27. (10分)数学实验:探索裁剪多边形纸片中的规律.
【问题提出】用剪刀沿着不过顶点的直线将一张多边形纸片裁剪若干次后,得到的所有纸片的边数之和及内角度数之和有怎样的变化规律?
【实验1】探索将多边形纸片裁剪1次后的变化规律.
| 纸片形状 | 三角形 | 四边形 | 五边形 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 按不同方式裁剪后所得图形 | | | | … |
| 边数之和 | 7 | 8 | | … |
| 内角度数之和 | $540°$ | $720°$ | | … |
(1)将表格填写完整;将一张$n$边形纸片裁剪1次后,所得所有纸片的边数之和为,内角度数之和为°;(用含$n$的代数式表示)

27. 【点拨】本题考查图形的变化规律,二元一次方程组的应用,由图形找到变化规律是解题的关键.
【解析】(1)表格中第一个空填9,第二个空填900°.
∵ 将一张三角形纸片裁剪1次后,所得所有纸片的边数之和为7 = 3 +4;将一张四边形纸片裁剪1次后,所得所有纸片的边数之和为8 =4 +4;将一张五边形纸片裁剪1次后,所得所有纸片的边数之和为9 =5 +4;……,
∴ 将一张 n 边形纸片裁剪1次后,所得所有纸片的边数之和为 n +4.
∵ 将一张三角形纸片裁剪1次后,内角度数之和为 540° = 180° ×3;将一张四边形纸片裁剪1次后,内角度数之和为 720° = 180° ×4;将一张五边形纸片裁剪1次后,内角度数之和为 900° = 180° ×5;……,
∴ 将一张 n 边形纸片裁剪1次后,内角度数之和为(180n)°.

【实验2】探索将长方形纸片裁剪若干次后的变化规律.

(2)将表格填写完整;将一张长方形纸片裁剪$m$次后,所得所有纸片的边数之和为,内角度数之和为°;(用含$m$的代数式表示)
【解决问题】
(3)按照上述方式,若将一张A4型打印纸裁剪9次后,得到了1张六边形纸片,1张五边形纸片,以及若干张三角形纸片和四边形纸片,三角形和四边形纸片分别有多少张?

(2)表格中的空填1080°.
∵ 将一张长方形纸片裁剪1次后,所得所有纸片的边数之和为8 =4 ×1 +4;将一张长方形纸片裁剪2次后,所得所有纸片的边数之和为12 =4 ×2 +4;……,
∴ 将一张长方形纸片裁剪 m 次后,所得所有纸片的边数之和为 4m +4.
∵ 将一张长方形纸片裁剪1次后,内角度数之和为720° = 360° ×(1 +1);将一张长方形纸片裁剪2次后,内角度数之和为1080° = 360° ×(2 +1);……,
∴ 将一张长方形纸片裁剪 m 次后,内角度数之和为[360(m +1)]°.
(3)设三角形纸片有 x 张,四边形纸片有 y 张,
由题意得 $\begin{cases} 6 +5 +3x +4y =4 ×9 +4, \\ 720 +540 +180x +360y =360 ×(9 +1), \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x =3, \\ y =5. \end{cases}$
答:三角形纸片有 3 张,四边形纸片有 5 张.