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1. 解关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{a+b}{x} - \frac{b}{a} - \frac{a}{b} = 2(a+b ≠ 0)$。
答案
1. 方程两边都乘abx可得,ab(a+b)-b²x-a²x=2abx，
整理,得(a²+b²+2ab)x=ab(a+b).
∵a+b≠0,
∴x=ab(a+b)/(a+b)²=ab/(a+b).
经检验x=ab/(a+b)是原方程的解.
∴原方程的解是x=ab/(a+b).
整理,得(a²+b²+2ab)x=ab(a+b).
∵a+b≠0,
∴x=ab(a+b)/(a+b)²=ab/(a+b).
经检验x=ab/(a+b)是原方程的解.
∴原方程的解是x=ab/(a+b).
解析
【分析】
这是一道含参数的分式方程求解题目，解题遵循分式方程的通用解题思路：第一步先确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程；第二步求解整式方程，注意利用题目给出的$a+b≠0$的条件化简；第三步检验所得的解是否为原方程的增根。首先观察方程的分母为$x$、$a$、$b$，可得最简公分母为$abx$，同时隐含$a≠0$、$b≠0$、$x≠0$的条件；去分母后将含$x$的项合并，利用完全平方公式化简$x$的系数，再结合已知条件约分化简得到$x$的表达式，最后代入最简公分母检验即可。
【解析】
由分式有意义的条件可得：$a≠0$，$b≠0$，$x≠0$。
方程两边同时乘最简公分母$abx$，得：
$ab(a+b) - b^2x - a^2x = 2abx$
移项、合并同类项，得：
$(a^2 + 2ab + b^2)x = ab(a+b)$
由完全平方公式，左边可化为$(a+b)^2x$，即：
$(a+b)^2x = ab(a+b)$
∵$a+b≠0$，
∴方程两边同时除以$(a+b)$，得：
$(a+b)x = ab$
解得：$x = \frac{ab}{a+b}$
检验：当$x = \frac{ab}{a+b}$时，最简公分母$abx = \frac{a^2b^2}{a+b}$，
∵$a≠0$，$b≠0$，$a+b≠0$，
∴$abx≠0$，
∴$x = \frac{ab}{a+b}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\frac{ab}{a+b}$
【知识点】
分式方程的解法；完全平方公式；分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式方程的基础拓展题型，解题时要严格遵守分式方程的求解步骤，去分母时不要漏乘不含分母的项，要注意题目给出的参数限制条件是化简的关键，最后不要忘记检验所得的解是否会使原方程分母为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
这是一道含参数的分式方程求解题目，解题遵循分式方程的通用解题思路：第一步先确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程；第二步求解整式方程，注意利用题目给出的$a+b≠0$的条件化简；第三步检验所得的解是否为原方程的增根。首先观察方程的分母为$x$、$a$、$b$，可得最简公分母为$abx$，同时隐含$a≠0$、$b≠0$、$x≠0$的条件；去分母后将含$x$的项合并，利用完全平方公式化简$x$的系数，再结合已知条件约分化简得到$x$的表达式，最后代入最简公分母检验即可。
【解析】
由分式有意义的条件可得：$a≠0$，$b≠0$，$x≠0$。
方程两边同时乘最简公分母$abx$，得：
$ab(a+b) - b^2x - a^2x = 2abx$
移项、合并同类项，得：
$(a^2 + 2ab + b^2)x = ab(a+b)$
由完全平方公式，左边可化为$(a+b)^2x$，即：
$(a+b)^2x = ab(a+b)$
∵$a+b≠0$，
∴方程两边同时除以$(a+b)$，得：
$(a+b)x = ab$
解得：$x = \frac{ab}{a+b}$
检验：当$x = \frac{ab}{a+b}$时，最简公分母$abx = \frac{a^2b^2}{a+b}$，
∵$a≠0$，$b≠0$，$a+b≠0$，
∴$abx≠0$，
∴$x = \frac{ab}{a+b}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\frac{ab}{a+b}$
【知识点】
分式方程的解法；完全平方公式；分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式方程的基础拓展题型，解题时要严格遵守分式方程的求解步骤，去分母时不要漏乘不含分母的项，要注意题目给出的参数限制条件是化简的关键，最后不要忘记检验所得的解是否会使原方程分母为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
2. 点A,B在数轴上,它们对应的数分别是$\frac{x}{x-1}$和$\frac{x^2 - 6x + 9}{3x - x^2}$,且A,B关于原点对称.求x的值.
答案
2. 由题意,得$\frac{x}{x-1}+\frac{x^2-6x+9}{3x-x^2}=0$,
即$\frac{x}{x-1}-\frac{x-3}{x}=0$,解得$x=\frac{3}{4}$.
经检验,$x=\frac{3}{4}$是原方程的解.
∴x的值为$\frac{3}{4}$.
即$\frac{x}{x-1}-\frac{x-3}{x}=0$,解得$x=\frac{3}{4}$.
经检验,$x=\frac{3}{4}$是原方程的解.
∴x的值为$\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
解题首先利用数轴上关于原点对称的两点的性质：两点对应的数互为相反数，即两数之和为0，据此可列出关于x的方程；接下来对第二个分式因式分解、约分简化，注意处理分母的符号避免出错；再将分式方程去分母转化为整式方程求解；最后要检验所求的解是否使原方程所有分母不为0，排除增根。
【解析】
解：
∵点A、B关于原点对称，
∴两点对应的数互为相反数，可得：
$\frac{x}{x-1}+\frac{x^2 - 6x + 9}{3x - x^2}=0$
对第二个分式化简：分子$x^2-6x+9=(x-3)^2$，分母$3x-x^2=-x(x-3)$，代入得：
$\frac{x}{x-1}+\frac{(x-3)^2}{-x(x-3)}=0$
约分化简得：
$\frac{x}{x-1}-\frac{x-3}{x}=0$
方程两边同时乘最简公分母$x(x-1)$去分母得：
$x^2 - (x-3)(x-1) = 0$
展开计算：
$x^2 - (x^2 - 4x + 3) = 0$
$4x - 3 = 0$
解得$x=\frac{3}{4}$
检验：当$x=\frac{3}{4}$时，$x(x-1)≠0$，原分式各分母均不为0，故$x=\frac{3}{4}$是原方程的解。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 数轴对称点性质 2. 分式化简 3. 分式方程求解
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是掌握原点对称点的数值特征，化简分式时要注意符号处理，解分式方程后必须检验，避免增根错误。
【难度系数】
0.6
解题首先利用数轴上关于原点对称的两点的性质：两点对应的数互为相反数，即两数之和为0，据此可列出关于x的方程；接下来对第二个分式因式分解、约分简化，注意处理分母的符号避免出错；再将分式方程去分母转化为整式方程求解；最后要检验所求的解是否使原方程所有分母不为0，排除增根。
【解析】
解：
∵点A、B关于原点对称，
∴两点对应的数互为相反数，可得：
$\frac{x}{x-1}+\frac{x^2 - 6x + 9}{3x - x^2}=0$
对第二个分式化简：分子$x^2-6x+9=(x-3)^2$，分母$3x-x^2=-x(x-3)$，代入得：
$\frac{x}{x-1}+\frac{(x-3)^2}{-x(x-3)}=0$
约分化简得：
$\frac{x}{x-1}-\frac{x-3}{x}=0$
方程两边同时乘最简公分母$x(x-1)$去分母得：
$x^2 - (x-3)(x-1) = 0$
展开计算：
$x^2 - (x^2 - 4x + 3) = 0$
$4x - 3 = 0$
解得$x=\frac{3}{4}$
检验：当$x=\frac{3}{4}$时，$x(x-1)≠0$，原分式各分母均不为0，故$x=\frac{3}{4}$是原方程的解。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 数轴对称点性质 2. 分式化简 3. 分式方程求解
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是掌握原点对称点的数值特征，化简分式时要注意符号处理，解分式方程后必须检验，避免增根错误。
【难度系数】
0.6
3. 是否存在实数 $x$，使得代数式$\dfrac{x-2}{x+2}-\dfrac{16}{x^2-4}$与代数式$1+\dfrac{4}{x-2}$的值相等.
答案
3. 由题意,得$\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=1+\frac{4}{x-2}$,解得$x=-2$.
∵当x=-2时,原方程无意义,
∴x的值不存在.
∵当x=-2时,原方程无意义,
∴x的值不存在.
解析
【分析】
要判断是否存在满足条件的实数x，首先根据两个代数式相等的关系列出分式方程；其次明确分式有意义的前提是分母不为0，先确定x的取值限制；再将分式方程去分母转化为整式方程求解；最后对求出的解进行检验，若解为增根则说明不存在符合条件的x，若解有效则存在对应的x。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$\dfrac{x-2}{x+2}-\dfrac{16}{x^2-4}=1+\dfrac{4}{x-2}$
由分式有意义的条件可知：$x+2≠0$，$x-2≠0$，即$x≠\pm2$。
方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-2)$去分母得：
$(x-2)^2 - 16 = (x+2)(x-2) + 4(x+2)$
展开整理得：
$x^2 -4x +4 -16 = x^2 -4 +4x +8$
$x^2 -4x -12 = x^2 +4x +4$
移项合并同类项得：
$-8x = 16$
解得$x=-2$
检验：当$x=-2$时，最简公分母$(x+2)(x-2)=0$，因此$x=-2$是原方程的增根，原方程无解。
故不存在符合条件的实数x。
【答案】
不存在满足条件的实数x
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；增根的检验
【点评】
本题是分式方程的典型易错题，易错点在于求解后忽略验根步骤，直接将增根当作有效解，解题时需牢记解分式方程必须检验根是否使原方程的分母为0，增根需舍去。
【难度系数】
0.5
要判断是否存在满足条件的实数x，首先根据两个代数式相等的关系列出分式方程；其次明确分式有意义的前提是分母不为0，先确定x的取值限制；再将分式方程去分母转化为整式方程求解；最后对求出的解进行检验，若解为增根则说明不存在符合条件的x，若解有效则存在对应的x。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$\dfrac{x-2}{x+2}-\dfrac{16}{x^2-4}=1+\dfrac{4}{x-2}$
由分式有意义的条件可知：$x+2≠0$，$x-2≠0$，即$x≠\pm2$。
方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-2)$去分母得：
$(x-2)^2 - 16 = (x+2)(x-2) + 4(x+2)$
展开整理得：
$x^2 -4x +4 -16 = x^2 -4 +4x +8$
$x^2 -4x -12 = x^2 +4x +4$
移项合并同类项得：
$-8x = 16$
解得$x=-2$
检验：当$x=-2$时，最简公分母$(x+2)(x-2)=0$，因此$x=-2$是原方程的增根，原方程无解。
故不存在符合条件的实数x。
【答案】
不存在满足条件的实数x
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；增根的检验
【点评】
本题是分式方程的典型易错题，易错点在于求解后忽略验根步骤，直接将增根当作有效解，解题时需牢记解分式方程必须检验根是否使原方程的分母为0，增根需舍去。
【难度系数】
0.5
4. 已知分式方程$x+\dfrac{10x-x^2}{x-5}=-5$的解是$a$，求当$y$为何值时，分式$\dfrac{2a}{y-1}$比分式$\dfrac{y-6}{1-y}$大$4$？
答案
4. 解分式方程$x+\frac{10x-x^2}{x-5}=-5$,得$x=\frac{5}{2}$,
经检验$x=\frac{5}{2}$是分式方程的解,即$a=\frac{5}{2}$.
由题意,得$\frac{5}{y-1}-\frac{y-6}{1-y}=4$,解得$y=1$,
经检验$y=1$不是分式方程的解.
故不存在满足条件的y值,使得分式$\frac{2a}{y-1}$比分式$\frac{y-6}{1-y}$大4.
经检验$x=\frac{5}{2}$是分式方程的解,即$a=\frac{5}{2}$.
由题意,得$\frac{5}{y-1}-\frac{y-6}{1-y}=4$,解得$y=1$,
经检验$y=1$不是分式方程的解.
故不存在满足条件的y值,使得分式$\frac{2a}{y-1}$比分式$\frac{y-6}{1-y}$大4.
解析
【分析】
解题需分两步进行：①先求解给定的分式方程得到a的值，解分式方程时先通过乘最简公分母将其转化为整式方程，解出整式方程的根后必须检验是否使原分式分母不为0，确认a的取值；②再根据“$\dfrac{2a}{y-1}$比$\dfrac{y-6}{1-y}$大4”的数量关系列新的分式方程，同样转化为整式方程求解，最后检验根的有效性，若为增根则不存在符合条件的y值。
【解析】
1. 求解a的值：
解分式方程$x+\dfrac{10x-x^2}{x-5}=-5$，
最简公分母为$x-5$，方程两边同时乘$x-5$（$x≠5$）得：
$x(x-5)+10x-x^2=-5(x-5)$，
展开整理左边：$x^2-5x+10x-x^2=5x$，
右边：$-5x+25$，
即$5x=-5x+25$，
移项合并得$10x=25$，
解得$x=\dfrac{5}{2}$。
检验：当$x=\dfrac{5}{2}$时，$x-5=\dfrac{5}{2}-5=-\dfrac{5}{2}≠0$，故$x=\dfrac{5}{2}$是原分式方程的解，即$a=\dfrac{5}{2}$。
2. 列方程求解y：
由题意得：$\dfrac{2a}{y-1}-\dfrac{y-6}{1-y}=4$，
将$a=\dfrac{5}{2}$代入得$2a=5$，方程变为：
$\dfrac{5}{y-1}-\dfrac{y-6}{1-y}=4$，
将$\dfrac{y-6}{1-y}$变形为$-\dfrac{y-6}{y-1}$，方程可化为：
$\dfrac{5}{y-1}+\dfrac{y-6}{y-1}=4$，
方程两边同时乘$y-1$（$y≠1$）得：
$5+y-6=4(y-1)$，
整理得$y-1=4y-4$，
移项合并得$-3y=-3$，
解得$y=1$。
检验：当$y=1$时，分母$y-1=0$，故$y=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
不存在满足条件的y值，使得分式$\dfrac{2a}{y-1}$比分式$\dfrac{y-6}{1-y}$大4。
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，列分式方程
【点评】
本题重点考查分式方程的求解及应用，解题的易错点有两处：一是处理$\dfrac{y-6}{1-y}$的符号时容易出错，二是解完分式方程后忽略验根，误将增根当成有效解。
【难度系数】
0.6
解题需分两步进行：①先求解给定的分式方程得到a的值，解分式方程时先通过乘最简公分母将其转化为整式方程，解出整式方程的根后必须检验是否使原分式分母不为0，确认a的取值；②再根据“$\dfrac{2a}{y-1}$比$\dfrac{y-6}{1-y}$大4”的数量关系列新的分式方程，同样转化为整式方程求解，最后检验根的有效性，若为增根则不存在符合条件的y值。
【解析】
1. 求解a的值：
解分式方程$x+\dfrac{10x-x^2}{x-5}=-5$，
最简公分母为$x-5$，方程两边同时乘$x-5$（$x≠5$）得：
$x(x-5)+10x-x^2=-5(x-5)$，
展开整理左边：$x^2-5x+10x-x^2=5x$，
右边：$-5x+25$，
即$5x=-5x+25$，
移项合并得$10x=25$，
解得$x=\dfrac{5}{2}$。
检验：当$x=\dfrac{5}{2}$时，$x-5=\dfrac{5}{2}-5=-\dfrac{5}{2}≠0$，故$x=\dfrac{5}{2}$是原分式方程的解，即$a=\dfrac{5}{2}$。
2. 列方程求解y：
由题意得：$\dfrac{2a}{y-1}-\dfrac{y-6}{1-y}=4$，
将$a=\dfrac{5}{2}$代入得$2a=5$，方程变为：
$\dfrac{5}{y-1}-\dfrac{y-6}{1-y}=4$，
将$\dfrac{y-6}{1-y}$变形为$-\dfrac{y-6}{y-1}$，方程可化为：
$\dfrac{5}{y-1}+\dfrac{y-6}{y-1}=4$，
方程两边同时乘$y-1$（$y≠1$）得：
$5+y-6=4(y-1)$，
整理得$y-1=4y-4$，
移项合并得$-3y=-3$，
解得$y=1$。
检验：当$y=1$时，分母$y-1=0$，故$y=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
不存在满足条件的y值，使得分式$\dfrac{2a}{y-1}$比分式$\dfrac{y-6}{1-y}$大4。
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，列分式方程
【点评】
本题重点考查分式方程的求解及应用，解题的易错点有两处：一是处理$\dfrac{y-6}{1-y}$的符号时容易出错，二是解完分式方程后忽略验根，误将增根当成有效解。
【难度系数】
0.6
