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12.（10分）化简：
(1) $(-4x^{2}+2x+1)+3(2x^{2}-7x)$；
(2) $4a^{2}b-[3ab^{2}-2(3a^{2}b-1)]$.
(1) $(-4x^{2}+2x+1)+3(2x^{2}-7x)$；
(2) $4a^{2}b-[3ab^{2}-2(3a^{2}b-1)]$.
答案
12. (1) $2x^2-19x+1$ (2) $10a^2b-3ab^2-2$
解析
【分析】
本题属于整式加减的基础化简题，解题核心思路是按照“先逐层去括号，再合并同类项”的顺序运算：
1. 对于第(1)小题，首先利用乘法分配律将括号外的系数3乘入括号内每一项，完成去括号操作后，将同类项（含$x^2$的项、含$x$的项、常数项）分别合并即可；
2. 对于第(2)小题，存在两层括号，需要优先去掉内层的小括号，注意括号前为负号时，括号内所有项都要变号，去掉小括号后再处理外层的中括号，最后将同类项归类合并就能得到最简结果。
【解析】
(1) 化简过程：
第一步，利用乘法分配律去括号：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-4x^2+2x+1 + 3×2x^2 - 3×7x\\&=-4x^2+2x+1+6x^2-21x\end{aligned}$
第二步，合并同类项：
将含$x^2$的项合并：$-4x^2+6x^2=2x^2$
将含$x$的项合并：$2x-21x=-19x$
保留常数项1，得到最终化简结果。
(2) 化简过程：
第一步，先去掉内层小括号：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4a^2b-[3ab^2 - 2×3a^2b + 2×1]\\&=4a^2b-[3ab^2-6a^2b+2]\end{aligned}$
第二步，去掉外层中括号，括号前为负号，括号内所有项变号：
$\mathrm{原式}=4a^2b-3ab^2+6a^2b-2$
第三步，合并同类项：
将含$a^2b$的项合并：$4a^2b+6a^2b=10a^2b$
剩余项$-3ab^2$、常数项$-2$直接保留，得到最终化简结果。
【答案】
(1) $2x^2-19x+1$；(2) $10a^2b-3ab^2-2$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式加减
【点评】
本题是整式加减的常规基础题型，易错点集中在去括号环节：当括号前同时带有负系数时，容易出现漏乘括号内项、忘记变号的错误，解题时建议不要跳步，逐层去括号后再逐一核对符号，就能避免大部分运算失误。
【难度系数】
0.8
本题属于整式加减的基础化简题，解题核心思路是按照“先逐层去括号，再合并同类项”的顺序运算：
1. 对于第(1)小题，首先利用乘法分配律将括号外的系数3乘入括号内每一项，完成去括号操作后，将同类项（含$x^2$的项、含$x$的项、常数项）分别合并即可；
2. 对于第(2)小题，存在两层括号，需要优先去掉内层的小括号，注意括号前为负号时，括号内所有项都要变号，去掉小括号后再处理外层的中括号，最后将同类项归类合并就能得到最简结果。
【解析】
(1) 化简过程：
第一步，利用乘法分配律去括号：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-4x^2+2x+1 + 3×2x^2 - 3×7x\\&=-4x^2+2x+1+6x^2-21x\end{aligned}$
第二步，合并同类项：
将含$x^2$的项合并：$-4x^2+6x^2=2x^2$
将含$x$的项合并：$2x-21x=-19x$
保留常数项1，得到最终化简结果。
(2) 化简过程：
第一步，先去掉内层小括号：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4a^2b-[3ab^2 - 2×3a^2b + 2×1]\\&=4a^2b-[3ab^2-6a^2b+2]\end{aligned}$
第二步，去掉外层中括号，括号前为负号，括号内所有项变号：
$\mathrm{原式}=4a^2b-3ab^2+6a^2b-2$
第三步，合并同类项：
将含$a^2b$的项合并：$4a^2b+6a^2b=10a^2b$
剩余项$-3ab^2$、常数项$-2$直接保留，得到最终化简结果。
【答案】
(1) $2x^2-19x+1$；(2) $10a^2b-3ab^2-2$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式加减
【点评】
本题是整式加减的常规基础题型，易错点集中在去括号环节：当括号前同时带有负系数时，容易出现漏乘括号内项、忘记变号的错误，解题时建议不要跳步，逐层去括号后再逐一核对符号，就能避免大部分运算失误。
【难度系数】
0.8
13. (10 分) 先化简, 再求值: $-\dfrac{1}{4}(2a^{2}b+ab^{2})+\dfrac{1}{2}(a^{2}b-1)-2ab^{2}-5$, 其中 $a=-8,b=\dfrac{1}{2}$.
答案
13. 原式$=-\dfrac{9}{4}ab^2-\dfrac{11}{2}$. 当 $a = -8, b = \dfrac{1}{2}$ 时, 原式$=-\dfrac{9}{4}×(-8)×(\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{11}{2}=\dfrac{9}{2}-\dfrac{11}{2}=-1$
解析
【分析】
这是典型的整式化简求值类题目，解题思路非常清晰：首先不要直接把a、b的数值代入原式计算，那样运算量大很容易出错，第一步先利用乘法分配律去掉原式中的括号，注意括号外的系数要和括号内的每一项都相乘，不要漏乘；第二步将同类项分别合并，把原式化简为最简整式，本题中含$a^2b$的项会直接抵消，能大幅降低运算难度；最后把给定的$a=-8$、$b=\frac{1}{2}$代入最简整式，按照有理数运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
1. 去括号：
根据乘法分配律展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\frac{1}{4}·2a^2b -\frac{1}{4}· ab^2 +\frac{1}{2}· a^2b +\frac{1}{2}·(-1) -2ab^2 -5\\&=-\frac{1}{2}a^2b -\frac{1}{4}ab^2 +\frac{1}{2}a^2b -\frac{1}{2} -2ab^2 -5\end{aligned}$
2. 合并同类项：
含$a^2b$的项：$-\frac{1}{2}a^2b+\frac{1}{2}a^2b=0$，直接抵消
含$ab^2$的项：$-\frac{1}{4}ab^2 -2ab^2=-\frac{1}{4}ab^2-\frac{8}{4}ab^2=-\frac{9}{4}ab^2$
常数项：$-\frac{1}{2}-5=-\frac{1}{2}-\frac{10}{2}=-\frac{11}{2}$
因此化简后得到最简整式：$\mathrm{原式}=-\frac{9}{4}ab^2-\frac{11}{2}$
3. 代入数值计算：
把$a=-8$，$b=\frac{1}{2}$代入最简式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\frac{9}{4}×(-8)×(\frac{1}{2})^2 -\frac{11}{2}\\&=-\frac{9}{4}×(-8)×\frac{1}{4} -\frac{11}{2}\\&=\frac{9}{2}-\frac{11}{2}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$-\dfrac{9}{4}ab^2-\dfrac{11}{2}$，最终求值结果为$-1$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式章节的常规基础题，核心考察学生对整式化简规则的掌握，易错点集中在去括号时漏乘括号内的项、合并同类项时系数计算错误，本题中$a^2b$项抵消的设置也在引导学生优先化简再代入的解题习惯，整体运算难度低，适合巩固整式运算基础。
【难度系数】
0.8
这是典型的整式化简求值类题目，解题思路非常清晰：首先不要直接把a、b的数值代入原式计算，那样运算量大很容易出错，第一步先利用乘法分配律去掉原式中的括号，注意括号外的系数要和括号内的每一项都相乘，不要漏乘；第二步将同类项分别合并，把原式化简为最简整式，本题中含$a^2b$的项会直接抵消，能大幅降低运算难度；最后把给定的$a=-8$、$b=\frac{1}{2}$代入最简整式，按照有理数运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
1. 去括号：
根据乘法分配律展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\frac{1}{4}·2a^2b -\frac{1}{4}· ab^2 +\frac{1}{2}· a^2b +\frac{1}{2}·(-1) -2ab^2 -5\\&=-\frac{1}{2}a^2b -\frac{1}{4}ab^2 +\frac{1}{2}a^2b -\frac{1}{2} -2ab^2 -5\end{aligned}$
2. 合并同类项：
含$a^2b$的项：$-\frac{1}{2}a^2b+\frac{1}{2}a^2b=0$，直接抵消
含$ab^2$的项：$-\frac{1}{4}ab^2 -2ab^2=-\frac{1}{4}ab^2-\frac{8}{4}ab^2=-\frac{9}{4}ab^2$
常数项：$-\frac{1}{2}-5=-\frac{1}{2}-\frac{10}{2}=-\frac{11}{2}$
因此化简后得到最简整式：$\mathrm{原式}=-\frac{9}{4}ab^2-\frac{11}{2}$
3. 代入数值计算：
把$a=-8$，$b=\frac{1}{2}$代入最简式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-\frac{9}{4}×(-8)×(\frac{1}{2})^2 -\frac{11}{2}\\&=-\frac{9}{4}×(-8)×\frac{1}{4} -\frac{11}{2}\\&=\frac{9}{2}-\frac{11}{2}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$-\dfrac{9}{4}ab^2-\dfrac{11}{2}$，最终求值结果为$-1$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式章节的常规基础题，核心考察学生对整式化简规则的掌握，易错点集中在去括号时漏乘括号内的项、合并同类项时系数计算错误，本题中$a^2b$项抵消的设置也在引导学生优先化简再代入的解题习惯，整体运算难度低，适合巩固整式运算基础。
【难度系数】
0.8
14.（10分）观察下列各式：
$1^{2}=\frac{1 × 2 × 3}{6} ; 1^{2}+2^{2}=\frac{2 × 3 × 5}{6} ; 1^{2}+2^{2}+3^{2}=\frac{3 × 4 × 7}{6} ; 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=\frac{4 × 5 × 9}{6} ··· ···$
（1）根据发现的规律，计算：$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=$
（2）根据发现的规律，求$51^{2}+52^{2}+···+99^{2}+100^{2}$的值（写出必要的解题过程）.
$1^{2}=\frac{1 × 2 × 3}{6} ; 1^{2}+2^{2}=\frac{2 × 3 × 5}{6} ; 1^{2}+2^{2}+3^{2}=\frac{3 × 4 × 7}{6} ; 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=\frac{4 × 5 × 9}{6} ··· ···$
（1）根据发现的规律，计算：$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=$
55
；（2）根据发现的规律，求$51^{2}+52^{2}+···+99^{2}+100^{2}$的值（写出必要的解题过程）.
答案
14. (1) 55 (2) $51^2+52^2+\dots+99^2+100^2=(1^2+2^2+\dots+99^2+100^2)-(1^2+2^2+\dots+49^2+50^2)=\dfrac{100×101×201}{6}-\dfrac{50×51×101}{6}=338350-42925=295425$
解析
【分析】
首先我们观察给出的已知等式梳理规律：所有等式左侧都是从1开始的连续自然数的平方和，右侧分母固定为6，对比每一项的n（即最后一个平方的底数）：n=1时分子是1×2×3，n=2时分子是2×3×5，n=3时分子是3×4×7，n=4时分子是4×5×9，可发现分子的三个乘数依次为n、n+1、2n+1，由此得到通用公式：$1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。
第（1）问直接把n=5代入该公式计算即可得到结果；第（2）问要求从51到100的平方和，无法直接套用公式，我们可以用“整体减部分”的思路，用前100个自然数的平方和减去前50个自然数的平方和，代入通用公式计算就能得到结果。
【解析】
（1）将n=5代入推导得到的平方和公式：
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=\frac{5×(5+1)×(2×5+1)}{6}=\frac{5×6×11}{6}=5×11=55$
（2）利用转化思想，将所求式子拆分为两个连续平方和的差：
$51^{2}+52^{2}+\dots+99^{2}+100^{2}$
$=(1^2+2^2+\dots+99^2+100^2)-(1^2+2^2+\dots+49^2+50^2)$
分别代入平方和公式计算两部分：
前100项平方和：$\frac{100×101×(2×100+1)}{6}=\frac{100×101×201}{6}=338350$
前50项平方和：$\frac{50×51×(2×50+1)}{6}=\frac{50×51×101}{6}=42925$
两式作差可得最终结果：$338350-42925=295425$
【答案】
（1）$\boldsymbol{55}$；（2）$\boldsymbol{295425}$
【知识点】
数字规律探究，自然数平方和公式，有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础拓展题，核心考察学生从给定特例归纳通用公式的能力，第二问的补项转化思路是求和类问题的常用技巧，避免了逐个计算大数平方的繁琐，能有效锻炼学生的转化思维。
【难度系数】
0.7
首先我们观察给出的已知等式梳理规律：所有等式左侧都是从1开始的连续自然数的平方和，右侧分母固定为6，对比每一项的n（即最后一个平方的底数）：n=1时分子是1×2×3，n=2时分子是2×3×5，n=3时分子是3×4×7，n=4时分子是4×5×9，可发现分子的三个乘数依次为n、n+1、2n+1，由此得到通用公式：$1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。
第（1）问直接把n=5代入该公式计算即可得到结果；第（2）问要求从51到100的平方和，无法直接套用公式，我们可以用“整体减部分”的思路，用前100个自然数的平方和减去前50个自然数的平方和，代入通用公式计算就能得到结果。
【解析】
（1）将n=5代入推导得到的平方和公式：
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=\frac{5×(5+1)×(2×5+1)}{6}=\frac{5×6×11}{6}=5×11=55$
（2）利用转化思想，将所求式子拆分为两个连续平方和的差：
$51^{2}+52^{2}+\dots+99^{2}+100^{2}$
$=(1^2+2^2+\dots+99^2+100^2)-(1^2+2^2+\dots+49^2+50^2)$
分别代入平方和公式计算两部分：
前100项平方和：$\frac{100×101×(2×100+1)}{6}=\frac{100×101×201}{6}=338350$
前50项平方和：$\frac{50×51×(2×50+1)}{6}=\frac{50×51×101}{6}=42925$
两式作差可得最终结果：$338350-42925=295425$
【答案】
（1）$\boldsymbol{55}$；（2）$\boldsymbol{295425}$
【知识点】
数字规律探究，自然数平方和公式，有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础拓展题，核心考察学生从给定特例归纳通用公式的能力，第二问的补项转化思路是求和类问题的常用技巧，避免了逐个计算大数平方的繁琐，能有效锻炼学生的转化思维。
【难度系数】
0.7
15. (12 分) 已知 $A=2x^2+3xy-2x-1$ , $B=-x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{2}{3}$.
(1) 当 $(x+1)^2+|y+2|=0$ 时, 求 $4A-(3A-2B)$ 的值；
(2) 若 $4A-(3A-2B)$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $y$ 的值.
(1) 当 $(x+1)^2+|y+2|=0$ 时, 求 $4A-(3A-2B)$ 的值；
(2) 若 $4A-(3A-2B)$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $y$ 的值.
答案
15. (1) $4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$. 当 $A=2x^2+3xy-2x-1,B=-x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{2}{3}$ 时,$A+2B=2x^2+3xy-2x-1+2(-x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{2}{3})=2x^2+3xy-2x-1-2x^2+xy+\dfrac{4}{3}=4xy-2x+\dfrac{1}{3}$. 因为 $(x+1)^2+|y+2|=0$,所以 $x=-1,y=-2$. 所以原式$=4×(-1)×(-2)-2×(-1)+\dfrac{1}{3}=\dfrac{31}{3}$
(2) 由(1),得 $4A-(3A-2B)=4xy-2x+\dfrac{1}{3}=(4y-2)x+\dfrac{1}{3}$. 因为其值与 $x$ 的取值无关,所以 $4y-2=0$. 所以 $y=\dfrac{1}{2}$
(2) 由(1),得 $4A-(3A-2B)=4xy-2x+\dfrac{1}{3}=(4y-2)x+\dfrac{1}{3}$. 因为其值与 $x$ 的取值无关,所以 $4y-2=0$. 所以 $y=\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
这道题的解题思路可以分步梳理：
1. 第(1)问优先对所求式子做化简，不要直接硬代入A、B的原始表达式，先去括号把4A-(3A-2B)简化为A+2B，大幅降低后续计算量；再代入A、B的表达式合并同类项得到最简整式。接着利用平方和绝对值的非负性：两个非负数相加为0时，两个非负数各自为0，就能求出x、y的具体值，最后代入最简整式算出结果。
2. 第(2)问直接沿用第(1)问已经得到的最简整式，将其整理为含x的项加常数项的形式，因为式子的值和x的取值无关，说明所有含x的项的系数必须为0，据此列方程就能解出y的值。
【解析】
(1) 先化简所求代数式：
$4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$
将$A=2x^2+3xy-2x-1$，$B=-x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{2}{3}$代入上式：
$\begin{aligned}A+2B&=2x^2+3xy-2x-1 + 2(-x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{2}{3})\\&=2x^2+3xy-2x-1 -2x^2 + xy + \dfrac{4}{3}\\&=4xy -2x + \dfrac{1}{3}\end{aligned}$
由于$(x+1)^2≥0$，$|y+2|≥0$，且$(x+1)^2+|y+2|=0$，因此：
$x+1=0$，$y+2=0$，解得$x=-1$，$y=-2$
将$x=-1$，$y=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×(-1)×(-2) -2×(-1) + \dfrac{1}{3}\\&=8 +2 +\dfrac{1}{3}\\&=\dfrac{31}{3}\end{aligned}$
(2) 由(1)的化简结果可得：
$4A-(3A-2B)=4xy -2x + \dfrac{1}{3}=(4y-2)x + \dfrac{1}{3}$
因为该式的值与x的取值无关，说明含x的项的系数为0，即：
$4y-2=0$
解得$y=\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1) $\dfrac{31}{3}$；(2) $\dfrac{1}{2}$
【知识点】
整式加减运算，非负数性质，代数式无关性
【点评】
本题是整式加减章节的经典常考题，核心技巧是先化简再代入求值，能有效规避复杂运算中符号出错的问题，同时考察了非负数的性质、“代数式取值与某字母无关则对应字母系数为0”的核心结论，适合巩固整式加减的运算逻辑。
【难度系数】
0.6
这道题的解题思路可以分步梳理：
1. 第(1)问优先对所求式子做化简，不要直接硬代入A、B的原始表达式，先去括号把4A-(3A-2B)简化为A+2B，大幅降低后续计算量；再代入A、B的表达式合并同类项得到最简整式。接着利用平方和绝对值的非负性：两个非负数相加为0时，两个非负数各自为0，就能求出x、y的具体值，最后代入最简整式算出结果。
2. 第(2)问直接沿用第(1)问已经得到的最简整式，将其整理为含x的项加常数项的形式，因为式子的值和x的取值无关，说明所有含x的项的系数必须为0，据此列方程就能解出y的值。
【解析】
(1) 先化简所求代数式：
$4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$
将$A=2x^2+3xy-2x-1$，$B=-x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{2}{3}$代入上式：
$\begin{aligned}A+2B&=2x^2+3xy-2x-1 + 2(-x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{2}{3})\\&=2x^2+3xy-2x-1 -2x^2 + xy + \dfrac{4}{3}\\&=4xy -2x + \dfrac{1}{3}\end{aligned}$
由于$(x+1)^2≥0$，$|y+2|≥0$，且$(x+1)^2+|y+2|=0$，因此：
$x+1=0$，$y+2=0$，解得$x=-1$，$y=-2$
将$x=-1$，$y=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×(-1)×(-2) -2×(-1) + \dfrac{1}{3}\\&=8 +2 +\dfrac{1}{3}\\&=\dfrac{31}{3}\end{aligned}$
(2) 由(1)的化简结果可得：
$4A-(3A-2B)=4xy -2x + \dfrac{1}{3}=(4y-2)x + \dfrac{1}{3}$
因为该式的值与x的取值无关，说明含x的项的系数为0，即：
$4y-2=0$
解得$y=\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1) $\dfrac{31}{3}$；(2) $\dfrac{1}{2}$
【知识点】
整式加减运算，非负数性质，代数式无关性
【点评】
本题是整式加减章节的经典常考题，核心技巧是先化简再代入求值，能有效规避复杂运算中符号出错的问题，同时考察了非负数的性质、“代数式取值与某字母无关则对应字母系数为0”的核心结论，适合巩固整式加减的运算逻辑。
【难度系数】
0.6
