9. 如图,在$△ OEF$中,OE的长为2,过点E作$EF ⊥ OE$,且$EF=\frac{1}{2}OE$,连接OF;以点F为圆心,EF的长为半径作弧,交OF于点H;再以点O为圆心,OH的长为半径作弧,交OE于点P。
(1)由上述作图可知,图中相等的线段是;
(2)求OP的长;
(3)求证:P是线段OE的黄金分割点。

9. (1) EF=FH,OH=OP
(2) 解:
∵ EF⊥OE,
∴ ∠OEF=90°。
∵ OE=2,
∴ EF=$\frac{1}{2}$OE=1。
由勾股定理,得 $OF = \sqrt{OE^2+EF^2} = \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
∵ FH=EF=1,
∴ OP=OH=OF−FH=$\sqrt{5}-1$。
∴ OP=$\sqrt{5}-1$。
(3) 证明:
∵ OP=$\sqrt{5}-1$,
∴ $OP^2=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$。
∵ PE=OE−OP=$2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$,
∴ $OE · PE=2 × (3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$。
∴ $OP^2=OE · PE$,
即 $PE:OP=OP:OE$。
∴ P是线段OE的黄金分割点。

10. 在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF相交于点G，连接CG并延长，交AB于点M。
(1)如图①，若AB=BC，BE=CF。
①AE与BF的关系为；
②若M是边AB的中点，求证：E是BC的一个黄金分割点。
(2)如图②，若E是边BC的中点，BF⊥AE，G是线段CM上的一个黄金分割点，且CG＞GM，求$\frac{AM}{BM}$的值。

10. (1)① AE=BF,AE⊥BF
② 证明:
∵∠AGB=90°,M 为 AB 的中点，
∴AM=BM=MG。
∴∠MBG=∠MGB=∠FGC。
∵AB//CD，
∴∠CFB=∠ABG。
∴∠CFB=∠CGF。
∴CG=CF=BE。
∵∠CGE=∠AGM,∠AGM+∠MGB=90°，
∴∠MGB+∠CGE=90°。
∵∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠CGE=∠CBG。
∴△CGE∽△CBG。
∴$\frac{CG}{CB}=\frac{CE}{CG}$。
∴CG²=CE·CB。
∴BE²=CE·CB。
∴E 是 BC 的一个黄金分割点。
(2) 解: 如图,过点 M 作 MN//BC,交 AE 于点 N。

设 AM=k,MB=1。
∵G 是线段 CM 的一个黄金分割点,且CG＞GM，
∴CG²=CM·GM。
∴$\frac{CG}{CM}=\frac{GM}{CG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵MN//BE，
∴$\frac{MN}{BE}=\frac{AM}{AB}$,$\frac{MN}{CE}=\frac{GM}{CG}$。
∵E 是边 BC 的中点，
∴BE=CE。
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{GM}{CG}$,即$\frac{k}{k+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∴$k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
∴$\frac{AM}{BM}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。