1[中]等腰三角形的周长为11 cm,其中一边长为4 cm,则该等腰三角形的腰长为 （）

A.4 cm
B.3.5 cm
C.4 cm或3.5 cm
D.3 cm

1.C 【解析】分情况考虑:当4 cm是腰长时,则底边长是11-2×4=3(cm),长为4 cm,4 cm,3 cm的线段能组成三角形.当4 cm是底边长时,腰长是(11-4)×1/2=3.5(cm),长为4 cm,3.5 cm,3.5 cm的线段能组成三角形.故选C.

2[中]若一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的一半,则此三角形底角度数为.

2.72°或45° 【解析】设这个三角形的底角的度数为x. 由题意分以下两种情况:①这个三角形的三个角的度数分别为x,x,x/2,由三角形的内角和定理得x+x+x/2=180°,解得x=72°;②这个三角形的三个角的度数分别为x,x,2x,由三角形的内角和定理得x+x+2x=180°,解得x=45°,故答案为72°或45°.
思路分析
设这个三角形的底角的度数为x,分两种情况:①底角是顶角的2倍;②顶角是底角的2倍,再根据三角形的内角和定理求解即可.

3[中]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$60°$,则等腰三角形底角的度数为 ()

A.$15°$
B.$30°$
C.$15°$或$75°$
D.$30°$或$150°$

3.C 【解析】由题意得在等腰△ABC中,AB=AC,BD为腰AC上的高,∠ABD=60°. 当BD在△ABC内部时,如图(1).
∵ BD⊥AC,
∴ ∠ADB=90°,
∴ ∠BAD=90°-60°=30°.
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB = 1/2 ( 180° - 30°)= 75°. 当BD在△ABC外部时,如图(2).
∵ BD⊥AC,
∴ ∠ADB=90°,
∴ ∠BAD=90°-60°=30°.
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB.
∵ ∠BAD=∠ABC+∠ACB,
∴ ∠ACB=1/2∠BAD=15°. 综上所述,这个等腰三角形底角的度数为75°或15°. 故选C.


关键点拨
注意分两种情况讨论:①当BD在△ABC内部时;②当BD在△ABC外部时.

4[较难]已知等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，两腰的垂直平分线交于点$P$，$∠ BPC = 100°$，则等腰三角形的顶角为（）

A.$50°$
B.$20°$
C.$50°$或$130°$
D.$50°$或$100°$

4.C 【解析】分两种情况:当点P在△ABC内部时,如图(1),连接AP,BP,PC. 因为AB和AC的垂直平分线交于点P,所以 PA = PB = PC, 所以 ∠BAP = ∠ABP, ∠PBC = ∠PCB, ∠PAC = ∠ACP. 因为 ∠BPC = 100°, 所以∠PBC+∠PCB = 180° - ∠BPC = 80°. 因为∠BAC+∠ABC+∠ACB = 180°,所以∠ABP+∠BAP + ∠ACP + ∠CAP = 180° - ( ∠PBC + ∠PCB )= 100°,所以2∠BAP+2∠CAP=100°,所以∠BAP+∠CAP=50°,所以∠BAC=50°. 当点P在△ABC外部时,如图(2),连接AP,BP,PC. 因为AB和AC的垂直平分线交于点P,所以PA=PB=PC,所以∠BAP=∠ABP,∠PAC=∠ACP. 因为∠BPC=100°,所以∠ABP + ∠BAP + ∠CAP + ∠ACP = 360° - ∠BPC = 260°,所以2∠BAP+2∠CAP=260°,所以∠BAP + ∠CAP = 130°,所以∠BAC = 130°. 综上所述,等腰三角形的顶角为50°或130°. 故选C.

5[中]已知等腰三角形的底边长为10 cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5 cm，那么这个三角形的腰长为 cm.

5.15 【解析】如图,设等腰△ABC的腰长是AB=AC=x cm. 当AD+AC-(BD+BC)=5 时,1/2 x + x - (1/2 x +10 ) = 5,解得x=15. 长为15,15,10的线段能够组成三角形. 当BC+BD-(AD+AC)=5 时,10+1/2 x -(1/2 x +x )=5,解得x=5. 长为5,5,10的线段不能组成三角形. 故这个三角形的腰长为15 cm. 故答案为15.

易错警示
设等腰三角形的腰长是x cm,根据周长的其中一部分比另一部分长5 cm列方程求解即可,注意分类讨论,不要漏解.

6[2025 陕西西安期中,中]如图,在$△ ABC$中, $∠ ABC=75°, ∠ BAC=30°$. 点 $P$ 为直线 $BC$ 上一动点,若以点 $P$ 与 $△ ABC$ 三个顶点中的两个顶点为顶点的三角形是等腰三角形,那么满足条件的点 $P$ 的位置有 ()


A.4个
B.6个
C.8个
D.9个

6.C 【解析】
∵ 在△ABC中,∠ABC = 75°,∠BAC = 30°,
∴ ∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 180° - 75° - 30° = 75°. 如图,当∠CAP₁=∠CP₁A=1/2×75°=37.5°时,△CAP₁为等腰三角形. 当∠BAP₂=∠BP₂A=1/2 ×(180°-75°)= 52.5°时,△BAP₂为等腰三角形. 当∠P''AB=∠P''BA=75°时,△P''AB为等腰三角形. 当P₃与C重合时,△ABP₃为等腰三角形. 当P₄与B重合时,△ACP₄为等腰三角形. 当∠P'AC=∠P'CA=75°时,△P'AC为等腰三角形. 当∠CAP₅=∠CP₅A=1/2×(180°-75°)= 52.5°时,△CAP₅为等腰三角形. 当∠BAP₆=∠BP₆A=1/2×75°=37.5°时,△BAP₆为等腰三角形. 综上,满足条件的点P的位置有8个. 故选C.

7[较难]如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$∠ ABC=100°$,边$BA$绕点$B$顺时针旋转$m°(0＜m＜180)$得到线段$BD$,连接$AD$,$DC$.若$△ ADC$为等腰三角形,则$m$所有可能的取值是.

7.130或100或160 【解析】由旋转的性质得BD=AB=BC.
∵ △ADC为等腰三角形,
∴ 分三种情况:①当DA=DC时,易得△ABD ≌ △CBD,
∴ ∠ABD = ∠CBD = 1/2 ( 360° - ∠ABC ) = 130°,
∴ m = 130; ②当AD=AC时,易得△ABD ≌ △ABC,
∴ ∠ABD = ∠ABC = 100°,
∴ m = 100; ③当CA=CD时,易得△CBA ≌ △CBD,
∴ ∠CBD= ∠ABC= 100°,
∴ ∠ABD= 360°- 100°- 100°= 160°,
∴ m = 160. 综上所述,m所有可能的取值为130或100或160. 故答案为130或100或160.
关键点拨
根据△ADC为等腰三角形,分DA=DC,AD=AC,CA=CD三种情况讨论.

8[2025贵州贵阳期末,中]如图,在$Rt△ ABC$中$(AB＞2BC)$,$∠ C=90°$,以$BC$为边作等腰$△ BCD$,使点$D$落在$△ ABC$的边上,则点$D$的位置有 ()


A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

8.C
方法技巧 “两圆一中垂”构造等腰三角形
已知两点A,B,找C点使得△ABC为等腰三角形:
分类讨论:
若AB=AC,则点C在以点A为圆心,线段AB的长为半径的圆上;
若BA=BC,则点C在以点B为圆心,线段AB的长为半径的圆上;
若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上.
以上简称“两圆一中垂”.
“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形,但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点M,N,以及线段AB的中点E(共除去5个点).
【解析】如图,①以BC为腰时,以B为圆心、BC长为半径画圆,与AB有一个交点D₁;以C为圆心、BC长为半径画圆,与AB有一个交点,与AC有一个交点,分别为D₂,D₃. ②以BC为底时,作BC的垂直平分线,与AB有一个交点D₄. 综上可知,点D的位置有4个,故选C.

9[中]如图,有一个三角形纸片ABC,BC为最长边,∠A=80°,点D是AC边上一点,沿BD方向将三角形纸片剪开后,发现所得两纸片均为等腰三角形,则∠C的度数可以是.

9.25°或40° 【解析】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形,对于△ABD可能有①AB=BD,此时∠ADB=∠A=80°,
∴ ∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°,
∴ ∠C=1/2(180°-100°)= 40°; ② AB = AD, 此时 ∠ADB=1/2(180°-∠A )= 1/2 ( 180° - 80° ) = 50°,
∴ ∠BDC= 180° - ∠ADB = 180° - 50° = 130°,
∴ ∠C=1/2(180°-130°)=25°;③AD=BD,此时∠ADB=180°-2×80°=20°,
∴ ∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°,
∴ ∠C=1/2( 180°-160°)= 10°. 此时∠ABC=90°,则AC为最长边,与BC为最长边矛盾,故舍去. 综上所述,∠C的度数可以为25°或40°. 故答案为25°或40°.
思路分析
分AB=BD,AB=AD,AD=BD三种情况讨论,先求出∠ADB,再求出∠BDC,然后根据等腰三角形的性质列式计算即可.