}{x} + \frac{640}{x} = 13$，
$\frac{1040}{x} = 13$，
$x = \frac{1040}{13}$，
$x = 80$。
经检验，$ x = 80 $ 是原方程的解，且符合题意。
答：原计划每天铺设路面 80 米。