1.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$为角平分线，$CD=2$，$S_{△ ABC}=6$，则$AC+AB=$。

6

2.如图，△ABC中，AB=4，BC=6，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AF⊥BC于点F，若DE=2，则AF的长为 .

$\frac{10}{3}$

3.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1)利用直尺与圆规作$∠ CAB$的平分线交$BC$于点$H$；
(2)在(1)的条件下,若$CH=2$,$AB+AC=10$,求$△ ABC$的面积.

3.解:(1)如图所示；
(2)过点H作HM⊥AB于点M，
∵AH平分∠BAC，
∴HC=HM=2，
∴$S_{△ABC}=S_{△ACH}+S_{△ABH}$
$=\frac{1}{2}AC×2+\frac{1}{2}AB×2$
$=AC+AB$
$=10.$

4.(教材P53T6变式)如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM=PN.

4.证明:在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB=BC,\\∠ABD=∠CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB=∠CDB，
而PM⊥AD,PN⊥CD，
∴PM=PN.

5.(1)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在坐标轴上,∠AOP=45°,PA⊥PB,求证:PA=PB;
(2)如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,点E在AD上,点F在直线AB上,∠F=∠ECA.求证:EC=EF;
(3)如图,A,B分别在坐标轴上,AP⊥BP,∠OPB=45°,求证:OA=OB.

5.证明:(1)作PC⊥y轴,PD⊥x轴,垂足分别为C,D，
∵OP平分∠BOA，
∴PC=PD，
在△APC和△BPD中，
$\begin{cases}∠APC=∠BPD,\\PC=PD,\\∠ACP=∠PDB,\end{cases}$
∴△PAC≌△PBD(ASA)，
∴PA=PB；
(2)作EM⊥AB于点M,EN⊥AC于点N，
∵∠BAD=∠CAD，
∴EM=EN，
在△EMF和△ENC中，
$\begin{cases}∠F=∠ECN,\\∠EMF=∠ENC,\\EM=EN,\end{cases}$
∴△FEM≌△CEN(AAS)，
∴EC=EF；
(3)过O点作OC⊥AP，OD⊥BP分别交直线AP，BP于点C,D，
∴OC=OD，
在△AOC和△BOD中，
$\begin{cases}∠OAC=∠OBD,\\∠OCA=∠ODB,\\OC=OD,\end{cases}$
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴OA=OB.