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7.(跨学科融合)某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时,实验记录得到的相应数据如下表:
则 y 关于 x 的函数图象是 (
则 y 关于 x 的函数图象是 (
D
)答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先要结合弹簧长度随拉力变化的物理规律分阶段分析：第一步，当拉力x为0时，弹簧存在原长，因此函数图像的起点在y轴正半轴；第二步，在弹性限度内，弹簧伸长量和拉力成正比，因此弹簧总长度y随拉力x的增大匀速上升，对应一段斜向上的线段；第三步，当拉力超过弹性限度后，弹簧不再伸长，长度保持不变，对应一段平行于x轴的水平线段。结合这三个阶段的图像特征逐一比对选项即可得出答案。
【解析】
我们分阶段分析y随x的变化规律：
1. 当拉力$x=0$时，弹簧有固定原长，因此函数图像与y轴交于正半轴，可排除起点在原点的错误选项；
2. 当拉力在弹簧弹性限度内时，弹簧伸长量与拉力成正比，因此弹簧总长度$y$随拉力$x$的增大而均匀增大，对应图像为斜向上的线段；
3. 当拉力超出弹性限度后，弹簧不再伸长，长度保持恒定，因此后续图像为平行于x轴的水平线段。
综上，只有D选项的图像符合上述变化规律。
【答案】
D
【知识点】
函数图象识别，一次函数的实际应用，弹簧受力与长度的关系
【点评】
本题是跨学科融合类题目，结合物理中弹簧的受力特点考查函数图象的识别，解题核心是分阶段梳理因变量随自变量的变化特征，再对应匹配图像。
【难度系数】
0.7
解题时首先要结合弹簧长度随拉力变化的物理规律分阶段分析：第一步，当拉力x为0时，弹簧存在原长，因此函数图像的起点在y轴正半轴；第二步，在弹性限度内，弹簧伸长量和拉力成正比，因此弹簧总长度y随拉力x的增大匀速上升，对应一段斜向上的线段；第三步，当拉力超过弹性限度后，弹簧不再伸长，长度保持不变，对应一段平行于x轴的水平线段。结合这三个阶段的图像特征逐一比对选项即可得出答案。
【解析】
我们分阶段分析y随x的变化规律：
1. 当拉力$x=0$时，弹簧有固定原长，因此函数图像与y轴交于正半轴，可排除起点在原点的错误选项；
2. 当拉力在弹簧弹性限度内时，弹簧伸长量与拉力成正比，因此弹簧总长度$y$随拉力$x$的增大而均匀增大，对应图像为斜向上的线段；
3. 当拉力超出弹性限度后，弹簧不再伸长，长度保持恒定，因此后续图像为平行于x轴的水平线段。
综上，只有D选项的图像符合上述变化规律。
【答案】
D
【知识点】
函数图象识别，一次函数的实际应用，弹簧受力与长度的关系
【点评】
本题是跨学科融合类题目，结合物理中弹簧的受力特点考查函数图象的识别，解题核心是分阶段梳理因变量随自变量的变化特征，再对应匹配图像。
【难度系数】
0.7
8. 如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止，设注水时间为$t$. $y_1$（细实线）表示铁桶中水面高度，$y_2$（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则 $y_1,y_2$ 随时间 $t$ 变化的函数图象大致为（
C
）答案
8.C
解析
【分析】
解决本题需要按注水的先后顺序分阶段分析两个水面高度的变化规律：首先明确注水全程分为三个阶段：①往空铁桶注水至铁桶满；②铁桶满后水溢出，往水池注水至水池水面和铁桶高度齐平；③水池水面超过铁桶高度后继续注水至水池溢出。再分别分析每个阶段$y_1$（铁桶水面高度）、$y_2$（水池水面高度）的变化趋势和上升速度（即图象斜率），匹配对应的函数图象即可。
【解析】
我们分三个阶段分析高度随时间的变化：
1. 第一阶段（铁桶注满前）：水全部注入空铁桶，铁桶内水面高度$y_1$随时间$t$匀速上升，此时水未溢出铁桶，水池内没有水，因此$y_2$始终为0，对应$y_2$的图象与$t$轴重合。
2. 第二阶段（铁桶注满后到水池水面与铁桶高度齐平）：继续注水，水从铁桶溢出流入水池，铁桶内水面不再变化，因此$y_1$的图象为水平线段；此时水池的有效盛水底面积为“水池底面积 - 铁桶底面积”，因此水池水面$y_2$匀速上升，上升速度为注水速度除以该有效底面积。
3. 第三阶段（水池水面超过铁桶高度后）：继续注水时，铁桶完全被水池的水浸没，此时水池的有效盛水底面积为整个水池的底面积，底面积比第二阶段大，因此$y_2$的上升速度变慢，图象斜率比第二阶段小，直到水池注满后，$y_2$也保持水平不变。
结合“铁桶底面积小于水池底面积一半”的条件，可验证各阶段斜率大小符合规律，只有选项C符合上述变化特征。
【答案】
C
【知识点】
函数的图象表示，分段函数，实际问题的函数关系
【点评】
本题结合生活中的注水场景考查函数图象的识别，需要将实际过程拆解为不同阶段，分析每个阶段因变量的变化趋势和变化速度，能够有效考查对函数图象意义的理解能力。
【难度系数】
0.6
解决本题需要按注水的先后顺序分阶段分析两个水面高度的变化规律：首先明确注水全程分为三个阶段：①往空铁桶注水至铁桶满；②铁桶满后水溢出，往水池注水至水池水面和铁桶高度齐平；③水池水面超过铁桶高度后继续注水至水池溢出。再分别分析每个阶段$y_1$（铁桶水面高度）、$y_2$（水池水面高度）的变化趋势和上升速度（即图象斜率），匹配对应的函数图象即可。
【解析】
我们分三个阶段分析高度随时间的变化：
1. 第一阶段（铁桶注满前）：水全部注入空铁桶，铁桶内水面高度$y_1$随时间$t$匀速上升，此时水未溢出铁桶，水池内没有水，因此$y_2$始终为0，对应$y_2$的图象与$t$轴重合。
2. 第二阶段（铁桶注满后到水池水面与铁桶高度齐平）：继续注水，水从铁桶溢出流入水池，铁桶内水面不再变化，因此$y_1$的图象为水平线段；此时水池的有效盛水底面积为“水池底面积 - 铁桶底面积”，因此水池水面$y_2$匀速上升，上升速度为注水速度除以该有效底面积。
3. 第三阶段（水池水面超过铁桶高度后）：继续注水时，铁桶完全被水池的水浸没，此时水池的有效盛水底面积为整个水池的底面积，底面积比第二阶段大，因此$y_2$的上升速度变慢，图象斜率比第二阶段小，直到水池注满后，$y_2$也保持水平不变。
结合“铁桶底面积小于水池底面积一半”的条件，可验证各阶段斜率大小符合规律，只有选项C符合上述变化特征。
【答案】
C
【知识点】
函数的图象表示，分段函数，实际问题的函数关系
【点评】
本题结合生活中的注水场景考查函数图象的识别，需要将实际过程拆解为不同阶段，分析每个阶段因变量的变化趋势和变化速度，能够有效考查对函数图象意义的理解能力。
【难度系数】
0.6
9.(新考法)在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画a，b两个情境.
情境a:小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；
情境b:小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进.
(1)情境a，b所对应的函数图象分别是
(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境.
情境a:小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；
情境b:小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进.
(1)情境a，b所对应的函数图象分别是
③
、①
(填序号)；(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境.
答案
9.(1)③ ①
(2)解:情境:小芳离开家不久,休息了一会儿,又走回了家.
(2)解:情境:小芳离开家不久,休息了一会儿,又走回了家.
解析
【分析】
解题时首先明确函数图象的横轴代表时间、纵轴代表离开家的距离，再把每个情境拆分为多个阶段，逐一分析每个阶段“离开家的距离随时间的变化趋势”，和三个图象的变化特征匹配即可；对于剩余的图象，先拆解它的变化阶段，再结合生活实际编写合理的情境即可。
【解析】
(1) 先明确图象的横、纵轴含义：横轴为时间，纵轴为离开家的距离。
分析情境a：分为三个阶段：①离开家：距离随时间增加而增大；②返回家取作业本：距离随时间增加而减小，回到家时距离为0；③取完作业本去学校：距离随时间增加再次增大，符合该变化规律的是图象③。
分析情境b：分为两个阶段：①先走一段路程：速度较慢，距离随时间缓慢增大；②为赶时间加速前进：速度变快，距离随时间快速增大（图象倾斜程度变大），符合该变化规律的是图象①。
(2) 剩余的图象是②，它的变化阶段为：①距离随时间增加而增大（离开家）；②距离保持不变（停留）；③距离随时间增加减小到0（返回家），据此可编写对应情境。
【答案】
(1) $\boldsymbol{③}$；$\boldsymbol{①}$
(2) 小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家（答案合理即可）
【知识点】
函数图象的意义，实际问题的函数表示
【点评】
本题结合生活情境考查函数图象的识别与匹配，需要将实际事件的不同阶段和图象的变化趋势一一对应，侧重考查学生的读图分析能力和数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确函数图象的横轴代表时间、纵轴代表离开家的距离，再把每个情境拆分为多个阶段，逐一分析每个阶段“离开家的距离随时间的变化趋势”，和三个图象的变化特征匹配即可；对于剩余的图象，先拆解它的变化阶段，再结合生活实际编写合理的情境即可。
【解析】
(1) 先明确图象的横、纵轴含义：横轴为时间，纵轴为离开家的距离。
分析情境a：分为三个阶段：①离开家：距离随时间增加而增大；②返回家取作业本：距离随时间增加而减小，回到家时距离为0；③取完作业本去学校：距离随时间增加再次增大，符合该变化规律的是图象③。
分析情境b：分为两个阶段：①先走一段路程：速度较慢，距离随时间缓慢增大；②为赶时间加速前进：速度变快，距离随时间快速增大（图象倾斜程度变大），符合该变化规律的是图象①。
(2) 剩余的图象是②，它的变化阶段为：①距离随时间增加而增大（离开家）；②距离保持不变（停留）；③距离随时间增加减小到0（返回家），据此可编写对应情境。
【答案】
(1) $\boldsymbol{③}$；$\boldsymbol{①}$
(2) 小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家（答案合理即可）
【知识点】
函数图象的意义，实际问题的函数表示
【点评】
本题结合生活情境考查函数图象的识别与匹配，需要将实际事件的不同阶段和图象的变化趋势一一对应，侧重考查学生的读图分析能力和数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
10.(山西省中考改编)已知y是x的函数，自变量x的取值范围为x＞0，下表是y与x的几组对应值。
小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究。
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)如图，在平面直角坐标系中描出以上表格中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
(2)根据画出的函数图象，写出：
①x=4对应的函数值y约为
②该函数的一条性质：
小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究。
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)如图，在平面直角坐标系中描出以上表格中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
(2)根据画出的函数图象，写出：
①x=4对应的函数值y约为
2
；②该函数的一条性质：
当0＜x≤2，函数y的值随自变量x的增大而增大
答案
10.(1)解:如图所示.
(2)①2
②当$0＜x≤2$,函数$y$的值随自变量$x$的增大而增大
解析
【分析】
这道题考查函数图象的绘制及从图象中提取信息、分析函数性质的能力。解题思路：1. 第一问画函数图象，按照描点法的要求，用平滑的曲线将已描出的各点依次连接即可，注意自变量x＞0，原点处为空心点，不包含在图象上。2. 第二问第①小问，在x轴上找到x=4的位置，作竖直线与函数图象相交，交点对应的纵坐标就是x=4时的函数值，结合y轴刻度读取近似值即可；第②小问观察函数图象的变化趋势，从增减性、最值等角度总结一条合理性质即可。
【解析】
(1) 按照描点法画函数图象的步骤，用平滑曲线将图中已描出的各点顺次连接，注意原点为空心点，不纳入连接范围，最终图象与参考答案给出的一致。
(2) ①在x轴上找到横坐标为4的位置，过该点作x轴的垂线，与函数图象交于一点，观察该点对应的纵坐标，可得x=4时对应的函数值y约为2。
②观察函数图象的变化趋势：当0＜x≤2时，图象从左到右呈上升状态，说明该区间内函数y的值随自变量x的增大而增大（也可总结x＞2时y随x增大而减小等合理性质）。
【答案】
(1)
(2) ①2
②当$0＜x≤2$时，函数$y$的值随自变量$x$的增大而增大（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
函数图象画法、图象信息读取、函数增减性
【点评】
本题是函数部分的基础题型，重点考查描点法画函数图象的技能，以及通过函数图象分析函数性质的能力，掌握图象法表示函数的相关特点是解题的核心。
【难度系数】
0.8
这道题考查函数图象的绘制及从图象中提取信息、分析函数性质的能力。解题思路：1. 第一问画函数图象，按照描点法的要求，用平滑的曲线将已描出的各点依次连接即可，注意自变量x＞0，原点处为空心点，不包含在图象上。2. 第二问第①小问，在x轴上找到x=4的位置，作竖直线与函数图象相交，交点对应的纵坐标就是x=4时的函数值，结合y轴刻度读取近似值即可；第②小问观察函数图象的变化趋势，从增减性、最值等角度总结一条合理性质即可。
【解析】
(1) 按照描点法画函数图象的步骤，用平滑曲线将图中已描出的各点顺次连接，注意原点为空心点，不纳入连接范围，最终图象与参考答案给出的一致。
(2) ①在x轴上找到横坐标为4的位置，过该点作x轴的垂线，与函数图象交于一点，观察该点对应的纵坐标，可得x=4时对应的函数值y约为2。
②观察函数图象的变化趋势：当0＜x≤2时，图象从左到右呈上升状态，说明该区间内函数y的值随自变量x的增大而增大（也可总结x＞2时y随x增大而减小等合理性质）。
【答案】
(1)
(2) ①2
②当$0＜x≤2$时，函数$y$的值随自变量$x$的增大而增大（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
函数图象画法、图象信息读取、函数增减性
【点评】
本题是函数部分的基础题型，重点考查描点法画函数图象的技能，以及通过函数图象分析函数性质的能力，掌握图象法表示函数的相关特点是解题的核心。
【难度系数】
0.8
