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8. 如果一组数据 $a_{1},a_{2},···,a_{n}$ 的平均数是 2,那么一组新数据 $3a_{1}+2,3a_{2}+2,···,3a_{n}+2$ 的平均数是（
A.2
B.6
C.8
D.18
C
）A.2
B.6
C.8
D.18
答案
8.C
解析
【分析】
我们可以从算术平均数的定义出发来推导：首先已知原数据的平均数为2，先根据平均数定义得到原所有数据的总和与数据个数n的关系，再将新数据的平均数按照定义展开，通过代数拆分把式子转化为包含原数据总和的形式，代入已知条件就能算出结果。也可以直接利用平均数的线性运算性质：若一组数据的平均数为$\bar{a}$，那么对数据做线性变换$ka_i + b$后，新数据的平均数为$k\bar{a}+b$，直接代入数值即可快速得到答案。
【解析】
已知数据$a_1,a_2,\dots,a_n$的平均数是2，根据算术平均数的定义：
$\bar{a} = \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}=2$
因此可得原数据的总和：$a_1+a_2+\dots+a_n=2n$。
现在计算新数据$3a_1+2,3a_2+2,\dots,3a_n+2$的平均数$\bar{x}$：
$\begin{aligned}\bar{x}&=\frac{(3a_1+2)+(3a_2+2)+\dots+(3a_n+2)}{n}\\&=\frac{3(a_1+a_2+\dots+a_n) + \underbrace{2+2+\dots+2}_{n个2}}{n}\\&=\frac{3× 2n + 2n}{n}\\&=\frac{6n+2n}{n}\\&=8\end{aligned}$
所以新数据的平均数是8。
【答案】
C
【知识点】
算术平均数，平均数的线性性质
【点评】
本题是统计模块的基础常考题，核心考察平均数的运算规律，不需要逐个计算原始数据即可快速推导结果，易错点是容易遗漏线性变换里的常数项2，误算为3×2=6错选B，掌握平均数的线性变换性质可以大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
我们可以从算术平均数的定义出发来推导：首先已知原数据的平均数为2，先根据平均数定义得到原所有数据的总和与数据个数n的关系，再将新数据的平均数按照定义展开，通过代数拆分把式子转化为包含原数据总和的形式，代入已知条件就能算出结果。也可以直接利用平均数的线性运算性质：若一组数据的平均数为$\bar{a}$，那么对数据做线性变换$ka_i + b$后，新数据的平均数为$k\bar{a}+b$，直接代入数值即可快速得到答案。
【解析】
已知数据$a_1,a_2,\dots,a_n$的平均数是2，根据算术平均数的定义：
$\bar{a} = \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}=2$
因此可得原数据的总和：$a_1+a_2+\dots+a_n=2n$。
现在计算新数据$3a_1+2,3a_2+2,\dots,3a_n+2$的平均数$\bar{x}$：
$\begin{aligned}\bar{x}&=\frac{(3a_1+2)+(3a_2+2)+\dots+(3a_n+2)}{n}\\&=\frac{3(a_1+a_2+\dots+a_n) + \underbrace{2+2+\dots+2}_{n个2}}{n}\\&=\frac{3× 2n + 2n}{n}\\&=\frac{6n+2n}{n}\\&=8\end{aligned}$
所以新数据的平均数是8。
【答案】
C
【知识点】
算术平均数，平均数的线性性质
【点评】
本题是统计模块的基础常考题，核心考察平均数的运算规律，不需要逐个计算原始数据即可快速推导结果，易错点是容易遗漏线性变换里的常数项2，误算为3×2=6错选B，掌握平均数的线性变换性质可以大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
9. 某次射箭比赛中,某运动员6箭的成绩(单位:环)依次是$x_1,x_2,x_3,x_1+1,x_2+2,x_3+3$.若前3箭的平均成绩为7环,则这6箭的平均成绩为
8
环.答案
9.8
解析
【分析】
我们先从已知条件“前3箭的平均成绩为7环”出发，根据平均数的定义，先求出前3箭的总成绩$x_1+x_2+x_3$。接下来把6箭的所有成绩相加，通过整理合并，将前3箭的总成绩整体代入，就能快速得到6箭的总得分，最后用总得分除以6即可算出6箭的平均成绩，不需要单独求解每个$x$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
1. 计算前3箭的总成绩：
已知前3箭平均成绩为7环，由平均数公式可得：
$\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=7$
因此前3箭总和：$x_1+x_2+x_3=3×7=21$（环）
2. 计算6箭的总成绩：
将6箭成绩全部相加：
$\begin{aligned}总得分&=x_1+x_2+x_3+(x_1+1)+(x_2+2)+(x_3+3)\\&=2(x_1+x_2+x_3)+(1+2+3)\\&=2×21 +6\\&=48（环）\end{aligned}$
3. 计算6箭的平均成绩：
平均成绩$=\frac{总得分}{6}=\frac{48}{6}=8$（环）
【答案】
8
【知识点】
平均数计算，整体代入求值
【点评】
本题属于基础统计类题目，核心考察对平均数概念的理解，通过整体代换的思路避免了无需求解单个未知量的冗余步骤，解题思路清晰简便，是平均数相关计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.9
我们先从已知条件“前3箭的平均成绩为7环”出发，根据平均数的定义，先求出前3箭的总成绩$x_1+x_2+x_3$。接下来把6箭的所有成绩相加，通过整理合并，将前3箭的总成绩整体代入，就能快速得到6箭的总得分，最后用总得分除以6即可算出6箭的平均成绩，不需要单独求解每个$x$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
1. 计算前3箭的总成绩：
已知前3箭平均成绩为7环，由平均数公式可得：
$\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=7$
因此前3箭总和：$x_1+x_2+x_3=3×7=21$（环）
2. 计算6箭的总成绩：
将6箭成绩全部相加：
$\begin{aligned}总得分&=x_1+x_2+x_3+(x_1+1)+(x_2+2)+(x_3+3)\\&=2(x_1+x_2+x_3)+(1+2+3)\\&=2×21 +6\\&=48（环）\end{aligned}$
3. 计算6箭的平均成绩：
平均成绩$=\frac{总得分}{6}=\frac{48}{6}=8$（环）
【答案】
8
【知识点】
平均数计算，整体代入求值
【点评】
本题属于基础统计类题目，核心考察对平均数概念的理解，通过整体代换的思路避免了无需求解单个未知量的冗余步骤，解题思路清晰简便，是平均数相关计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.9
10. 已知$x_{1},x_{2},···,x_{n}$的平均数是$\overline{x}$，则$(x_{1}-\overline{x})+(x_{2}-\overline{x})+···+(x_{n}-\overline{x})=$
0
。答案
10.0
解析
【分析】
我们可以按照拆分求和式、代入平均数定义的思路来解题：首先把所有$(x_i-\overline{x})$相加的式子拆成两部分，第一部分是所有原始数据的总和，第二部分是n个$\overline{x}$相加的结果；接着回忆算术平均数的定义，原始数据的总和等于n乘以平均数$\overline{x}$，把这个关系代入拆分后的式子直接计算，就能得到最终结果，这个推导过程也对应了统计里离均差之和的基础性质。
【解析】
解：对所求的求和式子展开拆分：
$\begin{aligned}&(x_{1}-\overline{x})+(x_{2}-\overline{x})+\dots+(x_{n}-\overline{x})\\=&(x_1+x_2+\dots+x_n) - \underbrace{(\overline{x}+\overline{x}+\dots+\overline{x})}_{共n个\overline{x}}\\=&(x_1+x_2+\dots+x_n) - n\overline{x}\end{aligned}$
根据算术平均数的定义，已知$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，变形可得原始数据总和$x_1+x_2+\dots+x_n = n\overline{x}$，将其代入上式：
$原式 = n\overline{x} - n\overline{x} = 0$
【答案】
0
【知识点】
1. 算术平均数定义
2. 离均差求和性质
【点评】
本题是统计模块的基础概念题，不需要复杂计算，核心考察对平均数定义的理解，推导得到的“所有数据与平均数的差的和为0”是后续学习方差、标准差的重要铺垫，同学们掌握推导逻辑就可以轻松得到结果，无需死记硬背结论。
【难度系数】
0.8
我们可以按照拆分求和式、代入平均数定义的思路来解题：首先把所有$(x_i-\overline{x})$相加的式子拆成两部分，第一部分是所有原始数据的总和，第二部分是n个$\overline{x}$相加的结果；接着回忆算术平均数的定义，原始数据的总和等于n乘以平均数$\overline{x}$，把这个关系代入拆分后的式子直接计算，就能得到最终结果，这个推导过程也对应了统计里离均差之和的基础性质。
【解析】
解：对所求的求和式子展开拆分：
$\begin{aligned}&(x_{1}-\overline{x})+(x_{2}-\overline{x})+\dots+(x_{n}-\overline{x})\\=&(x_1+x_2+\dots+x_n) - \underbrace{(\overline{x}+\overline{x}+\dots+\overline{x})}_{共n个\overline{x}}\\=&(x_1+x_2+\dots+x_n) - n\overline{x}\end{aligned}$
根据算术平均数的定义，已知$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，变形可得原始数据总和$x_1+x_2+\dots+x_n = n\overline{x}$，将其代入上式：
$原式 = n\overline{x} - n\overline{x} = 0$
【答案】
0
【知识点】
1. 算术平均数定义
2. 离均差求和性质
【点评】
本题是统计模块的基础概念题，不需要复杂计算，核心考察对平均数定义的理解，推导得到的“所有数据与平均数的差的和为0”是后续学习方差、标准差的重要铺垫，同学们掌握推导逻辑就可以轻松得到结果，无需死记硬背结论。
【难度系数】
0.8
11.若一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数是$a$,另一组数据$x_{1}+2,x_{2}+3,x_{3}-5,x_{4}-2,x_{5}+1$的平均数是$b$,则$a\_\_\_\_\_\_b$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
答案
11.$＞$
解析
【分析】
我们可以借助平均数的定义推导两组平均数的大小关系：第一步，根据第一组数据平均数为a，先得到5个原数据的总和；第二步，将第二组新数据全部相加，拆分出原数据总和部分和新增的常数部分，计算常数部分的总和；第三步，用第二组数据的总和除以数据个数5，得到b关于a的表达式，最后直接比较a和b的大小即可。
【解析】
解：已知数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数是$a$，根据平均数的定义可得：
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 5a$
计算第二组数据的总和：
$\begin{aligned}&(x_1+2)+(x_2+3)+(x_3-5)+(x_4-2)+(x_5+1)\\=&(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)+(2+3-5-2+1)\\=&5a -1\end{aligned}$
因此第二组数据的平均数$b=\frac{5a-1}{5}=a-\frac{1}{5}$，可得$a = b+\frac{1}{5}$，因此$a＞b$。
【答案】
$＞$
【知识点】
平均数计算，代数式比大小
【点评】
本题属于平均数的基础题型，不需要代入具体数值，仅通过拆分数据总和就可以推导两者的大小关系，核心是利用平均数的定义简化运算，避免复杂计算。
【难度系数】
0.8
我们可以借助平均数的定义推导两组平均数的大小关系：第一步，根据第一组数据平均数为a，先得到5个原数据的总和；第二步，将第二组新数据全部相加，拆分出原数据总和部分和新增的常数部分，计算常数部分的总和；第三步，用第二组数据的总和除以数据个数5，得到b关于a的表达式，最后直接比较a和b的大小即可。
【解析】
解：已知数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数是$a$，根据平均数的定义可得：
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 5a$
计算第二组数据的总和：
$\begin{aligned}&(x_1+2)+(x_2+3)+(x_3-5)+(x_4-2)+(x_5+1)\\=&(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)+(2+3-5-2+1)\\=&5a -1\end{aligned}$
因此第二组数据的平均数$b=\frac{5a-1}{5}=a-\frac{1}{5}$，可得$a = b+\frac{1}{5}$，因此$a＞b$。
【答案】
$＞$
【知识点】
平均数计算，代数式比大小
【点评】
本题属于平均数的基础题型，不需要代入具体数值，仅通过拆分数据总和就可以推导两者的大小关系，核心是利用平均数的定义简化运算，避免复杂计算。
【难度系数】
0.8
12. 九年级(1)班一次数学测试的平均成绩为 80 分,男生的平均成绩为 82 分,女生的平均成绩为77 分,求该班男生与女生人数之比.
答案
12. 解：设男生有$x$人，女生有$y$人，根据题意，得
$\dfrac{82x+77y}{x+y}=80$，则$82x+77y=80x+80y$，即$2x=3y$，
$\therefore x:y=3:2$.
答：该班男生与女生人数之比为$3:2$.
$\dfrac{82x+77y}{x+y}=80$，则$82x+77y=80x+80y$，即$2x=3y$，
$\therefore x:y=3:2$.
答：该班男生与女生人数之比为$3:2$.
解析
【分析】
这道题的核心逻辑是利用“全班总分数=男生总分数+女生总分数”的等量关系求解，题目没有要求算出男女生的具体人数，只需要得到人数的比值，因此我们可以先设男生人数为x、女生人数为y，不需要求出x和y的具体数值，只需要根据平均数的计算公式列出方程，再通过移项化简，就能直接推导出x和y的比例关系，也就是男女生的人数比。
【解析】
1. 设未知数：设该班男生有$x$人，女生有$y$人。
2. 列方程：根据平均数的定义，全班总分数既可以表示为全班平均成绩乘总人数，也可以表示为男生总分数加女生总分数，因此可得：
$\dfrac{82x+77y}{x+y}=80$
3. 化简方程：等式两边同乘不为0的$x+y$，得：
$82x+77y=80(x+y)$
展开右侧括号：
$82x+77y=80x+80y$
移项合并同类项：
$82x-80x=80y-77y$
计算得：
$2x=3y$
4. 推导比例：将等式变形可得$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$，即$x:y=3:2$。
【答案】
该班男生与女生人数之比为$3:2$
【知识点】
加权平均数、等式的性质、比例运算
【点评】
本题是典型的“设而不求”类应用题，不需要计算男女生的具体人数，仅依托平均数的总分相等关系建立方程，化简后直接得到人数比值，重点考察对平均数概念的理解，能帮助学生跳出强行求解具体人数的思维误区，属于平均数模块的基础常见题型。
【难度系数】
0.7
这道题的核心逻辑是利用“全班总分数=男生总分数+女生总分数”的等量关系求解，题目没有要求算出男女生的具体人数，只需要得到人数的比值，因此我们可以先设男生人数为x、女生人数为y，不需要求出x和y的具体数值，只需要根据平均数的计算公式列出方程，再通过移项化简，就能直接推导出x和y的比例关系，也就是男女生的人数比。
【解析】
1. 设未知数：设该班男生有$x$人，女生有$y$人。
2. 列方程：根据平均数的定义，全班总分数既可以表示为全班平均成绩乘总人数，也可以表示为男生总分数加女生总分数，因此可得：
$\dfrac{82x+77y}{x+y}=80$
3. 化简方程：等式两边同乘不为0的$x+y$，得：
$82x+77y=80(x+y)$
展开右侧括号：
$82x+77y=80x+80y$
移项合并同类项：
$82x-80x=80y-77y$
计算得：
$2x=3y$
4. 推导比例：将等式变形可得$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$，即$x:y=3:2$。
【答案】
该班男生与女生人数之比为$3:2$
【知识点】
加权平均数、等式的性质、比例运算
【点评】
本题是典型的“设而不求”类应用题，不需要计算男女生的具体人数，仅依托平均数的总分相等关系建立方程，化简后直接得到人数比值，重点考察对平均数概念的理解，能帮助学生跳出强行求解具体人数的思维误区，属于平均数模块的基础常见题型。
【难度系数】
0.7
13. 某校组织了“在阳光下成长”主题演讲比赛，比赛规则：6名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下的4个分数的平均值为该选手的成绩，某选手的得分情况如下表：
其中裁判4，裁判5给出的分数均被去掉. 经计算，该选手的成绩为93.75分.
请根据上述信息，解决以下问题：
(1)求$b$的值；
(2)请判断$a$是最高分还是最低分，并说明理由.
其中裁判4，裁判5给出的分数均被去掉. 经计算，该选手的成绩为93.75分.
请根据上述信息，解决以下问题：
(1)求$b$的值；
(2)请判断$a$是最高分还是最低分，并说明理由.
答案
13. 解：(1) 由题意，得$(94+94+94+b)÷4=93.75$，
解得$b=93$，即$b$的值为93.
(2)$a$是最低分. 理由：$\because$去掉的一个最高分和一个最低分为94和$a$，且$b=93$，$93＜94$，
所以$a$是最低分.
解得$b=93$，即$b$的值为93.
(2)$a$是最低分. 理由：$\because$去掉的一个最高分和一个最低分为94和$a$，且$b=93$，$93＜94$，
所以$a$是最低分.
解析
【分析】
首先梳理题目给出的规则和关键条件：比赛成绩计算规则为6名裁判打分，去掉1个最高分和1个最低分，剩余4个分数的平均值为选手最终成绩，题目明确说明被去掉的两个分数是裁判4、裁判5的打分，因此参与计算最终成绩的4个有效分数就是裁判1、2、3、6的打分。第一问直接代入平均数计算公式，列一元一次方程即可求解b的值。第二问先把第一问算出的b值代入所有已知分数中，结合“去掉的两个分数是裁判4的94和裁判5的a”的条件，对比所有分数的大小关系，就可以推理判断a的属性。
【解析】
(1) 根据题意，参与计算选手最终成绩的4个分数分别是裁判1、2、3给出的94，以及裁判6给出的b，已知最终成绩为93.75分，由平均数计算公式可得：
$(94+94+94+b)÷4=93.75$
对方程求解：
整理得$282 + b = 93.75×4$，即$282 + b = 375$，
解得$b=93$。
(2) $a$是最低分，理由如下：
由(1)得$b=93$，已知被去掉的一个最高分和一个最低分为裁判4的94和裁判5的a，且$93＜94$，93没有被去掉，说明93既不是所有分数里的最高分也不是最低分，因此比93更小的a就是本次打分的最低分，符合去掉一高一低的规则。
【答案】
(1) $b$的值为93；(2) $a$是最低分，理由如上。
【知识点】
平均数计算，有理数大小比较
【点评】
本题结合演讲比赛打分的实际场景，考查平均数的实际应用和数值逻辑推理，解题核心是准确抓住“裁判4、裁判5的分数均被去掉”的关键条件，明确参与平均分计算的有效分数范围，整体侧重考察学生对实际问题的条件提取和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目给出的规则和关键条件：比赛成绩计算规则为6名裁判打分，去掉1个最高分和1个最低分，剩余4个分数的平均值为选手最终成绩，题目明确说明被去掉的两个分数是裁判4、裁判5的打分，因此参与计算最终成绩的4个有效分数就是裁判1、2、3、6的打分。第一问直接代入平均数计算公式，列一元一次方程即可求解b的值。第二问先把第一问算出的b值代入所有已知分数中，结合“去掉的两个分数是裁判4的94和裁判5的a”的条件，对比所有分数的大小关系，就可以推理判断a的属性。
【解析】
(1) 根据题意，参与计算选手最终成绩的4个分数分别是裁判1、2、3给出的94，以及裁判6给出的b，已知最终成绩为93.75分，由平均数计算公式可得：
$(94+94+94+b)÷4=93.75$
对方程求解：
整理得$282 + b = 93.75×4$，即$282 + b = 375$，
解得$b=93$。
(2) $a$是最低分，理由如下：
由(1)得$b=93$，已知被去掉的一个最高分和一个最低分为裁判4的94和裁判5的a，且$93＜94$，93没有被去掉，说明93既不是所有分数里的最高分也不是最低分，因此比93更小的a就是本次打分的最低分，符合去掉一高一低的规则。
【答案】
(1) $b$的值为93；(2) $a$是最低分，理由如上。
【知识点】
平均数计算，有理数大小比较
【点评】
本题结合演讲比赛打分的实际场景，考查平均数的实际应用和数值逻辑推理，解题核心是准确抓住“裁判4、裁判5的分数均被去掉”的关键条件，明确参与平均分计算的有效分数范围，整体侧重考察学生对实际问题的条件提取和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.8
