1. (教材例题变式)一元二次方程 $x^{2}=9$ 的解是（）

A.$x=3$
B.$x_{1}=x_{2}=3$
C.$x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=-\sqrt{3}$
D.$x_{1}=3,x_{2}=-3$

1.D

【分析】
本题考查一元二次方程的求解，属于直接开平方法的应用。首先回忆平方根的定义：一个正数有两个互为相反数的平方根。对于形如$x^2=a(a≥0)$的一元二次方程，可通过直接开平方得到$x=\pm\sqrt{a}$，解题时需注意不能遗漏负根，再对应选项选出正确答案。
【解析】
解一元二次方程$x^2=9$，根据直接开平方法，方程两边同时开平方得：$x=\pm\sqrt{9}$，因为$\sqrt{9}=3$，所以方程的解为$x_1=3$，$x_2=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法、平方根的概念
【点评】
本题是教材例题的变式题，考查直接开平方法解一元二次方程，核心是掌握正数的平方根有两个，解题时需注意避免遗漏负根，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.9

2. 方程 $x^{2}+16=0$ 的根是（）

A.$x=-4$
B.$x_{1}=4,x_{2}=-4$
C.$x_{1}=x_{2}=4$
D.无实数根

2.D

【分析】本题是求一元二次方程的根，可先将方程移项变形，结合实数平方的非负性判断解的情况，也可通过一元二次方程根的判别式分析，进而选出正确选项。
【解析】解：对原方程移项得：$x^2 = -16$。
因为任意实数的平方都满足$x^2 ≥ 0$，而$-16 ＜ 0$，不存在实数$x$使得$x^2=-16$，因此方程$x^2+16=0$无实数根。
答案选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式、实数的平方性质
【点评】本题考查一元二次方程根的情况，属于基础题，只需掌握实数平方的非负性或根的判别式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.8

3. 如果关于 $x$ 的方程 $(x-9)^2=m+4$ 可以用直接开平方法求解,那么 $m$ 的取值范围是（）

A.$m＞3$
B.$m≥3$
C.$m＞-4$
D.$m≥-4$

3.D

【分析】要判断方程能用直接开平方法求解时m的范围，需明确直接开平方法的适用条件：形如$(x-a)^2=b$的方程，只有当$b≥0$时，才能用直接开平方法求解（因为任何实数的平方都是非负数，负数没有平方根）。因此本题需让方程右边的$m+4$满足非负，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】对于方程$(x-9)^2=m+4$，直接开平方法要求被开方数非负，即$m+4≥0$，解这个不等式得：$m≥-4$，因此m的取值范围是$m≥-4$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的直接开平方法，平方数的非负性
【点评】本题考查直接开平方法的核心条件，利用平方的非负性即可快速求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

4. (1)(2025·贵州)一元二次方程$x^{2}-1=0$的根是.
(2)方程$2x^{2}-4=0$的解是.
(3)方程$(x-1)^{2}=1$的根为.

4.(1)$x_1=1,x_2=-1$ (2)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$ (3)$x_1=2,x_2=0$

【分析】
本题考查一元二次方程的求解，对于缺少一次项或可整理为完全平方式的一元二次方程，采用直接开平方法解题。思路如下：
1. 方程(1)：先移项将常数项移到等号右侧，得到$x^2=a$的形式，再直接开平方求根；
2. 方程(2)：先移项后将二次项系数化为1，得到$x^2=a$的形式，再开平方得解；
3. 方程(3)：等式左边是完全平方式，直接开平方转化为两个一元一次方程，分别求解得到根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -1=0$，
移项得：$x^2=1$，
直接开平方得：$x=\pm1$，
因此方程的根为$x_1=1$，$x_2=-1$；
(2) 对于方程$2x^2 -4=0$，
移项得：$2x^2=4$，
两边同除以2得：$x^2=2$，
直接开平方得：$x=\pm\sqrt{2}$，
因此方程的解为$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$；
(3) 对于方程$(x-1)^2=1$，
直接开平方得：$x-1=\pm1$，
当$x-1=1$时，解得$x=2$；
当$x-1=-1$时，解得$x=0$；
因此方程的根为$x_1=2$，$x_2=0$；
【答案】
4.(1)$x_1=1,x_2=-1$ (2)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$ (3)$x_1=2,x_2=0$
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，步骤清晰易懂，是学生必须掌握的基础内容，适合巩固一元二次方程的基础解法。
【难度系数】
0.9

5. (1)若 $x=3$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2-c=0$ 的一个根,则 $c=$.
(2)若 $x=-2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2-4=0$ 的一个解,则这个方程的另一个解是.

5.(1)9 解析:把 $x=3$ 代入 $x^2-c=0$,得 $9-c=0$,解得 $c=9$. (2)$x=2$ 解析:把 $x=-2$ 代入 $ax^2-4=0$,得 $4a-4=0$,解得 $a=1$,故一元二次方程为 $x^2-4=0$,解得 $x_1=-2,x_2=2$,
∴方程的另一个解为 $x=2$.

【分析】
第(1)小问：根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程后等式成立，将已知根代入方程即可求出参数c；第(2)小问：先利用已知解求出方程中的参数a，得到完整的一元二次方程，再通过解方程求出另一个解，或利用一元二次方程根与系数的关系快速求解。
【解析】
(1) 因为$x=3$是方程$x^2 - c=0$的根，将$x=3$代入方程得：
$3^2 - c = 0$，即$9 - c = 0$，解得$c=9$；
(2) 因为$x=-2$是方程$ax^2 -4=0$的解，将$x=-2$代入方程得：
$a×(-2)^2 -4 =0$，即$4a -4=0$，解得$a=1$；
此时方程为$x^2 -4=0$，因式分解得$(x-2)(x+2)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=2$，故方程的另一个解为$x=2$。
【答案】
(1)9；(2)$x=2$
【知识点】
一元二次方程的根，解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及解法，属于基础题型，只要掌握根的性质和一元二次方程的求解方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

6. 解下列方程：
(1)$9x^{2}=4$；
(2)$2x^{2}-10=0$；
(3)$(x+2)^{2}=3$；
(4)$(x-3)^{2}-36=0$；
(5)$4(x-3)^{2}-5=11$；
(6)$(x+1)(x-1)=15$；
(7)$(2t-3)^{2}=0$；
(8)$(2x+1)^{2}-16=0$；
(9)$(x-2)^{2}+6=4$。

6.(1)$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$. (2)$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$. (3)$x_1=-2+\sqrt{3},x_2=-2-\sqrt{3}$. (4)$x_1=9,x_2=-3$. (5)$x_1=5,x_2=1$. (6)$x_1=4,x_2=-4$. (7)$t_1=t_2=\frac{3}{2}$. (8)$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{5}{2}$. (9)无实数解.

【分析】
这些方程均为可通过直接开平方法求解的一元二次方程，解题思路是：先将方程整理为形如$A^2=B$的形式（$A$为含未知数的整式，$B$为常数），再根据平方根的定义，当$B≥0$时，对等式两边开平方得到$A=\pm\sqrt{B}$，进而解出未知数；当$B＜0$时，方程无实数解。其中第(6)题需先利用平方差公式展开左边，再整理成标准形式。
【解析】
(1) 对$9x^2=4$，两边同除以9得：$x^2=\frac{4}{9}$，开平方得：$x=\pm\frac{2}{3}$，故$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$；
(2) 对$2x^2-10=0$，移项得：$2x^2=10$，两边同除以2得：$x^2=5$，开平方得：$x=\pm\sqrt{5}$，故$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$；
(3) 对$(x+2)^2=3$，直接开平方得：$x+2=\pm\sqrt{3}$，移项得：$x=-2\pm\sqrt{3}$，故$x_1=-2+\sqrt{3},x_2=-2-\sqrt{3}$；
(4) 对$(x-3)^2-36=0$，移项得：$(x-3)^2=36$，开平方得：$x-3=\pm6$，解得：$x=3\pm6$，故$x_1=9,x_2=-3$；
(5) 对$4(x-3)^2-5=11$，移项得：$4(x-3)^2=16$，两边同除以4得：$(x-3)^2=4$，开平方得：$x-3=\pm2$，解得：$x=3\pm2$，故$x_1=5,x_2=1$；
(6) 对$(x+1)(x-1)=15$，利用平方差公式展开左边得：$x^2-1=15$，移项得：$x^2=16$，开平方得：$x=\pm4$，故$x_1=4,x_2=-4$；
(7) 对$(2t-3)^2=0$，开平方得：$2t-3=0$，解得：$t=\frac{3}{2}$，故$t_1=t_2=\frac{3}{2}$；
(8) 对$(2x+1)^2-16=0$，移项得：$(2x+1)^2=16$，开平方得：$2x+1=\pm4$，当$2x+1=4$时，$x=\frac{3}{2}$；当$2x+1=-4$时，$x=-\frac{5}{2}$，故$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{5}{2}$；
(9) 对$(x-2)^2+6=4$，移项得：$(x-2)^2=-2$，因为任何实数的平方都非负，所以该方程无实数解。
【答案】
6.(1)$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$. (2)$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$. (3)$x_1=-2+\sqrt{3},x_2=-2-\sqrt{3}$. (4)$x_1=9,x_2=-3$. (5)$x_1=5,x_2=1$. (6)$x_1=4,x_2=-4$. (7)$t_1=t_2=\frac{3}{2}$. (8)$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{5}{2}$. (9)无实数解.
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方差公式、实数的平方非负性
【点评】
本题考查一元二次方程的直接开平方法求解，涉及平方差公式的应用及实数平方的非负性判断，是一元二次方程解法的基础题型，解题时需注意整理方程为标准形式，开平方时考虑正负情况，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.8