9. 若$\sqrt{12}$与最简二次根式$\sqrt{2m + 1}$可以合并,则$m =$.

9. 1

10. 圆心相同但半径不同的两个圆组成一个圆环,已知两个圆的面积分别为$54π\ \mathrm{cm}^2$和$24π\ \mathrm{cm}^2$,则圆环的宽度为$\mathrm{cm}$.

10. $ \sqrt{6} $

11. 计算:
(1) $\sqrt{48}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{16}}-\sqrt{50}$;
(2) $(\sqrt{24}-\sqrt{\dfrac{1}{3}})-(\sqrt{\dfrac{1}{27}}+\sqrt{6})$;
(3) $\dfrac{2}{3}\sqrt{9x}-6\sqrt{\dfrac{x}{4}}+2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$;
(4) $\dfrac{3}{2}\sqrt{2x}+\dfrac{5}{2x}\sqrt{8x^{3}}-2\sqrt{\dfrac{x}{8}}$.

11. (1) $ \frac{17\sqrt{3}}{4}-\frac{9\sqrt{2}}{2} $ (2) $ \sqrt{6}-\frac{4\sqrt{3}}{9} $ (3) $ \sqrt{x} $ (4) $ 6\sqrt{2x} $

12. 已知$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$,求代数式$\dfrac{1 - 2a + a^{2}}{a - 1}+\dfrac{\sqrt{a^{2}-2a + 1}}{a^{2}-a}$的值.

12. 解：$ ∵a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}＜1 $，
$ ∴ $原式$ =\frac{(a - 1)^{2}}{a - 1}+\frac{\sqrt{(a - 1)^{2}}}{a(a - 1)} $
$ =a - 1+\frac{1 - a}{a(a - 1)}=a - 1-\frac{1}{a} $
$ =2-\sqrt{3}-1-\frac{1}{\frac{1}{2+\sqrt{3}}}=2-\sqrt{3}-1-(2+\sqrt{3}) $
$ =-1-2\sqrt{3} $。

13. (2025·宿豫期末)将已知条件适当变形,再整体代入所求代数式进行解答是解决二次根式求值问题的常用方法.
(1)已知$x=\sqrt{5}-3$,求$x^{2}+6x - 4$的值;
(2)已知$x=\dfrac{\sqrt{10}-2}{3}$,求$6x^{3}+11x^{2}$的值.

13. 解：(1)$ ∵x=\sqrt{5}-3 $，$ ∴x + 3=\sqrt{5} $，
$ ∴(x + 3)^{2}=5 $，即$ x^{2}+6x + 9=5 $，
$ ∴x^{2}+6x=-4 $，$ ∴x^{2}+6x - 4=-8 $。
(2)$ ∵x=\frac{\sqrt{10}-2}{3} $，$ ∴3x + 2=\sqrt{10} $，$ ∴(3x + 2)^{2}=10 $，
$ ∴9x^{2}+12x + 4=10 $，$ ∴3x^{2}+4x=2 $，$ ∴6x^{2}+8x=4 $。
$ ∴ $原式$ =x(6x^{2}+8x + 3x)=x(4 + 3x)=3x^{2}+4x=2 $。