1 [2025 江苏苏州期中，中]如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC，AD⊥BC，交 CB 延长线于点 D，∠ABD 的平分线 BF 所在直线与射线 AE 相交于点 G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB 的度数为 ()

A.50°
B.55°
C.60°
D.65°

1.C　[解析]如图，
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE = ∠BAE，∠1 = ∠2.设
∠CAE = ∠BAE = x，∠C = y，则∠ABC = 3y.由外角的性质得∠1 = ∠BAE + ∠G = x + 20°，∠ABD = ∠BAC + ∠C = 2x + y，
∴　∠2 = $\frac{1}{2}$∠ABD = $\frac{1}{2}$(2x + y) = x + $\frac{1}{2}$y，
∴x + 20° = x + $\frac{1}{2}$y，解得y = 40°，
∴∠1 = ∠2 = $\frac{1}{2}$(180°−∠ABC) = $\frac{1}{2}$×(180°−120°) = 30°，
∴∠DFB = 60°.故选C.
　　　　　　　　　　　　　

2 新考法[2025 江苏无锡调研，较难]如图，已知点 P 为△ABC 外一点(点 P 不在直线 AB，BC，AC 上)，连接 PB，PC. 若∠PBA=α，∠PCA=β，∠BAC=γ，则∠BPC 的度数可能是 ()
①α+γ-β；②α-β-γ；③β-α-γ；④360°-α-β-γ.

A.①④
B.②③④
C.①②③
D.①②③④

2.D　[解析]如图(1)，∠P + ∠PDB + α = ∠ADC + β + γ.
∵∠PDB = ∠ADC，
∴∠P + α = β + γ，
∴∠P = β + γ - α
　　 　　
　如图(2)，在四边形ABPC中，α + β + γ + ∠P = 360°，
∴∠P = 360°−α−β−γ.
　如图(3)，α + γ + ∠ADB = ∠P + β + ∠PDC.
∵∠ADB = ∠PDC，
∴α + γ = ∠P + β，
∴∠P = α + γ - β.
　　 　　
　如图(4)，延长CA交PB于点D.
∵∠BDA是△PCD的一个外角，
∴∠BDA = ∠P + β.
∵∠BAC是△ABD的一个外角，
∴γ = α + ∠BDA = α + β + ∠P，
∴∠P = γ - α - β.
　如图(5)，延长CB.
∵∠1是△BCP的一个外角，
∴∠1 = ∠4 + ∠BPC，同理，∠2 = ∠3 + γ，
∴∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4 + ∠BPC + γ.又
∵∠1 + ∠2 = α，∠3 + ∠4 = β，
∴α = β + γ + ∠BPC，
∴∠BPC = α - β - γ.
　　　　　
如图(6)，延长BC.
∵∠3是△ABC的一个外角，
∴∠3 = ∠1 + γ，同理，∠4 = ∠2 + ∠BPC，
∴∠3 + ∠4 = ∠1 + ∠2 + γ + ∠BPC.
∵∠1 + ∠2 = α，∠3 + ∠4 = β，
∴β = α + γ + ∠BPC，
∴∠BPC = β - α - γ.
　　　　　　
　综上，①②③④都正确，故选D.

3 [2024 江苏南京期中，较难]如图，在△ABC 中，∠A=90°，BE，CD 分别平分∠ABC 和∠ACB，且相交于 F，D，E 分别是 AB，AC 上的点，EG//BC，CG⊥EG 于点 G，则下列结论：①∠CEG=2∠DCA；②CA 平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=$\frac{1}{2}$∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论有 ()

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

3.C　[解析]
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB = 2∠DCA，∠ACD = ∠BCD.
∵EG//BC，
∴∠CEG = ∠ACB = 2∠DCA，故结论①正确;
∵∠A = 90°，CG⊥EG，EG//BC，
∴∠ADC + ∠ACD = 90°，CG⊥BC，即∠BCG = 90°，
∴∠GCD + ∠BCD = 90°.又
∵∠BCD = ∠ACD，
∴∠ADC = ∠GCD，故结论③正确;
∵∠A = 90°，
∴∠ABC + ∠ACB = 90°.
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠FBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BFC = 180°−$\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = 135°，
∴∠DFB = 180°−∠BFC = 45°，
∴∠DFB = $\frac{1}{2}$∠A，故结论④正确;
∵∠BFC = 135°，
∴∠DFE = ∠BFC = 135°，故结论⑤正确;不能证出CA平分∠BCG，故结论②错误.故选C.

4 [中]如图，已知∠A+∠B+∠C=125°，则∠D+∠E 的度数为。

4.55°　[解析]如图，
∵∠OFC是△ABF的一个外角，
∴∠A + ∠B = ∠OFC.
∵∠A + ∠B + ∠C = 125°，
∴∠OFC + ∠C = 125°，
∴　∠FOC = 55°.
∵∠FOC是△DEO的一个外角，
∴∠D + ∠E = ∠FOC = 55°.
　　　　　　　　　　　　　

5 [2025 浙江绍兴期中，较难]如图，AB//EF，∠ABC 与∠BCD 的平分线交于点 G，则∠G，∠D，∠E 之间的数量关系是。

5.∠G = 180°−$\frac{1}{2}$∠D−$\frac{1}{2}$∠E　[解析]如图，过点C作CH//AB，则CH//EF，
∴∠ABC + ∠BCH = 180°，
　　　　　　　　　　　　　　 ∠DHC = ∠E.
∵　∠DCH + ∠D + ∠DHC = 180°，
∴∠DCH = 180°−∠D−∠DHC = 180°−∠D−∠E.
∵BG平分∠ABC，
CG平分∠BCD，
∴∠ABC = 2∠GBC，∠BCD = 2∠BCG.
∵∠GBC + ∠G + ∠GCB = 180°，
∴∠G = 180°−∠GBC−∠GCB.
∵∠ABC + ∠BCH = 180°，
∴2∠GBC + 2∠BCG + ∠DCH = 180°，
∴2∠GBC + 2∠BCG = 180°−∠DCH = ∠D + ∠E，
∴∠GBC + ∠BCG = $\frac{1}{2}$∠D + $\frac{1}{2}$∠E，
∴∠G = 180°−∠GBC−∠GCB = 180°−(∠GBC + ∠BCG) = 180°−($\frac{1}{2}$∠D + $\frac{1}{2}$∠E) = 180°−$\frac{1}{2}$∠D−$\frac{1}{2}$∠E，故答案为∠G = 180°−$\frac{1}{2}$∠D−$\frac{1}{2}$∠E.

6 核心素养模型思想[较难](1)问题解决：
如图(1)，在△ABC 中，BO，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，O 为 BO，CO 交点. 若∠A=72°，求∠BOC 的度数(写出求解过程)；
(2)拓展与探究：
①如图(1)，在△ABC 中，BO，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，O 为 BO，CO 交点，若∠A=α，则∠BOC 的度数是；
②如图(2)，BO，CO 分别是△ABC 两个外角∠CBD 和∠BCE 的平分线，O 为 BO，CO 交点，则∠BOC 与∠A 的关系是；(请直接写出你的结论)
③如图(3)，BO，CO 分别是△ABC 一个内角∠CBA 和一个外角∠ACD 的平分线，O 为 BO，CO 交点，则∠BOC 与∠A 的关系是.(请直接写出你的结论)

6.[解](1)
∵∠A = 72°，
∴∠ABC + ∠ACB = 180°−∠A = 108°.
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$×108° = 54°，
∴在△BOC中，∠BOC = 180°−(∠OBC + ∠OCB) = 126°.
(2)①
∵∠A = α，
∴∠ABC + ∠ACB = 180°−∠A = 180°−α.
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(180°−α) = 90°−$\frac{1}{2}$α，
∴在△BOC中，∠BOC = 180°−(∠OBC + ∠OCB) = 90° + $\frac{1}{2}$α.故答案为90° + $\frac{1}{2}$α.
②
∵∠DBC = ∠A + ∠ACB，∠ECB = ∠A + ∠ABC，
∴∠DBC + ∠ECB = ∠A + ∠ACB + ∠A + ∠ABC = 180° + ∠A.
∵BO，CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠DBC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ECB，
∴　∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(180° + ∠A)，
∴∠BOC = 180°−(∠OBC + ∠OCB) = 180° - $\frac{1}{2}$(180° + ∠A) = 90°−$\frac{1}{2}$∠A.
　故答案为∠BOC = 90°−$\frac{1}{2}$∠A.
③
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴　∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD = $\frac{1}{2}$∠ACD.
又
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD = ∠A + ∠ABC，
∴∠OCD = $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$∠A + ∠OBC.
∵∠OCD是△BOC的一个外角，
∴∠BOC = ∠OCD - ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠A + ∠OBC - ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠A.故答案为∠BOC = $\frac{1}{2}$∠A.