1. (教材习题变式)若$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - 6x - 7 = 0$的两个根，则（ ）
A. $x_1 + x_2 = 6$
B. $x_1 + x_2 = -6$
C. $x_1x_2 = \dfrac{7}{6}$
D. $x_1x_2 = 7$

A

2. 若$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - ax - 2 = 0$的两个根，则（ ）
A. $x_1 ≠ x_2$
B. $x_1 + x_2 ＞ 0$
C. $x_1 x_2 ＞ 0$
D. $x_1 ＜ 0, x_2 ＜ 0$

A

3. 若关于$x$的方程$x^2+(2-k)x+k^2=0$的两根互为倒数，则$k$的值为（ ）
A. $3$
B. $1$
C. $-1$
D. $\pm1$

C

4. (1)已知方程$x^2 - 7x + 3 = 0$的两根是$x_1$、$x_2$，则$x_1 + x_2=\_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2=\_\_\_\_\_\_$．
(2)已知方程$2x^2 - 5x = 0$的两根是$x_1$、$x_2$，则$x_1 + x_2=\_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2=\_\_\_\_\_\_$．
(3)设$x_1$、$x_2$是关于$x$的一元二次方程$2x^2 - 3x - 5 = 0$的两根，则$x_1 + x_2=\_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2=\_\_\_\_\_\_$．

7
; 3
; $\frac{5}{2}$ ; 0
; $\frac{3}{2}$ ; $-\frac{5}{2}$

5. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - kx - 6 = 0$的一个根为$x = 3$，则另一个根为______．

$-2$

6. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 5x + c = 0 $的两个实数根分别是$ x_1 $、$ x_2 $，且$ x_1 + x_2 = x_1x_2 $，则$ c = \_\_\_\_\_\_ $．

5

7. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2x - 5 = 0 $ 的两根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，求下面各式的值.
(1) $ x_1^2 + x_2^2 $；
(2) $ (x_1 - x_2)^2 $；
(3) $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $；
(4) $ (x_1 - 3)(x_2 - 3) $.

解：根据韦达定理，对于方程$x^{2}-2x - 5 = 0，$$x_1 + x_2 = 2，$$x_1x_2 = - 5。$ $x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=2^2 - 2\times(-5)=4 + 10 = 14。$ ; 解：$(x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2=2^2 - 4\times(-5)=4 + 20 = 24。$ ; 解：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}=\frac{2}{-5}=-\frac{2}{5}。$ ; 解：$(x_1 - 3)(x_2 - 3)=x_1x_2 - 3x_1 - 3x_2 + 9=x_1x_2 - 3(x_1 + x_2)+9=-5 - 3\times2 + 9=-5 - 6 + 9=-2。$

8. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + 4x + m - 1 = 0 $有两个实数根，分别为$ x_1 $、$ x_2 $。
(1)求$ m $的取值范围。
(2)若$ 2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0 $，求$ m $的值。

(1)解：因为方程$x^{2}+4x + m - 1 = 0$有两个实数根，所以$\Delta=b^{2}-4ac\geq0，$其中$a = 1，$$b = 4，$$c = m - 1。$ 则$4^{2}-4\times1\times(m - 1)=16 - 4m + 4=20 - 4m\geq0，$ 移项可得$4m\leq20，$解得$m\leq5。$ (2)解：由根与系数的关系得$x_1 + x_2=-4，$$x_1x_2=m - 1。$ 因为$2(x_1 + x_2)+x_1x_2 + 10 = 0，$所以$2\times(-4)+m - 1 + 10 = 0，$ 即$-8 + m - 1 + 10 = 0，$$m + 1 = 0，$解得$m=-1。$ 经检验，$m = - 1$符合题意。