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例1 如图，$△ ABC$ 的内切圆$\odot O$与BC边相切于点D，$∠ A=70°$，$∠ C=80°$，连接OB，OD，则$∠ BOD$ 的度数为。
【思路导析】根据三角形内角和定理和切线长定理解答即可。
【请你解答】。
【思路导析】根据三角形内角和定理和切线长定理解答即可。
【请你解答】。
答案
$\boldsymbol{75°}$
解析
【分析】
要求∠BOD的度数，可按以下思路推导：首先，已知△ABC中两个内角的度数，先根据三角形内角和求出∠ABC的度数；其次，内切圆的圆心O是△ABC的内心，即三角形三条角平分线的交点，因此OB平分∠ABC，可求出∠OBD的度数；最后，BC是⊙O的切线，根据切线的性质可知OD⊥BC，即△OBD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠BOD的度数。
【解析】
第一步：计算∠ABC的度数
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 70° - 80° = 30°$
第二步：求$∠ OBD$的度数
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，圆心O是$△ ABC$的内心
∴OB平分$∠ ABC$
∴$∠ OBD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 30° = 15°$
第三步：计算$∠ BOD$的度数
∵$\odot O$与BC相切于点D，根据切线的性质，得$OD ⊥ BC$
∴$∠ ODB = 90°$
在$Rt△ OBD$中，$∠ BOD + ∠ OBD = 90°$
∴$∠ BOD = 90° - 15° = 75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形内心的性质，切线的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握三角形内心的定义和切线的性质，结合角度的基本运算即可完成求解，考查学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.8
要求∠BOD的度数，可按以下思路推导：首先，已知△ABC中两个内角的度数，先根据三角形内角和求出∠ABC的度数；其次，内切圆的圆心O是△ABC的内心，即三角形三条角平分线的交点，因此OB平分∠ABC，可求出∠OBD的度数；最后，BC是⊙O的切线，根据切线的性质可知OD⊥BC，即△OBD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠BOD的度数。
【解析】
第一步：计算∠ABC的度数
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 70° - 80° = 30°$
第二步：求$∠ OBD$的度数
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，圆心O是$△ ABC$的内心
∴OB平分$∠ ABC$
∴$∠ OBD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 30° = 15°$
第三步：计算$∠ BOD$的度数
∵$\odot O$与BC相切于点D，根据切线的性质，得$OD ⊥ BC$
∴$∠ ODB = 90°$
在$Rt△ OBD$中，$∠ BOD + ∠ OBD = 90°$
∴$∠ BOD = 90° - 15° = 75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形内心的性质，切线的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握三角形内心的定义和切线的性质，结合角度的基本运算即可完成求解，考查学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.8
例2 如图，$\odot O$内切于$△ ABC$，$AB=AC=5$，$BC=6$，求$\odot O$的半径$r$.
【思路导析】过点$O$作三边的垂线段，运用面积法求解.
$S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC}$.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】过点$O$作三边的垂线段，运用面积法求解.
$S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC}$.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
过点A作AM⊥BC于点M，
∵ AB=AC=5，BC=6，
∴ BM = $\frac{1}{2}$BC = 3，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
∵ $\odot O$内切于$△ ABC$，
∴ 点O到$△ ABC$三边的距离都等于内切圆半径$r$，
∴ $S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC}$
$= \frac{1}{2} AB · r + \frac{1}{2} BC · r + \frac{1}{2} AC · r$
$= \frac{1}{2} (AB + BC + AC) · r$，
代入数值：
$12 = \frac{1}{2} × (5 + 6 + 5) × r$，
即 $8r = 12$，
解得 $r = \frac{3}{2}$。
答：$\odot O$的半径$r$为$\frac{3}{2}$。
过点A作AM⊥BC于点M，
∵ AB=AC=5，BC=6，
∴ BM = $\frac{1}{2}$BC = 3，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
∵ $\odot O$内切于$△ ABC$，
∴ 点O到$△ ABC$三边的距离都等于内切圆半径$r$，
∴ $S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC}$
$= \frac{1}{2} AB · r + \frac{1}{2} BC · r + \frac{1}{2} AC · r$
$= \frac{1}{2} (AB + BC + AC) · r$，
代入数值：
$12 = \frac{1}{2} × (5 + 6 + 5) × r$，
即 $8r = 12$，
解得 $r = \frac{3}{2}$。
答：$\odot O$的半径$r$为$\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
本题要求等腰三角形内切圆的半径，可采用面积法求解。第一步，利用等腰三角形三线合一的性质，作底边BC上的高AM，结合勾股定理求出高AM的长度，进而计算出△ABC的总面积；第二步，根据三角形内切圆的性质，内切圆圆心O到三边的距离都等于半径r，因此△ABC的面积可以拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为r，底分别为△ABC的三边长，据此建立关于r的方程，解方程即可求出r的值。
【解析】
过点A作AM⊥BC于点M，
∵ AB=AC=5，BC=6，
∴ BM = $\frac{1}{2}$BC = 3，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
∵ $\odot O$内切于$△ ABC$，
∴ 点O到$△ ABC$三边的距离都等于内切圆半径$r$，
∴ $S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC}$
$= \frac{1}{2} AB · r + \frac{1}{2} BC · r + \frac{1}{2} AC · r$
$= \frac{1}{2} (AB + BC + AC) · r$，
代入数值：
$12 = \frac{1}{2} × (5 + 6 + 5) × r$，
即 $8r = 12$，
解得 $r = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\odot O$的半径$r$为$\frac{3}{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆半径计算的基础典型题，用到的面积法是求解三角形内切圆半径的常用方法，解题时要熟练掌握相关几何性质，学会将整体图形面积拆分转化为多个小图形面积和的解题思路。
【难度系数】
0.7
本题要求等腰三角形内切圆的半径，可采用面积法求解。第一步，利用等腰三角形三线合一的性质，作底边BC上的高AM，结合勾股定理求出高AM的长度，进而计算出△ABC的总面积；第二步，根据三角形内切圆的性质，内切圆圆心O到三边的距离都等于半径r，因此△ABC的面积可以拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为r，底分别为△ABC的三边长，据此建立关于r的方程，解方程即可求出r的值。
【解析】
过点A作AM⊥BC于点M，
∵ AB=AC=5，BC=6，
∴ BM = $\frac{1}{2}$BC = 3，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
∵ $\odot O$内切于$△ ABC$，
∴ 点O到$△ ABC$三边的距离都等于内切圆半径$r$，
∴ $S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC}$
$= \frac{1}{2} AB · r + \frac{1}{2} BC · r + \frac{1}{2} AC · r$
$= \frac{1}{2} (AB + BC + AC) · r$，
代入数值：
$12 = \frac{1}{2} × (5 + 6 + 5) × r$，
即 $8r = 12$，
解得 $r = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\odot O$的半径$r$为$\frac{3}{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆半径计算的基础典型题，用到的面积法是求解三角形内切圆半径的常用方法，解题时要熟练掌握相关几何性质，学会将整体图形面积拆分转化为多个小图形面积和的解题思路。
【难度系数】
0.7
例3 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=6$,$AC=8$. $\odot O$是$△ ABC$的内切圆,$DE$是$\odot O$的切线,交$AB$,$AC$分别于点$D$,$E$.求$△ ADE$的周长.
【探究点拨】根据切线长定理可得$△ ADE$的周长$=AQ+AN$.
【规范解答】如图,记切点分别为$M$,$N$,$P$,$Q$.
在$Rt△ ABC$中,
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$,
由切线长定理可得$DP=DQ$,$BQ=BM$,$CM=CN$,$EP=EN$,
$\therefore △ ADE$的周长$=AD+DE+AE$
$=AD+DP+PE+AE$
$=AD+DQ+AE+EN$
$=AQ+AN=AB-BQ+AC-CN$
$=AB+AC-(BM+CM)$
$=AB+AC-BC$
$=10+8-6=12$.
【探究点拨】根据切线长定理可得$△ ADE$的周长$=AQ+AN$.
【规范解答】如图,记切点分别为$M$,$N$,$P$,$Q$.
在$Rt△ ABC$中,
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$,
由切线长定理可得$DP=DQ$,$BQ=BM$,$CM=CN$,$EP=EN$,
$\therefore △ ADE$的周长$=AD+DE+AE$
$=AD+DP+PE+AE$
$=AD+DQ+AE+EN$
$=AQ+AN=AB-BQ+AC-CN$
$=AB+AC-(BM+CM)$
$=AB+AC-BC$
$=10+8-6=12$.
答案
解：
设⊙O与AB、BC、AC的切点分别为Q、M、N，DE与⊙O的切点为P。
在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=6$，$AC=8$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
根据切线长定理，可得：
$DP=DQ$，$EP=EN$，$BQ=BM$，$CM=CN$。
∴$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE$
$=AD+DP+PE+AE$
$=AD+DQ+AE+EN$
$=AQ+AN$
$=(AB-BQ)+(AC-CN)$
$=AB+AC-(BQ+CN)$
$=AB+AC-(BM+CM)$
$=AB+AC-BC$
$=10+8-6=12$。
答：$△ ADE$的周长为12。
设⊙O与AB、BC、AC的切点分别为Q、M、N，DE与⊙O的切点为P。
在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=6$，$AC=8$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
根据切线长定理，可得：
$DP=DQ$，$EP=EN$，$BQ=BM$，$CM=CN$。
∴$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE$
$=AD+DP+PE+AE$
$=AD+DQ+AE+EN$
$=AQ+AN$
$=(AB-BQ)+(AC-CN)$
$=AB+AC-(BQ+CN)$
$=AB+AC-(BM+CM)$
$=AB+AC-BC$
$=10+8-6=12$。
答：$△ ADE$的周长为12。
解析
【分析】
本题是直角三角形内切圆结合切线的周长计算问题，解题思路如下：①首先根据直角三角形的两条直角边，用勾股定理算出斜边AB的长度，为后续代换做准备；②遇到与圆切线相关的周长计算问题，优先考虑切线长定理：观察△ADE的周长为AD+DE+AE，将DE拆为DP+PE，根据切线长定理可得DP=DQ、EP=EN，代入周长表达式即可将△ADE的周长转化为AQ+AN（Q、N分别是圆与AB、AC的切点）；③再次利用切线长定理，可知B到圆的两条切线长BQ=BM，C到圆的两条切线长CN=CM，因此BQ+CN=BM+CM=BC，进而将AQ+AN转化为AB+AC-BC，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
设$\odot O$与AB、BC、AC的切点分别为Q、M、N，DE与$\odot O$的切点为P。
在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=6$，$AC=8$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
根据切线长定理，可得：
$DP=DQ$，$EP=EN$，$BQ=BM$，$CM=CN$。
∴$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE$
$=AD+DP+PE+AE$
$=AD+DQ+AE+EN$
$=AQ+AN$
$=(AB-BQ)+(AC-CN)$
$=AB+AC-(BQ+CN)$
$=AB+AC-(BM+CM)$
$=AB+AC-BC$
$=10+8-6=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆的典型应用题型，核心考查切线长定理的灵活运用，通过线段的等量代换即可将未知的三角形周长转化为已知边长的和差运算，解题时要注意找准切线对应的相等线段，理清代换关系。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形内切圆结合切线的周长计算问题，解题思路如下：①首先根据直角三角形的两条直角边，用勾股定理算出斜边AB的长度，为后续代换做准备；②遇到与圆切线相关的周长计算问题，优先考虑切线长定理：观察△ADE的周长为AD+DE+AE，将DE拆为DP+PE，根据切线长定理可得DP=DQ、EP=EN，代入周长表达式即可将△ADE的周长转化为AQ+AN（Q、N分别是圆与AB、AC的切点）；③再次利用切线长定理，可知B到圆的两条切线长BQ=BM，C到圆的两条切线长CN=CM，因此BQ+CN=BM+CM=BC，进而将AQ+AN转化为AB+AC-BC，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
设$\odot O$与AB、BC、AC的切点分别为Q、M、N，DE与$\odot O$的切点为P。
在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=6$，$AC=8$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
根据切线长定理，可得：
$DP=DQ$，$EP=EN$，$BQ=BM$，$CM=CN$。
∴$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE$
$=AD+DP+PE+AE$
$=AD+DQ+AE+EN$
$=AQ+AN$
$=(AB-BQ)+(AC-CN)$
$=AB+AC-(BQ+CN)$
$=AB+AC-(BM+CM)$
$=AB+AC-BC$
$=10+8-6=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆的典型应用题型，核心考查切线长定理的灵活运用，通过线段的等量代换即可将未知的三角形周长转化为已知边长的和差运算，解题时要注意找准切线对应的相等线段，理清代换关系。
【难度系数】
0.7
1.如图，$\odot O$是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是$\overset{\frown}{DF}$上一点，则$∠ EPF$的度数是（）
A.$65°$
B.$60°$
C.$58°$
D.$50°$
A.$65°$
B.$60°$
C.$58°$
D.$50°$
答案
B
解析
【分析】
要求∠EPF的度数，首先想到圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此需要先求出∠EPF所对弧对应的圆心角度数。我们可以连接切点与圆心OE、OF，利用切线的性质得到OE⊥AB、OF⊥BC，再结合等边三角形内角为60°，通过四边形内角和求出圆心角∠EOF的度数，最后利用圆周角定理即可算出∠EPF的度数。
【解析】
解：连接OE、OF。
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°。
在四边形OEBF中，内角和为360°，
∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-60°=120°。
∵∠EPF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠EPF=½∠EOF=½×120°=60°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等边三角形的性质
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，解题的关键是连接圆心与切点构造出所求圆周角对应的圆心角，结合多边形内角和与圆周角定理即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
要求∠EPF的度数，首先想到圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此需要先求出∠EPF所对弧对应的圆心角度数。我们可以连接切点与圆心OE、OF，利用切线的性质得到OE⊥AB、OF⊥BC，再结合等边三角形内角为60°，通过四边形内角和求出圆心角∠EOF的度数，最后利用圆周角定理即可算出∠EPF的度数。
【解析】
解：连接OE、OF。
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°。
在四边形OEBF中，内角和为360°，
∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-60°=120°。
∵∠EPF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠EPF=½∠EOF=½×120°=60°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等边三角形的性质
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，解题的关键是连接圆心与切点构造出所求圆周角对应的圆心角，结合多边形内角和与圆周角定理即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
2.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$D$，$E$，$F$为切点，若$AB＝10$，$BC＝14$，$CA＝12$，求$AF$，$BD$和$CE$的长.
答案
解：
根据切线长定理，可得：
$AF=AE$，$BD=BF$，$CE=CD$。
设$AF=x$，$BD=y$，$CE=z$，则：
$\begin{cases}x + y = 10 \\y + z = 14 \\x + z = 12\end{cases}$
将三个方程左右两边分别相加，得：
$2(x+y+z)=36$，即$x+y+z=18$。
用$x+y+z=18$分别减去上述三个方程：
$z=18-10=8$，
$x=18-14=4$，
$y=18-12=6$。
即$AF=4$，$BD=6$，$CE=8$。
答：$AF$的长为4，$BD$的长为6，$CE$的长为8。
根据切线长定理，可得：
$AF=AE$，$BD=BF$，$CE=CD$。
设$AF=x$，$BD=y$，$CE=z$，则：
$\begin{cases}x + y = 10 \\y + z = 14 \\x + z = 12\end{cases}$
将三个方程左右两边分别相加，得：
$2(x+y+z)=36$，即$x+y+z=18$。
用$x+y+z=18$分别减去上述三个方程：
$z=18-10=8$，
$x=18-14=4$，
$y=18-12=6$。
即$AF=4$，$BD=6$，$CE=8$。
答：$AF$的长为4，$BD$的长为6，$CE$的长为8。
解析
【分析】
本题是三角形内切圆的边长计算问题，解题首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察图形可知，A、B、C三点都是圆外点，分别向圆引了两条切线，因此可得三组相等的线段：$AF=AE$，$BD=BF$，$CE=CD$。已知三角形三边的长度，我们可以设$AF$、$BD$、$CE$的长度分别为$x$、$y$、$z$，根据三组线段的和对应等于三角形三边长，列出三元一次方程组，再解方程组即可得到三个线段的长度。
【解析】
根据切线长定理，可得：
$AF=AE$，$BD=BF$，$CE=CD$。
设$AF=x$，$BD=y$，$CE=z$，结合已知三边长可得方程组：
$\begin{cases}x + y = 10 \\y + z = 14 \\x + z = 12\end{cases}$
将三个方程左右两边分别相加，得：
$2(x+y+z)=36$，化简得$x+y+z=18$。
用$x+y+z=18$分别减去上述三个方程：
$z=18-10=8$，
$x=18-14=4$，
$y=18-12=6$。
【答案】
$AF=4$，$BD=6$，$CE=8$
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆，解三元一次方程组
【点评】
本题是三角形内切圆相关的常规基础题，核心考查切线长定理的应用，结合方程思想将几何问题转化为方程组求解问题，是此类边长计算问题的典型考法，需熟练掌握切线长定理以及方程思想在几何计算中的运用。
【难度系数】
0.7
本题是三角形内切圆的边长计算问题，解题首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察图形可知，A、B、C三点都是圆外点，分别向圆引了两条切线，因此可得三组相等的线段：$AF=AE$，$BD=BF$，$CE=CD$。已知三角形三边的长度，我们可以设$AF$、$BD$、$CE$的长度分别为$x$、$y$、$z$，根据三组线段的和对应等于三角形三边长，列出三元一次方程组，再解方程组即可得到三个线段的长度。
【解析】
根据切线长定理，可得：
$AF=AE$，$BD=BF$，$CE=CD$。
设$AF=x$，$BD=y$，$CE=z$，结合已知三边长可得方程组：
$\begin{cases}x + y = 10 \\y + z = 14 \\x + z = 12\end{cases}$
将三个方程左右两边分别相加，得：
$2(x+y+z)=36$，化简得$x+y+z=18$。
用$x+y+z=18$分别减去上述三个方程：
$z=18-10=8$，
$x=18-14=4$，
$y=18-12=6$。
【答案】
$AF=4$，$BD=6$，$CE=8$
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆，解三元一次方程组
【点评】
本题是三角形内切圆相关的常规基础题，核心考查切线长定理的应用，结合方程思想将几何问题转化为方程组求解问题，是此类边长计算问题的典型考法，需熟练掌握切线长定理以及方程思想在几何计算中的运用。
【难度系数】
0.7
