1. 一次函数 $ y = 2x - 4 $ 的图象与坐标轴围成的三角形面积为()
A.2
B.4
C.6
D.8

B [解析]当 $ x = 0 $ 时，$ y = - 4 $，∴一次函数 $ y = 2x - 4 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ (0, - 4) $。
当 $ y = 0 $ 时，$ x = 2 $，
∴一次函数 $ y = 2x - 4 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ (2, 0) $，
∴一次函数 $ y = 2x - 4 $ 的图象与坐标轴围成的三角形面积为 $ \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4 $。

2. 在平面直角坐标系中,一条直线与坐标轴相交于点 $ A(-2,0) $,$ B(0,m) $,且该直线与两坐标轴围成的三角形面积为 4,则点 $ B $ 的坐标为()
A.$ (0,4) $
B.$ (0,-4) $
C.$ (0,-4) $ 或 $ (0,4) $
D.无法确定

C [解析]根据题意，得 $ \frac{1}{2} × | - 2 | × | m | = 4 $，
解得 $ m = 4 $ 或 $ m = - 4 $，
∴点 $ B $ 的坐标为 $ (0, - 4) $ 或 $ (0, 4) $。

3. 在平面直角坐标系中,将直线 $ y = 2x + 1 $ 向上平移 2 个单位长度,平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是()
A.$ \frac{3}{4} $
B.$ \frac{9}{4} $
C.$ \frac{3}{2} $
D.2

B [解析]将直线 $ y = 2x + 1 $ 向上平移 2 个单位长度，得到直线 $ y = 2x + 3 $。
令 $ x = 0 $，则 $ y = 3 $；
令 $ y = 0 $，则 $ x = - \frac{3}{2} $，
∴平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是 $ \frac{1}{2} × 3 × \frac{3}{2} = \frac{9}{4} $。

4. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1:y = -x + 3 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $,$ E(m,-1) $ 是直线 $ l_1 $ 上的一点,过点 $ E $ 的另一条直线 $ l_2:y = -2x + b $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $. 求：
(1) $ m $,$ b $ 的值；$ m $=，$ b $=
(2) $ \triangle BEC $ 的面积.

解：(1)将 $ E(m, - 1) $ 代入 $ l_1:y = - x + 3 $，
得 $ - 1 = - m + 3 $，
解得 $ m = 4 $，
∴ $ E(4, - 1) $。
将 $ E(4, - 1) $ 代入 $ l_2:y = - 2x + b $，
得 $ - 1 = - 2 × 4 + b $，
解得 $ b = 7 $。
(2)由(1)可知，$ l_2:y = - 2x + 7 $，
∴当 $ x = 0 $ 时，$ y = 7 $，∴ $ C(0, 7) $。
对于 $ l_1:y = - x + 3 $，当 $ x = 0 $ 时，$ y = 3 $，∴ $ B(0, 3) $，
∴ $ BC = 4 $。
∵ $ E(4, - 1) $，
∴ $ S_{\triangle BEC} = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8 $。

5. (江苏南通通州区期中)已知直线 $ y = k_1x + 3k_1 + b $ 与直线 $ y = k_2x + 3k_2 + b $,且 $ k_1 \cdot k_2 ＜ 0 $. 若两直线与 $ y $ 轴围成的三角形面积为 9,则 $ |k_1 - k_2| $ 的值是()
A.1
B.2
C.$ \sqrt{3} $
D.3

B [解析]联立 $ \begin{cases} y = k_1x + 3k_1 + b \\ y = k_2x + 3k_2 + b \end{cases} $，
解得两直线交点的横坐标为 - 3。
∵直线 $ y = k_1x + 3k_1 + b $ 与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0, 3k_1 + b) $，直线 $ y = k_2x + 3k_2 + b $ 与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0, 3k_2 + b) $，
预备新初二 数学(SK 版)
∴两交点之间的距离为 $ | 3k_1 + b - 3k_2 - b | = 3 | k_1 - k_2 | $。
∵两直线与 $ y $ 轴围成的三角形面积为 9，
∴ $ \frac{1}{2} × 3 | k_1 - k_2 | × 3 = 9 $，
∴ $ | k_1 - k_2 | = 2 $。

6. 练思维·分类讨论思想 如图,在平面直角坐标系中,已知直线 $ y = x + 2 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $,直线 $ y = kx + k $ 恰好将 $ \triangle AOB $ 分成面积比是 $ 1:5 $ 的两部分,则 $ k = $______.

$ \frac{2}{3} $ 或 - 2 [解析]对于 $ y = x + 2 $，令 $ x = 0 $，则 $ y = 2 $，
∴ $ B(0, 2) $，∴ $ OB = 2 $。
令 $ y = 0 $，则 $ x = - 2 $，
∴ $ A( - 2, 0) $，∴ $ OA = 2 $，
∴ $ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2 $。
∵直线 $ y = kx + k = k(x + 1) $，
当 $ x = - 1 $ 时，$ y = 0 $，
∴函数图象恒过点 $ ( - 1, 0) $。
如图，设该点为 $ C $，
∴ $ AC = CO = 1 $。

∵直线 $ y = kx + k $ 恰好将 $ \triangle AOB $ 分成面积比是 $ 1:5 $ 的两部分，
∴ $ S_{\triangle COE} = \frac{1}{1 + 5}S_{\triangle AOB} = \frac{1}{6} × 2 = \frac{1}{3} $ 或 $ S_{\triangle ACD} = \frac{1}{1 + 5}S_{\triangle AOB} = \frac{1}{6} × 2 = \frac{1}{3} $。
当 $ S_{\triangle COE} = \frac{1}{3} $ 时，$ \frac{1}{2}CO \cdot EO = \frac{1}{2} × 1 × OE = \frac{1}{3} $，
解得 $ OE = \frac{2}{3} $，
∴ $ E(0, \frac{2}{3}) $。
将 $ E(0, \frac{2}{3}) $ 代入 $ y = kx + k $ 中，得
$ k = \frac{2}{3} $。
当 $ S_{\triangle ACD} = \frac{1}{3} $ 时，$ \frac{1}{2}AC \cdot y_D = \frac{1}{2} × 1 × y_D = \frac{1}{3} $，
解得 $ y_D = \frac{2}{3} $。
令 $ y = \frac{2}{3} $，
则 $ \frac{2}{3} = x + 2 $，解得 $ x = - \frac{4}{3} $，
∴ $ D( - \frac{4}{3}, \frac{2}{3}) $。
将 $ D( - \frac{4}{3}, \frac{2}{3}) $ 代入 $ y = kx + k $ 中，
得 $ \frac{2}{3} = - \frac{4}{3}k + k $，
解得 $ k = - 2 $。
综上所述，$ k = \frac{2}{3} $ 或 - 2。

7. (江苏无锡期末)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = \frac{1}{2}x + 6 $ 的图象分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ A $,$ B $,与正比例函数 $ y = kx $ 的图象交于点 $ C $.
(1) 当 $ OC $ 平分 $ \triangle AOB $ 的面积时,求正比例函数的表达式；
(2) 当 $ \triangle AOC $ 的面积为 $ \triangle BOC $ 的面积的 2 倍时,求正比例函数的表达式.

解：(1)∵一次函数 $ y = \frac{1}{2}x + 6 $ 的图象分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ A $，$ B $，
∴令 $ x = 0 $，则 $ y = 6 $；
令 $ y = 0 $，则 $ x = - 12 $，
∴ $ B(0, 6) $，$ A( - 12, 0) $。
当 $ OC $ 平分 $ \triangle AOB $ 的面积时，$ BC = AC $，即 $ C $ 为线段 $ AB $ 的中点，
∴ $ C( - 6, 3) $。
将 $ C( - 6, 3) $ 代入 $ y = kx $，得 $ - 6k = 3 $，
解得 $ k = - \frac{1}{2} $，
∴正比例函数的表达式为 $ y = - \frac{1}{2}x $。
(2)由(1)，得 $ OA = 12 $，$ OB = 6 $，
∴ $ S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} × 12 × 6 = 36 $，
∴ $ S_{\triangle AOC} = \frac{2}{3}S_{\triangle AOB} = \frac{2}{3} × 36 = 24 $，$ S_{\triangle BOC} = \frac{1}{3}S_{\triangle AOB} = \frac{1}{3} × 36 = 12 $。
如图，过点 $ C $ 分别作 $ CM \perp OA $ 于点 $ M $，$ CN \perp OB $ 于点 $ N $，

∴ $ S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2}CM \cdot OA = \frac{1}{2}CM × 12 = 24 $，$ S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}CN \cdot OB = \frac{1}{2}CN × 6 = 12 $，
解得 $ CM = 4 $，$ CN = 4 $，
∴ $ C( - 4, 4) $。
将 $ C( - 4, 4) $ 代入 $ y = kx $，得 $ - 4k = 4 $，
解得 $ k = - 1 $，
∴正比例函数的表达式为 $ y = - x $。

8. (江苏南通)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,已知 $ A(3,0) $,$ B(0,3) $,直线 $ y = kx + b $($ k $,$ b $ 为常数,且 $ k ＞ 0 $)经过点 $ (1,0) $,并把 $ \triangle AOB $ 分成两部分,其中靠近原点部分的面积为 $ \frac{15}{4} $,则 $ k $ 的值为______.

$ \frac{3}{5} $ [解析]根据题意画出函数图象如图所示。

设直线 $ AB $ 的函数表达式为 $ y = mx + n $。
把 $ A(3, 0) $，$ B(0, 3) $ 分别代入，
得 $ \begin{cases} 3m + n = 0 \\ n = 3 \end{cases} $，
解得 $ \begin{cases} m = - 1 \\ n = 3 \end{cases} $，
∴直线 $ AB $ 的函数表达式为 $ y = - x + 3 $。
∵直线 $ y = kx + b $ 经过点 $ C(1, 0) $，
∴ $ k + b = 0 $，
∴ $ b = - k $，
∴ $ y = kx - k $。
联立 $ \begin{cases} y = kx - k \\ y = - x + 3 \end{cases} $，
解得 $ \begin{cases} x = \frac{k + 3}{k + 1} \\ y = \frac{2k}{k + 1} \end{cases} $，
∴ $ D(\frac{k + 3}{k + 1}, \frac{2k}{k + 1}) $。
∵ $ A(3, 0) $，$ B(0, 3) $，$ C(1, 0) $，
∴ $ OB = 3 $，$ OA = 3 $，$ AC = 2 $。
根据题意，得 $ S_{\triangle ABO} - S_{\triangle ACD} = \frac{15}{4} $，
参考答案及解析
即 $ \frac{1}{2}OB \cdot OA - \frac{1}{2}AC \cdot y_D = \frac{15}{4} $，
∴ $ \frac{1}{2} × 3 × 3 - \frac{1}{2} × \frac{2k}{k + 1} × 2 = \frac{15}{4} $，
解得 $ k = \frac{3}{5} $。