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1[2026江苏盐城质检,较难]【问题背景】把一次函数$y=2x$的图象分别沿$y$轴向上或向下平移3个单位长度,就得到一次函数$y=2x+3$或$y=2x-3$的图象.
【阅读理解】小华阅读这段文字后有个疑问:把一次函数$y=-2x$的图象沿$x$轴向右平移3个单位长度,如何求平移后的函数表达式?老师给了以下提示:如图,在一次函数$y=-2x$的图象上任意取两个点$A,B$,分别向右平移3个单位长度,得到点$A',B'$,直线$A'B'$就是一次函数$y=-2x$的图象沿$x$轴向右平移3个单位长度后得到的图象.
(1)将一次函数$y=-2x$的图象沿$x$轴向右平移3个单位长度,平移后的一次函数图象的表达式为
A.$y=-2x+3$ B.$y=-2x-3$
C.$y=-2x+6$ D.$y=-2x-6$
【解决问题】请你仿照老师的提示,解决下列问题:
(2)一次函数$y=-2x$的图象绕原点按逆时针方向旋转$90°$后得到的图象对应的函数表达式为
(3)已知一次函数$y=kx+b$的图象与直线$y=-2x$关于$x$轴对称,求此一次函数的表达式.
【拓展探究】
(4)一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x$的图象经过怎样的变化得到一次函数$y=-2x-6$的图象?(写出一种即可)
【阅读理解】小华阅读这段文字后有个疑问:把一次函数$y=-2x$的图象沿$x$轴向右平移3个单位长度,如何求平移后的函数表达式?老师给了以下提示:如图,在一次函数$y=-2x$的图象上任意取两个点$A,B$,分别向右平移3个单位长度,得到点$A',B'$,直线$A'B'$就是一次函数$y=-2x$的图象沿$x$轴向右平移3个单位长度后得到的图象.
(1)将一次函数$y=-2x$的图象沿$x$轴向右平移3个单位长度,平移后的一次函数图象的表达式为
C
. (填字母)A.$y=-2x+3$ B.$y=-2x-3$
C.$y=-2x+6$ D.$y=-2x-6$
【解决问题】请你仿照老师的提示,解决下列问题:
(2)一次函数$y=-2x$的图象绕原点按逆时针方向旋转$90°$后得到的图象对应的函数表达式为
$y=\dfrac{1}{2}x$
.(3)已知一次函数$y=kx+b$的图象与直线$y=-2x$关于$x$轴对称,求此一次函数的表达式.
【拓展探究】
(4)一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x$的图象经过怎样的变化得到一次函数$y=-2x-6$的图象?(写出一种即可)
答案
1.【解】(1)利用平移规律得,将一次函数$y=-2x$的图象沿$x$轴向右平移3个单位长度,平移后的一次函数图象的表达式为$y=-2(x-3)=-2x+6$.故答案为C.
(2)在一次函数$y=-2x$的图象上取点$A(-1,2)$,绕原点按逆时针方向旋转$90°$后得到对应的点的坐标为$(-2,-1)$.由旋转可知,旋转后的直线过原点.设旋转后的直线的表达式为$y=mx$,把$x=-2,y=-1$代入得$-1=-2m$,解得$m=\dfrac{1}{2}$,则旋转$90°$后得到的图象对应的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x$,故答案为$y=\dfrac{1}{2}x$.
(3)在一次函数$y=-2x$的图象上取两个点$A(0,0),B(1,-2)$,关于$x$轴对称的点的坐标分别为$(0,0),(1,2)$,代入$y=kx+b$得$\begin{cases} b=0, \\ k+b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=2, \\ b=0, \end{cases}$则此一次函数的表达式为$y=2x$.
(4)由(2)易知一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x$的图象绕原点按逆时针方向旋转$90°$后得到一次函数$y=2x$的图象,由(3)可知一次函数$y=2x$的图象沿$x$轴对折得到一次函数$y=-2x$的图象,再把一次函数$y=-2x$的图象沿$y$轴向下平移6个单位长度即可得到一次函数$y=-2x-6$的图象.(答案不唯一)
(2)在一次函数$y=-2x$的图象上取点$A(-1,2)$,绕原点按逆时针方向旋转$90°$后得到对应的点的坐标为$(-2,-1)$.由旋转可知,旋转后的直线过原点.设旋转后的直线的表达式为$y=mx$,把$x=-2,y=-1$代入得$-1=-2m$,解得$m=\dfrac{1}{2}$,则旋转$90°$后得到的图象对应的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x$,故答案为$y=\dfrac{1}{2}x$.
(3)在一次函数$y=-2x$的图象上取两个点$A(0,0),B(1,-2)$,关于$x$轴对称的点的坐标分别为$(0,0),(1,2)$,代入$y=kx+b$得$\begin{cases} b=0, \\ k+b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=2, \\ b=0, \end{cases}$则此一次函数的表达式为$y=2x$.
(4)由(2)易知一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x$的图象绕原点按逆时针方向旋转$90°$后得到一次函数$y=2x$的图象,由(3)可知一次函数$y=2x$的图象沿$x$轴对折得到一次函数$y=-2x$的图象,再把一次函数$y=-2x$的图象沿$y$轴向下平移6个单位长度即可得到一次函数$y=-2x-6$的图象.(答案不唯一)
2[2026陕西西安期中,中]一列快车和一列慢车同时从甲地出发,匀速驶向乙地,快车到达乙地后先停留1小时,再沿原路以原速返回甲地.快、慢两车到甲地的距离y(km)与慢车行驶的时间x(h)之间的函数关系如图所示(折线O-B-C-D为快车,线段OA为慢车).
(1)甲、乙两地相距
(2)求图中点E的坐标.
(3)请求出慢车出发多长时间后,两车相距150 km.
(1)甲、乙两地相距
400
km,快车速度是100
km/h,慢车速度是40
km/h.(2)求图中点E的坐标.
(3)请求出慢车出发多长时间后,两车相距150 km.
答案
思路分析
(1)根据图象及速度 = 路程÷时间计算即可;
(2)分别求出线段 OA, CD 所在直线的函数关系式,二者联立得到关于 x 和 y 的一元一次方程组,求解即可得到点 E 的坐标;
(3)当两车相距 150 km 时,分情况列出关于 x 的方程并求解即可.
2.【解】(1)由图象可知,甲、乙两地相距400 km,快车速度是$400÷4=100(\mathrm{km/h})$,慢车速度是$400÷10=40(\mathrm{km/h})$.故答案为400,100,40.
(2)线段 OA 所在直线的函数关系式为$y=40x$. 设线段 CD 所在直线的函数关系式为$y=-100x+b$,将点$C(5,400)$代入,得$400=-100×5+b$,解得$b=900$,$\therefore$ 线段 CD 所在直线的函数关系式为$y = - 100x + 900$. 联立得$\begin{cases} y=40x, \\ y=-100x+900, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\dfrac{45}{7}, \\ y=\dfrac{1\ 800}{7}, \end{cases}$$\therefore$ 点 E 的坐标为$(\dfrac{45}{7},\dfrac{1\ 800}{7})$.
(3)易知$D(9,0)$. 当$0≤ x≤ 4$时,$100x-40x=150$,解得$x=2.5$;当$4＜x≤ 5$时,$400-40x=150$,解得$x=6.25$(舍去);当$5＜x≤ \dfrac{45}{7}$时,$-100x+900-40x=150$,解得$x=\dfrac{75}{14}$;当$\dfrac{45}{7}＜x≤ 9$时,$40x-(-100x+900)=150$,解得$x=7.5$;当$9＜x≤ 10$时,易知两车距离大于 150 km. 综上所述,慢车出发 2.5 h 或$\dfrac{75}{14}$ h 或 7.5 h 后,两车相距 150 km.
(1)根据图象及速度 = 路程÷时间计算即可;
(2)分别求出线段 OA, CD 所在直线的函数关系式,二者联立得到关于 x 和 y 的一元一次方程组,求解即可得到点 E 的坐标;
(3)当两车相距 150 km 时,分情况列出关于 x 的方程并求解即可.
2.【解】(1)由图象可知,甲、乙两地相距400 km,快车速度是$400÷4=100(\mathrm{km/h})$,慢车速度是$400÷10=40(\mathrm{km/h})$.故答案为400,100,40.
(2)线段 OA 所在直线的函数关系式为$y=40x$. 设线段 CD 所在直线的函数关系式为$y=-100x+b$,将点$C(5,400)$代入,得$400=-100×5+b$,解得$b=900$,$\therefore$ 线段 CD 所在直线的函数关系式为$y = - 100x + 900$. 联立得$\begin{cases} y=40x, \\ y=-100x+900, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\dfrac{45}{7}, \\ y=\dfrac{1\ 800}{7}, \end{cases}$$\therefore$ 点 E 的坐标为$(\dfrac{45}{7},\dfrac{1\ 800}{7})$.
(3)易知$D(9,0)$. 当$0≤ x≤ 4$时,$100x-40x=150$,解得$x=2.5$;当$4＜x≤ 5$时,$400-40x=150$,解得$x=6.25$(舍去);当$5＜x≤ \dfrac{45}{7}$时,$-100x+900-40x=150$,解得$x=\dfrac{75}{14}$;当$\dfrac{45}{7}＜x≤ 9$时,$40x-(-100x+900)=150$,解得$x=7.5$;当$9＜x≤ 10$时,易知两车距离大于 150 km. 综上所述,慢车出发 2.5 h 或$\dfrac{75}{14}$ h 或 7.5 h 后,两车相距 150 km.
