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三、解答题
7. 如图，小明在大楼30 m高（即$PH=30\ \mathrm{m}$）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为$15°$，山脚B处的俯角为$60°$.已知该山坡的坡度$i$（即$\tan∠ ABC$）为$1:\sqrt{3}$，点$P$，$H$，$B$，$C$，$A$在同一个平面上.点$H$，$B$，$C$在同一条直线上，且$PH⊥ HC$.
（1）山坡坡角（即$∠ ABC$）的度数等于；
（2）求$A$，$B$两点间的距离.（结果精确到$0.1\ \mathrm{m}$，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$）
7. 如图，小明在大楼30 m高（即$PH=30\ \mathrm{m}$）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为$15°$，山脚B处的俯角为$60°$.已知该山坡的坡度$i$（即$\tan∠ ABC$）为$1:\sqrt{3}$，点$P$，$H$，$B$，$C$，$A$在同一个平面上.点$H$，$B$，$C$在同一条直线上，且$PH⊥ HC$.
（1）山坡坡角（即$∠ ABC$）的度数等于；
（2）求$A$，$B$两点间的距离.（结果精确到$0.1\ \mathrm{m}$，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$）
答案
$\boldsymbol{30°}$
---
（2）
解：由题意，过点$P$的水平视线$PD // HC$，
$\therefore ∠ DPB = ∠ PBH = 60°$，$∠ APD = 15°$，
$\therefore ∠ APB = ∠ DPB - ∠ APD = 60° - 15° = 45°$。
$\because PH ⊥ HC$，$PH = 30\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PHB$中，$∠ PHB = 90°$，
$\sin∠ PBH = \frac{PH}{PB}$，
$\therefore PB = \frac{PH}{\sin60°} = \frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ ABC = 30°$，
$\therefore ∠ ABP = 180° - ∠ PBH - ∠ ABC = 180° - 60° - 30° = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$∠ ABP = 90°$，$∠ APB = 45°$，
$\therefore AB = PB = 20\sqrt{3} \approx 20 × 1.732 = 34.6\ \mathrm{m}$。
答：$A$，$B$两点间的距离约为$34.6\ \mathrm{m}$。
---
（2）
解：由题意，过点$P$的水平视线$PD // HC$，
$\therefore ∠ DPB = ∠ PBH = 60°$，$∠ APD = 15°$，
$\therefore ∠ APB = ∠ DPB - ∠ APD = 60° - 15° = 45°$。
$\because PH ⊥ HC$，$PH = 30\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PHB$中，$∠ PHB = 90°$，
$\sin∠ PBH = \frac{PH}{PB}$，
$\therefore PB = \frac{PH}{\sin60°} = \frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ ABC = 30°$，
$\therefore ∠ ABP = 180° - ∠ PBH - ∠ ABC = 180° - 60° - 30° = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$∠ ABP = 90°$，$∠ APB = 45°$，
$\therefore AB = PB = 20\sqrt{3} \approx 20 × 1.732 = 34.6\ \mathrm{m}$。
答：$A$，$B$两点间的距离约为$34.6\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
（1）求山坡坡角$∠ ABC$的度数：已知坡度$i=\tan∠ ABC=1:\sqrt{3}$，结合特殊角的三角函数值，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，可直接得出$∠ ABC$的度数。
（2）求$A$、$B$两点间的距离：首先根据俯角定义和平行线内错角相等的性质，得到$∠ PBH=60°$，在$\mathrm{Rt}△ PHB$中利用正弦函数求出$PB$的长度；再计算得$∠ APB=60°-15°=45°$，结合平角性质推导得$∠ ABP=90°$，可知$△ ABP$是等腰直角三角形，因此$AB=PB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
（1）已知坡度$i=\tan∠ ABC=1:\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因为$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$∠ ABC=30°$。
（2）解：由题意，过点$P$的水平视线$PD // HC$，
$\therefore ∠ DPB = ∠ PBH = 60°$，$∠ APD = 15°$，
$\therefore ∠ APB = ∠ DPB - ∠ APD = 60° - 15° = 45°$。
$\because PH ⊥ HC$，$PH = 30\ \mathrm{m}$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ PHB$中，$∠ PHB = 90°$，
$\sin∠ PBH = \frac{PH}{PB}$，
$\therefore PB = \frac{PH}{\sin60°} = \frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ ABC = 30°$，
$\therefore ∠ ABP = 180° - ∠ PBH - ∠ ABC = 180° - 60° - 30° = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$∠ ABP = 90°$，$∠ APB = 45°$，
$\therefore AB = PB = 20\sqrt{3} \approx 20 × 1.732 = 34.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{30°}$；（2）$\boldsymbol{34.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形应用；特殊角三角函数；坡度俯角概念
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的相关知识，需要将实际中的坡度、俯角条件转化为几何中的角度关系，再利用特殊角的三角函数值计算边长，解题核心是推导得出$△ ABP$为等腰直角三角形，掌握相关概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）求山坡坡角$∠ ABC$的度数：已知坡度$i=\tan∠ ABC=1:\sqrt{3}$，结合特殊角的三角函数值，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，可直接得出$∠ ABC$的度数。
（2）求$A$、$B$两点间的距离：首先根据俯角定义和平行线内错角相等的性质，得到$∠ PBH=60°$，在$\mathrm{Rt}△ PHB$中利用正弦函数求出$PB$的长度；再计算得$∠ APB=60°-15°=45°$，结合平角性质推导得$∠ ABP=90°$，可知$△ ABP$是等腰直角三角形，因此$AB=PB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
（1）已知坡度$i=\tan∠ ABC=1:\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因为$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$∠ ABC=30°$。
（2）解：由题意，过点$P$的水平视线$PD // HC$，
$\therefore ∠ DPB = ∠ PBH = 60°$，$∠ APD = 15°$，
$\therefore ∠ APB = ∠ DPB - ∠ APD = 60° - 15° = 45°$。
$\because PH ⊥ HC$，$PH = 30\ \mathrm{m}$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ PHB$中，$∠ PHB = 90°$，
$\sin∠ PBH = \frac{PH}{PB}$，
$\therefore PB = \frac{PH}{\sin60°} = \frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ ABC = 30°$，
$\therefore ∠ ABP = 180° - ∠ PBH - ∠ ABC = 180° - 60° - 30° = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$∠ ABP = 90°$，$∠ APB = 45°$，
$\therefore AB = PB = 20\sqrt{3} \approx 20 × 1.732 = 34.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{30°}$；（2）$\boldsymbol{34.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形应用；特殊角三角函数；坡度俯角概念
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的相关知识，需要将实际中的坡度、俯角条件转化为几何中的角度关系，再利用特殊角的三角函数值计算边长，解题核心是推导得出$△ ABP$为等腰直角三角形，掌握相关概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线.已知甲山上点A到河边C的距离$AC=130\ \mathrm{m}$，点A到CD的垂直距离为120 m；乙山BD的坡比为$4:3$，乙山上点B到河边D的距离$BD=450\ \mathrm{m}$，从B处看A处的俯角为$25°$.(参考数据：$\sin 25° \approx 0.423$，$\cos 25° \approx 0.906$，$\tan 25° \approx 0.466$)
（1）求点B到CD的垂直距离；
（2）求河CD的宽度.（结果精确到1 m）
（1）求点B到CD的垂直距离；
（2）求河CD的宽度.（结果精确到1 m）
答案
解：
（1）过点B作$BF ⊥ CD$，垂足为F。
∵ 乙山BD的坡比为$4:3$，
∴ $BF:DF = 4:3$。
设$BF=4x\ \mathrm{m}$，$DF=3x\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{BF^2 + DF^2} = 5x\ \mathrm{m}$，
∵ $BD=450\ \mathrm{m}$，
∴ $5x=450$，解得$x=90$，
∴ $BF=4 × 90 = 360\ \mathrm{m}$。
（2）过点A作$AE ⊥ CD$，垂足为E，过点A作$AG ⊥ BF$，垂足为G。
由题意得$AE=120\ \mathrm{m}$，四边形AEFG是矩形，
∴ $GF=AE=120\ \mathrm{m}$，$AG=EF$。
∴ $BG=BF - GF = 360 - 120 = 240\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AC=130\ \mathrm{m}$，$AE=120\ \mathrm{m}$，
∴ $CE=\sqrt{AC^2 - AE^2}=\sqrt{130^2 - 120^2}=50\ \mathrm{m}$。
由题意，从B处看A处的俯角为$25°$，即$∠ BAG=25°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$\tan∠ BAG = \frac{BG}{AG}$，
∴ $AG = \frac{BG}{\tan25°} \approx \frac{240}{0.466} \approx 515.0\ \mathrm{m}$。
又∵ $DF=3x=270\ \mathrm{m}$，$EF=CE + CD + DF$，$AG=EF$，
∴ $CD = AG - CE - DF \approx 515.0 - 50 - 270 = 195\ \mathrm{m}$。
答：（1）点B到CD的垂直距离为360 m；（2）河CD的宽度约为195 m。
（1）过点B作$BF ⊥ CD$，垂足为F。
∵ 乙山BD的坡比为$4:3$，
∴ $BF:DF = 4:3$。
设$BF=4x\ \mathrm{m}$，$DF=3x\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{BF^2 + DF^2} = 5x\ \mathrm{m}$，
∵ $BD=450\ \mathrm{m}$，
∴ $5x=450$，解得$x=90$，
∴ $BF=4 × 90 = 360\ \mathrm{m}$。
（2）过点A作$AE ⊥ CD$，垂足为E，过点A作$AG ⊥ BF$，垂足为G。
由题意得$AE=120\ \mathrm{m}$，四边形AEFG是矩形，
∴ $GF=AE=120\ \mathrm{m}$，$AG=EF$。
∴ $BG=BF - GF = 360 - 120 = 240\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AC=130\ \mathrm{m}$，$AE=120\ \mathrm{m}$，
∴ $CE=\sqrt{AC^2 - AE^2}=\sqrt{130^2 - 120^2}=50\ \mathrm{m}$。
由题意，从B处看A处的俯角为$25°$，即$∠ BAG=25°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$\tan∠ BAG = \frac{BG}{AG}$，
∴ $AG = \frac{BG}{\tan25°} \approx \frac{240}{0.466} \approx 515.0\ \mathrm{m}$。
又∵ $DF=3x=270\ \mathrm{m}$，$EF=CE + CD + DF$，$AG=EF$，
∴ $CD = AG - CE - DF \approx 515.0 - 50 - 270 = 195\ \mathrm{m}$。
答：（1）点B到CD的垂直距离为360 m；（2）河CD的宽度约为195 m。
解析
【分析】
（1）求点B到CD的垂直距离时，先回忆坡比的定义：坡比是坡面垂直高度与水平宽度的比值，已知BD坡比为4:3，因此可以设垂直高度为4x、水平宽度为3x，再结合Rt△BDF中BD的长度，用勾股定理列方程即可求解。
（2）求河宽CD时，需要通过作辅助线构造直角三角形和矩形，把已知的垂直距离、俯角等条件转化为几何可计算量：先作AE⊥CD、AG⊥BF得到矩形AEFG，求出A、B两点的垂直高度差BG；再利用俯角25°，在Rt△ABG中通过正切函数求出AG的长度（即EF的长度）；接着在Rt△ACE中用勾股定理求出CE的长度，结合第一问得到的DF长度，根据EF=CE+CD+DF的关系，变形即可求出CD的长度。
【解析】
（1）过点B作$BF ⊥ CD$，垂足为F。
∵ 乙山BD的坡比为$4:3$，
∴ $BF:DF = 4:3$。
设$BF=4x\ \mathrm{m}$，$DF=3x\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{BF^2 + DF^2} = 5x\ \mathrm{m}$，
∵ $BD=450\ \mathrm{m}$，
∴ $5x=450$，解得$x=90$，
∴ $BF=4 × 90 = 360\ \mathrm{m}$。
（2）过点A作$AE ⊥ CD$，垂足为E，过点A作$AG ⊥ BF$，垂足为G。
由题意得$AE=120\ \mathrm{m}$，四边形AEFG是矩形，
∴ $GF=AE=120\ \mathrm{m}$，$AG=EF$。
∴ $BG=BF - GF = 360 - 120 = 240\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AC=130\ \mathrm{m}$，$AE=120\ \mathrm{m}$，
∴ $CE=\sqrt{AC^2 - AE^2}=\sqrt{130^2 - 120^2}=50\ \mathrm{m}$。
由题意，从B处看A处的俯角为$25°$，即$∠ BAG=25°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$\tan∠ BAG = \frac{BG}{AG}$，
∴ $AG = \frac{BG}{\tan25°} \approx \frac{240}{0.466} \approx 515.0\ \mathrm{m}$。
又
∵ $DF=3x=270\ \mathrm{m}$，$EF=CE + CD + DF$，$AG=EF$，
∴ $CD = AG - CE - DF \approx 515.0 - 50 - 270 = 195\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）点B到CD的垂直距离为$\boxed{360\ \mathrm{m}}$；
（2）河CD的宽度约为$\boxed{195\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，坡比的定义，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的相关知识，解题核心是准确理解坡比、俯角的概念，通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为几何计算问题，计算时要正确使用给出的参考数据，按要求保留近似值。
【难度系数】
0.6
（1）求点B到CD的垂直距离时，先回忆坡比的定义：坡比是坡面垂直高度与水平宽度的比值，已知BD坡比为4:3，因此可以设垂直高度为4x、水平宽度为3x，再结合Rt△BDF中BD的长度，用勾股定理列方程即可求解。
（2）求河宽CD时，需要通过作辅助线构造直角三角形和矩形，把已知的垂直距离、俯角等条件转化为几何可计算量：先作AE⊥CD、AG⊥BF得到矩形AEFG，求出A、B两点的垂直高度差BG；再利用俯角25°，在Rt△ABG中通过正切函数求出AG的长度（即EF的长度）；接着在Rt△ACE中用勾股定理求出CE的长度，结合第一问得到的DF长度，根据EF=CE+CD+DF的关系，变形即可求出CD的长度。
【解析】
（1）过点B作$BF ⊥ CD$，垂足为F。
∵ 乙山BD的坡比为$4:3$，
∴ $BF:DF = 4:3$。
设$BF=4x\ \mathrm{m}$，$DF=3x\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{BF^2 + DF^2} = 5x\ \mathrm{m}$，
∵ $BD=450\ \mathrm{m}$，
∴ $5x=450$，解得$x=90$，
∴ $BF=4 × 90 = 360\ \mathrm{m}$。
（2）过点A作$AE ⊥ CD$，垂足为E，过点A作$AG ⊥ BF$，垂足为G。
由题意得$AE=120\ \mathrm{m}$，四边形AEFG是矩形，
∴ $GF=AE=120\ \mathrm{m}$，$AG=EF$。
∴ $BG=BF - GF = 360 - 120 = 240\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AC=130\ \mathrm{m}$，$AE=120\ \mathrm{m}$，
∴ $CE=\sqrt{AC^2 - AE^2}=\sqrt{130^2 - 120^2}=50\ \mathrm{m}$。
由题意，从B处看A处的俯角为$25°$，即$∠ BAG=25°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$\tan∠ BAG = \frac{BG}{AG}$，
∴ $AG = \frac{BG}{\tan25°} \approx \frac{240}{0.466} \approx 515.0\ \mathrm{m}$。
又
∵ $DF=3x=270\ \mathrm{m}$，$EF=CE + CD + DF$，$AG=EF$，
∴ $CD = AG - CE - DF \approx 515.0 - 50 - 270 = 195\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）点B到CD的垂直距离为$\boxed{360\ \mathrm{m}}$；
（2）河CD的宽度约为$\boxed{195\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，坡比的定义，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的相关知识，解题核心是准确理解坡比、俯角的概念，通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为几何计算问题，计算时要正确使用给出的参考数据，按要求保留近似值。
【难度系数】
0.6
