1. 如图,在$△ ABC$中,以点A为圆心,AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连结MN交AB于点E.若AB=9,AC=7,则$△ ADE$的周长为 ()

A.22
B.20
C.18
D.16

1. D

2. ★★★（2026·苏州期中）如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=52°$，$P$为$△ ABC$内一点，过点$P$的直线$MN$分别交$AB$，$BC$于点$M$，$N$，若$M$在$PA$的垂直平分线上，$N$在$PC$的垂直平分线上，则$∠ APC$的度数为（）

A.$104°$
B.$116°$
C.$128°$
D.$142°$

2. B

3. 分类讨论思想 在$△ ABC$中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q。若$BC=10$，$QP=2$，则$△ AQP$的周长为。

3. 10或14

4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BC=5$,$△ ABC$的面积为20.$DE$垂直平分$AC$,分别交边$AB$,$AC$于点$D$,$E$,点$F$为直线$DE$上一动点,点$G$为$BC$的中点,连结$FG$,$FC$,则$△ FGC$的周长的最小值为.

4. $\dfrac{21}{2}$

5. 在$△ ABC$中，$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$于点$D$，$AC$边的垂直平分线$l_2$交$BC$于点$E$，$l_1$与$l_2$相交于点$O$.
(1)如图①,当$∠ ABC=∠ ACB=25°$时,求$∠ DAE$的度数.
(2)如图①,当$AB≠AC$,且$90°≤∠ BAC＜180°$时.
①若$∠ BAC=120°$,则$∠ DAE=$$°$;
②当$AD⊥ AE$时,求$∠ BAC$的度数.
(3)如图②,连结$OA$,$OB$,$OC$.若$△ ADE$的周长为$9\ \mathrm{cm}$,$△ OBC$的周长为$21\ \mathrm{cm}$,求$BC$,$OB$的长.

5. (1)
∵ AB 边的垂直平分线$l_1$交 BC 于点 D,
∴ DA=DB,由全等易证得∠BAD=∠B,同理:∠EAC=∠C,
∴ ∠BAD+∠EAC=∠B+∠C=25°+25°=50°.
∵ ∠BAC=180°-∠B-∠C=130°,
∴ ∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=130°-50°=80°.
(2)①60 解析:由(1)可知,∠BAD = ∠B, ∠EAC = ∠C,
∴ ∠BAD+∠EAC = ∠B+∠C.
∵ ∠BAC = 120°,
∴ ∠B+∠C = 60°,
∴ ∠BAD+∠EAC = 60°,
∴ ∠DAE = ∠BAC-(∠BAD+∠EAC)= 120°-60°=60°.
②当 AD ⊥ AE 时,∠DAE = 90°,由(1)可知,∠BAD = ∠B,∠EAC = ∠C,
∴ ∠BAD+∠EAC = ∠B+∠C.
∵ ∠BAD+∠EAC+∠B+∠C+∠DAE = 180°,
∴ ∠BAD+∠EAC = $\dfrac{1}{2}$×(180°-90°)=45°,
∴ ∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=90°+45°=135°.
(3)
∵ $l_1$垂直平分线段 AB,
∴ DA = DB,OB = OA,同理:EA = EC,OC = OA,
∴ DA+DE+EA = BD+DE+EC = BC.
∵ △ADE 的周长是9 cm,
∴ BC=9 cm.
∵ △OBC 的周长是 21 cm,
∴ OB+OC+BC=21 cm,
∴ OB+OC=21-9=12(cm),
∴ OB=OA=OC=6 cm.