8 已知抛物线的顶点坐标是$(2,1)$，且抛物线经过点$(3,0)$，则这条抛物线对应的函数表达式为（）

A.$y=(x-2)^2 +1$
B.$y=(x+2)^2 +1$
C.$y=-(x+2)^2 +1$
D.$y=-(x-2)^2 +1$

D

9 将抛物线 $ y=2(x-1)^2 +3 $ 绕它的顶点旋转180°后得到的抛物线对应的函数表达式为.

$y=-2(x-1)^2+3$

10 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+4$与y轴交于点A,过点A且与x轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$于点B,C,则BC的长为.

$8$

11 新考向 新定义题 如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”.现将抛物线$C_{1}:y=(x-1)^{2}-1$沿$x$轴平移得到新抛物线$C_{2}$，如果“平衡点”为$(4,8)$，那么新抛物线$C_{2}$对应的函数表达式为.

$y=(x-7)^2-1$

12 如图，将抛物线$C_1: y=-x^2+2$向右平移1个单位得到抛物线$C_2$.（1）写出抛物线$C_2$对应的函数表达式；（2）涂色部分的面积为.

(1) 抛物线$C_2:y=-(x-1)^2+2$ (2) $2$

13 如图，直线$y=-3x+3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$，抛物线$y=a(x-2)^2+k$经过点$A$，$B$，且与$x$轴交于另一点$C$，其顶点为$P$。
（1）求点$C$的坐标及$a$，$k$的值；
（2）若抛物线的对称轴上有一点$Q$，使得$△ ABQ$是以$AB$为底边的等腰三角形，求点$Q$的坐标。

(1) 因为直线$y=-3x+3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$，所以易得点$A$的坐标为$(1,0)$，点$B$的坐标为$(0,3)$。因为抛物线$y=a(x-2)^2+k$的对称轴为直线$x=2$，所以点$A$与点$C$关于直线$x=2$对称。所以点$C$的坐标为$(3,0)$。因为抛物线$y=a(x-2)^2+k$经过点$A(1,0),B(0,3)$，所以$\begin{cases}a+k=0,\\4a+k=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\k=-1.\end{cases}$ 所以$a,k$的值分别为$1,-1$
(2) 设点$Q$的坐标为$(2,m)$，直线$x=2$交$x$轴于点$F$，连结$AQ,BQ$，过点$B$作$BE⊥$直线$x=2$于点$E$。在$\mathrm{Rt}△ AQF$中，$AQ^2=AF^2+QF^2=1+m^2$。在$\mathrm{Rt}△ BQE$中，$BQ^2=BE^2+EQ^2=4+(3-m)^2$。因为$△ ABQ$是以$AB$为底边的等腰三角形，所以$AQ=BQ$。所以$AQ^2=BQ^2$。所以$1+m^2=4+(3-m)^2$，解得$m=2$。所以点$Q$的坐标为$(2,2)$