4.「2025江苏连云港中考，★★☆」某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强$p$(Pa)是气球体积$V$(m³)的反比例函数.当$V=1.2$时，$p=20\ 000$，则当$V=1.5$时，$p=$.

4.答案 16 000
解析 设反比例函数的解析式为 $p=\frac{k}{V}(k≠0)$,
把 $V=1.2,p=20\ 000$ 代入,得 $20\ 000=\frac{k}{1.2}$,
解得 $k=24\ 000$,$\therefore p=\frac{24\ 000}{V}$,
把 $V=1.5$ 代入 $p=\frac{24\ 000}{V}$,得 $p=\frac{24\ 000}{1.5}=16\ 000$.

5.「2025河南中考，★★☆」我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图所示的是研究“割圆术”时的一个图形，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点$O$，四边形$ABCD$为矩形，边$CD$与$\odot O$相切于点$E$，连接$BE$，$∠ ABE=15°$，连接$OE$交$AB$于点$F$.若$AB=4$，则图中阴影部分的面积为.

5.答案 $\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$
解析 $\because CD$ 与$\odot O$ 相切,$\therefore OE⊥ CD$,
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形,$\therefore AB// CD$,$\therefore OE⊥ AB$,
$\therefore AF=BF=\frac{1}{2}AB=2$,
$\because ∠ ABE=15°$,$\therefore ∠ AOE=2∠ ABE=30°$,
$\because OA=OB$,$OF⊥ AB$,$\therefore ∠ AOB=2∠ AOF=60°$,
$\therefore △ AOB$ 是等边三角形,$\therefore OA=AB=4$,
$\therefore OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=2\sqrt{3}$,
$\therefore$ 阴影部分的面积 $=S_{\mathrm{扇形}AOE}-S_{△ AOF}=\frac{30π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$.

6.「2025甘肃兰州中考，★★★」在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题.
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决.
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：

【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.

说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于或等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验.
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题.
(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式.
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围.

6.解析
(1)观察题图可知,$y$ 关于 $x$ 的函数是二次函数,设该二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$,
将 $(0,35),(1,56),(2,63)$ 代入,
得$\begin{cases} c=35,\\ a+b+c=56,\\ 4a+2b+c=63, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-7,\\ b=28,\\ c=35, \end{cases}$
$\therefore$ 该二次函数的表达式为 $y=-7x^2+28x+35$.
(2)当 $x=0$ 时,$y=35$,$\therefore$ 种子的自然发芽率为 35%,
当 $y=35$ 时,$-7x^2+28x+35=35$,解得 $x=0$ 或 $x=4$,
当 $y=0$ 时,$-7x^2+28x+35=0$,解得 $x=-1$(舍去)或 $x=5$,
$\therefore$ 抑制种子发芽时的生长素浓度范围为 $4＜x≤5$.