12. 如图 1,菱形 $ ABCD $ 的对角线相交于点 $ O $,$ \frac{AC}{BD} = \frac{3}{2} $,点 $ M $ 为 $ OC $ 的中点,点 $ P $ 为边 $ BC $ 上的一个动点,连接 $ OP $,过点 $ O $ 作 $ OP $ 的垂线交 $ CD $ 于点 $ Q $,点 $ P $ 从点 $ B $ 出发匀速运动到点 $ C $,设 $ BP = x $,$ MQ = y $,$ y $ 随 $ x $ 变化的图象如图 2 所示,则图 2 中 $ a $ 的值为(
A.$ \sqrt{7} $
B.3
C.$ 3\sqrt{2} $
D.5
B
)A.$ \sqrt{7} $
B.3
C.$ 3\sqrt{2} $
D.5
答案
B
解析
设菱形对角线AC=3k，BD=2k，O为对角线交点，则OC=3k/2，OB=k，M为OC中点，M(3k/4,0)。
由OP⊥OQ，∠POB=∠QOC，∠OBP=∠OCQ，得△OBP∽△OCQ，相似比OB/OC=2/3，故CQ=3x/2。
设P在BC上，坐标为参数形式，结合CD直线方程求得Q点坐标，进而表示MQ距离y。
化简得y²=9/(52)(13x²-6√13x+13)，二次函数最小值对应y=3，即a=3。
由OP⊥OQ，∠POB=∠QOC，∠OBP=∠OCQ，得△OBP∽△OCQ，相似比OB/OC=2/3，故CQ=3x/2。
设P在BC上，坐标为参数形式，结合CD直线方程求得Q点坐标，进而表示MQ距离y。
化简得y²=9/(52)(13x²-6√13x+13)，二次函数最小值对应y=3，即a=3。
13. 如图,等边三角形 $ ABC $ 的边长为 1,点 $ D $ 从点 $ A $ 出发,沿 $ A \to C \to B $ 运动.在运动过程中,过点 $ D $ 作 $ AB $ 边的垂线,交 $ AB $ 于点 $ G $.设线段 $ AG $ 的长度为 $ x $,$ Rt\triangle AGD $ 的面积为 $ y $,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数图象正确的是(
C
)答案
C
解析
等边△ABC边长为1，∠A=∠B=60°。点D运动分两段：
① D在AC上（0≤x≤$\frac{1}{2}$）：Rt△AGD中，∠A=60°，DG=AG·tan60°=√3x，面积y=$\frac{1}{2}$·x·√3x=(√$\frac{3}{2}$)x²，为开口向上的抛物线，x=$\frac{1}{2}$时y=√$\frac{3}{8}$。
② D在CB上（$\frac{1}{2}$≤x≤1）：BG=1-x，Rt△BGD中，DG=BG·tan60°=√3(1-x)，面积y=$\frac{1}{2}$·x·√3(1-x)=(√$\frac{3}{2}$)(x-x²)，为开口向下的抛物线，x=$\frac{1}{2}$时y=√$\frac{3}{8}$，x=1时y=0。
图象先为开口向上抛物线（0≤x≤$\frac{1}{2}$），再为开口向下抛物线（$\frac{1}{2}$≤x≤1），顶点均在($\frac{1}{2}$,√$\frac{3}{8}$)。
① D在AC上（0≤x≤$\frac{1}{2}$）：Rt△AGD中，∠A=60°，DG=AG·tan60°=√3x，面积y=$\frac{1}{2}$·x·√3x=(√$\frac{3}{2}$)x²，为开口向上的抛物线，x=$\frac{1}{2}$时y=√$\frac{3}{8}$。
② D在CB上（$\frac{1}{2}$≤x≤1）：BG=1-x，Rt△BGD中，DG=BG·tan60°=√3(1-x)，面积y=$\frac{1}{2}$·x·√3(1-x)=(√$\frac{3}{2}$)(x-x²)，为开口向下的抛物线，x=$\frac{1}{2}$时y=√$\frac{3}{8}$，x=1时y=0。
图象先为开口向上抛物线（0≤x≤$\frac{1}{2}$），再为开口向下抛物线（$\frac{1}{2}$≤x≤1），顶点均在($\frac{1}{2}$,√$\frac{3}{8}$)。
14. 如图,在菱形 $ ABCD $ 中,$ \angle A = 60^{\circ} $,$ AB = 4\ cm $,动点 $ M,N $ 同时从 $ A $ 点出发,点 $ M $ 以 $ 2\ cm/s $ 的速度沿 $ A \to B \to C $ 向终点 $ C $ 运动;点 $ N $ 以 $ 1\ cm/s $ 的速度沿线段 $ AD $ 向终点 $ D $ 运动,当其中一点运动至终点时,另一点随之停止运动.设运动时间为 $ x(s) $,$ \triangle AMN $ 的面积为 $ y(cm^2) $,则下列正确表示 $ y $ 与 $ x $ 函数关系的图象是(
A
)答案
A
解析
1. 确定运动时间范围：N需4s（AD=4cm，1cm/s），M需4s（AB+BC=8cm，2cm/s），故0≤x≤4。
2. 分段讨论M位置：
0≤x≤2（M在AB上）：AM=2x，AN=x，∠A=60°，y=1/2·AM·AN·sin60°=1/2·2x·x·(√3/2)=(√3/2)x²（抛物线，x=2时y=2√3）。
2＜x≤4（M在BC上）：坐标法得M(x+2,(x-2)√3)，N(x/2,(x√3)/2)，面积公式得y=√3 x（直线，x=4时y=4√3）。
3. 图像：0-2s为开口向上抛物线，2-4s为直线。
2. 分段讨论M位置：
0≤x≤2（M在AB上）：AM=2x，AN=x，∠A=60°，y=1/2·AM·AN·sin60°=1/2·2x·x·(√3/2)=(√3/2)x²（抛物线，x=2时y=2√3）。
2＜x≤4（M在BC上）：坐标法得M(x+2,(x-2)√3)，N(x/2,(x√3)/2)，面积公式得y=√3 x（直线，x=4时y=4√3）。
3. 图像：0-2s为开口向上抛物线，2-4s为直线。
1. (2025 河南,10)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素,在一定条件下,它会随车速的变化而变化.研究发现,某款轮胎的摩擦系数 $ \mu $ 与车速 $ v(km/h) $ 之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是(
A.汽车静止时,这款轮胎的摩擦系数为 $ 0.9 $
B.当 $ 0 \leq v \leq 60 $ 时,这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于 $ 0.71 $,车速应不低于 $ 60\ km/h $
D.若车速从 $ 25\ km/h $ 增大到 $ 60\ km/h $,则这款轮胎的摩擦系数减小 $ 0.04 $
C
)A.汽车静止时,这款轮胎的摩擦系数为 $ 0.9 $
B.当 $ 0 \leq v \leq 60 $ 时,这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于 $ 0.71 $,车速应不低于 $ 60\ km/h $
D.若车速从 $ 25\ km/h $ 增大到 $ 60\ km/h $,则这款轮胎的摩擦系数减小 $ 0.04 $
答案
C
解析
A. 当车速$v=0$（静止）时，由图像知$\mu=0.9$，A正确；
B. 当$0 \leq v \leq 60$时，图像呈下降趋势，摩擦系数随车速增大而减小，B正确；
C. 当$v=25\ \mathrm{km/h}$时，$\mu=0.75\geq0.71$，说明车速低于$60\ \mathrm{km/h}$时摩擦系数也可不低于$0.71$，C错误；
D. 车速从$25\ \mathrm{km/h}$到$60\ \mathrm{km/h}$，$\mu$从$0.75$减小到$0.71$，减小了$0.75 - 0.71=0.04$，D正确。
B. 当$0 \leq v \leq 60$时，图像呈下降趋势，摩擦系数随车速增大而减小，B正确；
C. 当$v=25\ \mathrm{km/h}$时，$\mu=0.75\geq0.71$，说明车速低于$60\ \mathrm{km/h}$时摩擦系数也可不低于$0.71$，C错误；
D. 车速从$25\ \mathrm{km/h}$到$60\ \mathrm{km/h}$，$\mu$从$0.75$减小到$0.71$，减小了$0.75 - 0.71=0.04$，D正确。
2. (2024 河南,10)把多个用电器连接在同一个插线板上,同时使用一段时间后,插线板的电源线会明显发热,存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究,得到时长一定时,插线板电源线中的电流 $ I $ 与使用电器的总功率 $ P $ 的函数图象(如图 1),插线板电源线产生的热量 $ Q $ 与 $ I $ 的函数图象(如图 2).下列结论中错误的是(
A.当 $ P = 440\ W $ 时,$ I = 2\ A $
B.$ Q $ 随 $ I $ 的增大而增大
C.$ I $ 每增加 $ 1\ A $,$ Q $ 的增加量相同
D.$ P $ 越大,插线板电源线产生的热量 $ Q $ 越多
C
)A.当 $ P = 440\ W $ 时,$ I = 2\ A $
B.$ Q $ 随 $ I $ 的增大而增大
C.$ I $ 每增加 $ 1\ A $,$ Q $ 的增加量相同
D.$ P $ 越大,插线板电源线产生的热量 $ Q $ 越多
答案
C
解析
1.选项 A：观察图1，可以看到当 $ P = 440\ W $ 时，电流 $ I = 2\ A $，所以选项 A 是正确的。
2.选项 B：观察图2，可以看到 $ Q $ 随 $ I $ 的增大而增大，所以选项 B 是正确的。
3.选项 C：从图2中可以看出，$ Q $ 与 $ I $ 的关系是二次函数关系，即 $ Q $ 与 $ I^2 $ 成正比。因此，$ I $ 每增加 $ 1\ A $，$ Q $ 的增加量并不相同，所以选项 C 是错误的。
4.选项 D：从图1中可以看到，功率 $ P $ 越大，电流 $ I $ 越大。从图2中可以看到，电流 $ I $ 越大，产生的热量 $ Q $ 越多。因此，选项 D 是正确的。
所以错误的是选项 C。
2.选项 B：观察图2，可以看到 $ Q $ 随 $ I $ 的增大而增大，所以选项 B 是正确的。
3.选项 C：从图2中可以看出，$ Q $ 与 $ I $ 的关系是二次函数关系，即 $ Q $ 与 $ I^2 $ 成正比。因此，$ I $ 每增加 $ 1\ A $，$ Q $ 的增加量并不相同，所以选项 C 是错误的。
4.选项 D：从图1中可以看到，功率 $ P $ 越大，电流 $ I $ 越大。从图2中可以看到，电流 $ I $ 越大，产生的热量 $ Q $ 越多。因此，选项 D 是正确的。
所以错误的是选项 C。
