登录
三、解答题(本大题有8个小题,共72分)
17.(本题8分)计算:
(1)$\sqrt{12} - \sqrt{2} × \sqrt{6}$;
(2)$\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}}$。
17.(本题8分)计算:
(1)$\sqrt{12} - \sqrt{2} × \sqrt{6}$;
(2)$\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}}$。
答案
17.解:(1)原式=$2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0$；
(2)原式=$2\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$。
(2)原式=$2\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路是：先将每个二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的运算法则计算，最后合并同类二次根式。第(1)问先化简$\sqrt{12}$，计算$\sqrt{2}×\sqrt{6}$后合并；第(2)问分别化简$\sqrt{8}$和$\sqrt{\frac{1}{2}}$，再合并同类二次根式。
【解析】
(1) 先化简二次根式，再计算乘法，最后合并：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
所以原式$=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0$；
(2) 分别化简二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
合并同类二次根式：原式$=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $0$；(2) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，主要考查最简二次根式的化简及同类二次根式的合并，要求学生熟练掌握二次根式的运算法则，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的混合运算，解题思路是：先将每个二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的运算法则计算，最后合并同类二次根式。第(1)问先化简$\sqrt{12}$，计算$\sqrt{2}×\sqrt{6}$后合并；第(2)问分别化简$\sqrt{8}$和$\sqrt{\frac{1}{2}}$，再合并同类二次根式。
【解析】
(1) 先化简二次根式，再计算乘法，最后合并：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
所以原式$=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0$；
(2) 分别化简二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
合并同类二次根式：原式$=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $0$；(2) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，主要考查最简二次根式的化简及同类二次根式的合并，要求学生熟练掌握二次根式的运算法则，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
18.(本题8分)解方程：
(1)$x(x-4)=1$；
(2)$(x-2)^2=2x(x-2)$。
(1)$x(x-4)=1$；
(2)$(x-2)^2=2x(x-2)$。
答案
18.解:(1)$x(x-4)=1$,因为$x^2-4x=1$,所以$x^2-4x+4=5$,所以$(x-2)^2=5$,所以$x-2=\pm\sqrt{5}$,所以$x_1=2+\sqrt{5}$,$x_2=2-\sqrt{5}$；
(2)$(x-2)^2=2x(x-2)$,因为$(x-2)^2-2x(x-2)=0$,所以$(x-2)(x-2-2x)=0$,所以$(x-2)(x+2)=0$,所以$x-2=0$或$x+2=0$,所以$x_1=2$,$x_2=-2$。
(2)$(x-2)^2=2x(x-2)$,因为$(x-2)^2-2x(x-2)=0$,所以$(x-2)(x-2-2x)=0$,所以$(x-2)(x+2)=0$,所以$x-2=0$或$x+2=0$,所以$x_1=2$,$x_2=-2$。
解析
【分析】
本题为解一元二次方程的题目，第(1)题是一般形式的一元二次方程，适合用配方法求解，思路是先整理方程为标准形式，通过配方构造完全平方式，再开方得到解；第(2)题方程含公因式，适合用因式分解法，思路是先移项使方程右边为0，提取公因式转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别令因式为0求解。
【解析】
(1) 对$x(x - 4)=1$展开得$x^2 - 4x = 1$，两边同时加4配方：$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$，即$(x - 2)^2 = 5$，开方得$x - 2 = \pm\sqrt{5}$，解得$x_1 = 2 + \sqrt{5}$，$x_2 = 2 - \sqrt{5}$；
(2) 对$(x - 2)^2 = 2x(x - 2)$移项得$(x - 2)^2 - 2x(x - 2) = 0$，提取公因式$(x - 2)$得$(x - 2)(x - 2 - 2x) = 0$，化简得$(x - 2)(x + 2) = 0$，令每个因式为0：$x - 2 = 0$或$x + 2 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$；(2)$x_1=2$，$x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的两种基础解法，需根据方程结构选择合适方法，计算时要注意移项、提取公因式等步骤的准确性，避免符号错误，是一元二次方程相关知识的典型基础题。
【难度系数】
0.6
本题为解一元二次方程的题目，第(1)题是一般形式的一元二次方程，适合用配方法求解，思路是先整理方程为标准形式，通过配方构造完全平方式，再开方得到解；第(2)题方程含公因式，适合用因式分解法，思路是先移项使方程右边为0，提取公因式转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别令因式为0求解。
【解析】
(1) 对$x(x - 4)=1$展开得$x^2 - 4x = 1$，两边同时加4配方：$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$，即$(x - 2)^2 = 5$，开方得$x - 2 = \pm\sqrt{5}$，解得$x_1 = 2 + \sqrt{5}$，$x_2 = 2 - \sqrt{5}$；
(2) 对$(x - 2)^2 = 2x(x - 2)$移项得$(x - 2)^2 - 2x(x - 2) = 0$，提取公因式$(x - 2)$得$(x - 2)(x - 2 - 2x) = 0$，化简得$(x - 2)(x + 2) = 0$，令每个因式为0：$x - 2 = 0$或$x + 2 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$；(2)$x_1=2$，$x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的两种基础解法，需根据方程结构选择合适方法，计算时要注意移项、提取公因式等步骤的准确性，避免符号错误，是一元二次方程相关知识的典型基础题。
【难度系数】
0.6
19.(本题8分)如图,点E是$□ ABCD$的边CD的中点,延长AE交BC的延长线于点F。
(1)求证:$AD=CF$;
(2)若$∠ BAF=90°$,$BC=5$,$AB=8$,求$EF$的长。
(1)求证:$AD=CF$;
(2)若$∠ BAF=90°$,$BC=5$,$AB=8$,求$EF$的长。
答案
19.解:(1)证明:因为在$□ABCD$中,$AD// BC$,所以$∠ DAE=∠ F$,$∠ D=∠ ECF$。因为点E是边CD的中点,所以$DE=CE$,所以$△ ADE≌△ FCE$(AAS),所以$AD=CF$；(2)因为在$□ABCD$中,$AD=BC=5$,所以$CF=AD=5$,所以$BF=BC+CF=5+5=10$。因为$∠ BAF=90°$,所以$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。因为$△ ADE≌△ FCE$,所以$EF=AE=\dfrac{1}{2}AF=3$。
解析
【分析】
第(1)问要证明AD=CF，需观察图形中线段所在的三角形，结合平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，再利用E是CD中点得到边相等，通过AAS证明三角形全等即可；第(2)问需利用平行四边形对边相等的性质，先求出BF的长度，再在直角三角形中用勾股定理算出AF，结合全等三角形对应边相等得到EF是AF的一半，进而求出EF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l}∠DAE=∠F \\∠D=∠ECF \\DE=CE\end{array} $
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF；
(2) 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，
由(1)知AD=CF，
∴CF=5，
∴BF=BC+CF=5+5=10，
∵∠BAF=90°，AB=8，
∴在Rt△BAF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{BF^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，
∴EF=$\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
19.解:(1)证明:因为在$□ABCD$中,$AD// BC$,所以$∠ DAE=∠ F$,$∠ D=∠ ECF$。因为点E是边CD的中点,所以$DE=CE$,所以$△ ADE≌△ FCE$(AAS),所以$AD=CF$；(2)因为在$□ABCD$中,$AD=BC=5$,所以$CF=AD=5$,所以$BF=BC+CF=5+5=10$。因为$∠ BAF=90°$,所以$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。因为$△ ADE≌△ FCE$,所以$EF=AE=\dfrac{1}{2}AF=3$。
【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形及直角三角形的相关知识，通过全等三角形证明线段相等，结合勾股定理计算线段长度，题型常规，需要学生熟练掌握相关定理的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明AD=CF，需观察图形中线段所在的三角形，结合平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，再利用E是CD中点得到边相等，通过AAS证明三角形全等即可；第(2)问需利用平行四边形对边相等的性质，先求出BF的长度，再在直角三角形中用勾股定理算出AF，结合全等三角形对应边相等得到EF是AF的一半，进而求出EF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l}∠DAE=∠F \\∠D=∠ECF \\DE=CE\end{array} $
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF；
(2) 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，
由(1)知AD=CF，
∴CF=5，
∴BF=BC+CF=5+5=10，
∵∠BAF=90°，AB=8，
∴在Rt△BAF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{BF^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，
∴EF=$\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
19.解:(1)证明:因为在$□ABCD$中,$AD// BC$,所以$∠ DAE=∠ F$,$∠ D=∠ ECF$。因为点E是边CD的中点,所以$DE=CE$,所以$△ ADE≌△ FCE$(AAS),所以$AD=CF$；(2)因为在$□ABCD$中,$AD=BC=5$,所以$CF=AD=5$,所以$BF=BC+CF=5+5=10$。因为$∠ BAF=90°$,所以$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。因为$△ ADE≌△ FCE$,所以$EF=AE=\dfrac{1}{2}AF=3$。
【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形及直角三角形的相关知识，通过全等三角形证明线段相等，结合勾股定理计算线段长度，题型常规，需要学生熟练掌握相关定理的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
