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(1) 下列各组数中,不能作为直角三角形的三边长的是 （
A.3，4，5
B.10，6，8
C.4，5，6
D.12，13，5
C
）A.3，4，5
B.10，6，8
C.4，5，6
D.12，13，5
答案
C
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：首先明确勾股定理逆定理的内容：如果三角形的三边长a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形。因此我们只需对每个选项，先确定三个数中的最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方比较，若相等则可作为直角三角形三边长，反之则不能。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A. 最长边为5，计算得3²+4²=9+16=25，5²=25，即3²+4²=5²，能作为直角三角形三边长，不符合题意；
B. 最长边为10，计算得6²+8²=36+64=100，10²=100，即6²+8²=10²，能作为直角三角形三边长，不符合题意；
C. 最长边为6，计算得4²+5²=16+25=41，6²=36，41≠36，不能作为直角三角形三边长，符合题意；
D. 最长边为13，计算得5²+12²=25+144=169，13²=169，即5²+12²=13²，能作为直角三角形三边长，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握勾股定理逆定理的使用方法，解题时注意要先确定每组数的最长边，再进行平方和的验证，熟记常见的勾股数可以提高解题速度。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：首先明确勾股定理逆定理的内容：如果三角形的三边长a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形。因此我们只需对每个选项，先确定三个数中的最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方比较，若相等则可作为直角三角形三边长，反之则不能。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A. 最长边为5，计算得3²+4²=9+16=25，5²=25，即3²+4²=5²，能作为直角三角形三边长，不符合题意；
B. 最长边为10，计算得6²+8²=36+64=100，10²=100，即6²+8²=10²，能作为直角三角形三边长，不符合题意；
C. 最长边为6，计算得4²+5²=16+25=41，6²=36，41≠36，不能作为直角三角形三边长，符合题意；
D. 最长边为13，计算得5²+12²=25+144=169，13²=169，即5²+12²=13²，能作为直角三角形三边长，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握勾股定理逆定理的使用方法，解题时注意要先确定每组数的最长边，再进行平方和的验证，熟记常见的勾股数可以提高解题速度。
【难度系数】
0.9
(2) 三角形的三边长分别是6，8，10，它最长边上的高是 （
A.6
B.4.8
C.2.4
D.8
B
）A.6
B.4.8
C.2.4
D.8
答案
B
解析
【分析】
解题思路分两步走：首先根据三角形三边长度，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定最长边的属性；其次利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），建立等式求解最长边上的高。第一步先计算较短两边的平方和，与最长边的平方比较，验证是否满足勾股定理逆定理的条件，判断是否为直角三角形；第二步设最长边上的高为未知数，根据两种方式计算的面积相等列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
解：首先判断三角形的形状：
∵ $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$
∴ $6^2 + 8^2 = 10^2$
根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，且最长边10为斜边。
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × h$
化简得：$24 = 5h$
解得：$h = 4.8$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题重点考查勾股定理逆定理的应用以及面积法求线段长度的技巧，先判断三角形形状是解题的前提，利用同一三角形面积不变建立等式是求解的关键，属于基础类考题，掌握相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步走：首先根据三角形三边长度，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定最长边的属性；其次利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），建立等式求解最长边上的高。第一步先计算较短两边的平方和，与最长边的平方比较，验证是否满足勾股定理逆定理的条件，判断是否为直角三角形；第二步设最长边上的高为未知数，根据两种方式计算的面积相等列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
解：首先判断三角形的形状：
∵ $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$
∴ $6^2 + 8^2 = 10^2$
根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，且最长边10为斜边。
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × h$
化简得：$24 = 5h$
解得：$h = 4.8$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题重点考查勾股定理逆定理的应用以及面积法求线段长度的技巧，先判断三角形形状是解题的前提，利用同一三角形面积不变建立等式是求解的关键，属于基础类考题，掌握相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
(3) 在$△ ABC$中，$AB=13$，$AC=15$，边$BC$上的高$AD=12$，则$BC$的长为 （
A.14
B.4
C.14或4
D.以上都不对
C
）A.14
B.4
C.14或4
D.以上都不对
答案
C
解析
【分析】
本题需要考虑三角形高的位置的两种可能性：高在三角形内部（对应锐角三角形）和高在三角形外部（对应钝角三角形），再结合勾股定理分别计算对应线段长度，最终得到BC的长。解题时先画出两种情况的示意图，再分别在直角三角形中利用勾股定理求出BD和CD的长度，最后根据两种情况的线段位置关系计算BC即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$，
∴ $BD=5$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$，
∴ $CD=9$
此时$BC = BD + CD = 5 + 9 = 14$
② 当高AD在△ABC外部时（此时∠ABC为钝角，D在CB的延长线上）：
同理可得$BD=5$，$CD=9$
此时$BC = CD - BD = 9 - 5 = 4$
综上，BC的长为14或4，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是只考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形的高可能落在三角形外部的情况，解题时要注意结合三角形形状分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需要考虑三角形高的位置的两种可能性：高在三角形内部（对应锐角三角形）和高在三角形外部（对应钝角三角形），再结合勾股定理分别计算对应线段长度，最终得到BC的长。解题时先画出两种情况的示意图，再分别在直角三角形中利用勾股定理求出BD和CD的长度，最后根据两种情况的线段位置关系计算BC即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$，
∴ $BD=5$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$，
∴ $CD=9$
此时$BC = BD + CD = 5 + 9 = 14$
② 当高AD在△ABC外部时（此时∠ABC为钝角，D在CB的延长线上）：
同理可得$BD=5$，$CD=9$
此时$BC = CD - BD = 9 - 5 = 4$
综上，BC的长为14或4，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是只考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形的高可能落在三角形外部的情况，解题时要注意结合三角形形状分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在$△ ABC$中，$CD$是边$AB$上的高，$AD=9$，$BD=1$，$CD=3$. $△ ABC$是直角三角形吗？为什么？
答案
$AB^2=AC^2+BC^2$,所以$△ ABC$是直角三角形
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，验证三角形三边是否满足“两短边的平方和等于最长边的平方”。首先由CD是AB边上的高，可知△ACD、△BCD均为直角三角形，先通过勾股定理分别求出AC²、BC²，再计算AB的长度得到AB²，最后验证三者的数量关系即可得出结论。
【解析】
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 9^2 + 3^2 = 81 + 9 = 90$，
在Rt△BCD中，根据勾股定理：
$BC^2 = BD^2 + CD^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$，
又
∵ $AB = AD + BD = 9 + 1 = 10$，
∴ $AB^2 = 10^2 = 100$，
∵ $AC^2 + BC^2 = 90 + 10 = 100 = AB^2$，符合勾股定理的逆定理，
∴ △ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形，因为$AB^2=AC^2+BC^2$，符合勾股定理的逆定理。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的基础综合应用题，先通过勾股定理计算三角形未知边的平方，再用逆定理判定三角形的形状，掌握两个定理的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，验证三角形三边是否满足“两短边的平方和等于最长边的平方”。首先由CD是AB边上的高，可知△ACD、△BCD均为直角三角形，先通过勾股定理分别求出AC²、BC²，再计算AB的长度得到AB²，最后验证三者的数量关系即可得出结论。
【解析】
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 9^2 + 3^2 = 81 + 9 = 90$，
在Rt△BCD中，根据勾股定理：
$BC^2 = BD^2 + CD^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$，
又
∵ $AB = AD + BD = 9 + 1 = 10$，
∴ $AB^2 = 10^2 = 100$，
∵ $AC^2 + BC^2 = 90 + 10 = 100 = AB^2$，符合勾股定理的逆定理，
∴ △ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形，因为$AB^2=AC^2+BC^2$，符合勾股定理的逆定理。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的基础综合应用题，先通过勾股定理计算三角形未知边的平方，再用逆定理判定三角形的形状，掌握两个定理的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 已知△ABC的三边长分别为a,b,c,有以下条件:① ∠A=∠B−∠C;② ∠A:∠B:∠C=3:4:5;③ ∠A:∠B:∠C=1:3:4;④ a=1,b=2,c=3;⑤ a²=(b+c)(b−c).其中能说明△ABC是直角三角形的有 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
判断三角形是否为直角三角形有两类核心思路：一是从角的角度，利用三角形内角和为180°，推导是否存在90°的内角；二是从边的角度，先验证三边满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），再通过勾股定理的逆定理判断是否满足两边平方和等于第三边的平方。我们只需按照上述思路逐个验证5个条件即可。
【解析】
我们逐个分析每个条件：
1. 对条件①：已知∠A=∠B−∠C，变形得∠A+∠C=∠B。
结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，代入得∠B+∠B=180°，解得∠B=90°，故△ABC是直角三角形，符合要求。
2. 对条件②：∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数为3+4+5=12，每份角度为180°÷12=15°，三个角分别为45°、60°、75°，无90°角，故不是直角三角形，不符合要求。
3. 对条件③：∠A:∠B:∠C=1:3:4，总份数为1+3+4=8，每份角度为180°÷8=22.5°，最大角∠C=4×22.5°=90°，故△ABC是直角三角形，符合要求。
4. 对条件④：三边长a=1,b=2,c=3，因为1+2=3，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，故不符合要求。
5. 对条件⑤：已知a²=(b+c)(b−c)，将右边展开得a²=b²−c²，移项得a²+c²=b²，满足勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，符合要求。
综上，符合要求的条件有①③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，解题时要注意先判断三边是否能构成三角形，再验证勾股逆定理，避免忽略三边关系直接计算导致出错。
【难度系数】
0.7
判断三角形是否为直角三角形有两类核心思路：一是从角的角度，利用三角形内角和为180°，推导是否存在90°的内角；二是从边的角度，先验证三边满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），再通过勾股定理的逆定理判断是否满足两边平方和等于第三边的平方。我们只需按照上述思路逐个验证5个条件即可。
【解析】
我们逐个分析每个条件：
1. 对条件①：已知∠A=∠B−∠C，变形得∠A+∠C=∠B。
结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，代入得∠B+∠B=180°，解得∠B=90°，故△ABC是直角三角形，符合要求。
2. 对条件②：∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数为3+4+5=12，每份角度为180°÷12=15°，三个角分别为45°、60°、75°，无90°角，故不是直角三角形，不符合要求。
3. 对条件③：∠A:∠B:∠C=1:3:4，总份数为1+3+4=8，每份角度为180°÷8=22.5°，最大角∠C=4×22.5°=90°，故△ABC是直角三角形，符合要求。
4. 对条件④：三边长a=1,b=2,c=3，因为1+2=3，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，故不符合要求。
5. 对条件⑤：已知a²=(b+c)(b−c)，将右边展开得a²=b²−c²，移项得a²+c²=b²，满足勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，符合要求。
综上，符合要求的条件有①③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，解题时要注意先判断三边是否能构成三角形，再验证勾股逆定理，避免忽略三边关系直接计算导致出错。
【难度系数】
0.7
1. 在$△ ABC$中，$AB=15$，$AC=6\sqrt{5}$，且边$BC$上的高$AD=12$，则$BC$的长为 （
A.2
B.3
C.3或15
D.15
C
）A.2
B.3
C.3或15
D.15
答案
C(如图①,$\because AB=15,AD=12,AD⊥ BC,\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$,$\because AC=6\sqrt{5},AD=12,\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(6\sqrt{5})^2-12^2}=6$.$\therefore BC=BD+DC=15$.如图②,$BC=BD-CD=3$)
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形的高可能存在两种位置：在三角形内部（对应锐角三角形）、在三角形外部（对应钝角三角形，本题中△ABC为钝角三角形，∠ACB为钝角），需分类讨论避免漏解。接下来分别在两个直角三角形Rt△ABD、Rt△ACD中应用勾股定理计算BD、CD的长度，再结合两种位置关系计算BC的长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，如图①：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$，
在Rt△ACD中，AC=6√5，AD=12，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(6\sqrt{5})^2-12^2}=\sqrt{36}=6$，
此时$BC=BD+CD=9+6=15$；
② 当高AD在△ABC外部时，如图②：
同理可求得BD=9，CD=6，
此时$BC=BD-CD=9-6=3$。
综上，BC的长为3或15。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形高的性质；分类讨论
【点评】
本题易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形的高可落在三角形外部的情况，解题时要全面分析图形的所有可能形态，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确三角形的高可能存在两种位置：在三角形内部（对应锐角三角形）、在三角形外部（对应钝角三角形，本题中△ABC为钝角三角形，∠ACB为钝角），需分类讨论避免漏解。接下来分别在两个直角三角形Rt△ABD、Rt△ACD中应用勾股定理计算BD、CD的长度，再结合两种位置关系计算BC的长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，如图①：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$，
在Rt△ACD中，AC=6√5，AD=12，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(6\sqrt{5})^2-12^2}=\sqrt{36}=6$，
此时$BC=BD+CD=9+6=15$；
② 当高AD在△ABC外部时，如图②：
同理可求得BD=9，CD=6，
此时$BC=BD-CD=9-6=3$。
综上，BC的长为3或15。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形高的性质；分类讨论
【点评】
本题易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形的高可落在三角形外部的情况，解题时要全面分析图形的所有可能形态，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. 若正整数 $a,b,c$ 满足方程 $a^2 + b^2 = c^2$，则称这一组正整数 $(a,b,c)$ 为“商高数”。下面列举5组“商高数”：$(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(12,16,20)$，注意这5组“商高数”的结构有如下规律：
$\begin{cases}4=2×2×1, \\3=2^2 - 1^2, \\5=2^2 + 1^2;\end{cases}\quad\begin{cases}12=2×3×2, \\5=3^2 - 2^2, \\13=3^2 + 2^2;\end{cases}\quad\begin{cases}6=2×3×1, \\8=3^2 - 1^2, \\10=3^2 + 1^2;\end{cases}\quad\begin{cases}24=2×4×3, \\7=4^2 - 3^2, \\25=4^2 + 3^2;\end{cases}\quad\begin{cases}16=2×4×2, \\12=4^2 - 2^2, \\20=4^2 + 2^2.\end{cases}$
根据以上规律，回答以下问题：
（1）写出各数都大于30的两组“商高数”；
（2）用两个正整数 $m,n(m＞n)$ 表示一组“商高数”，并证明你的结论。
$\begin{cases}4=2×2×1, \\3=2^2 - 1^2, \\5=2^2 + 1^2;\end{cases}\quad\begin{cases}12=2×3×2, \\5=3^2 - 2^2, \\13=3^2 + 2^2;\end{cases}\quad\begin{cases}6=2×3×1, \\8=3^2 - 1^2, \\10=3^2 + 1^2;\end{cases}\quad\begin{cases}24=2×4×3, \\7=4^2 - 3^2, \\25=4^2 + 3^2;\end{cases}\quad\begin{cases}16=2×4×2, \\12=4^2 - 2^2, \\20=4^2 + 2^2.\end{cases}$
根据以上规律，回答以下问题：
（1）写出各数都大于30的两组“商高数”；
（2）用两个正整数 $m,n(m＞n)$ 表示一组“商高数”，并证明你的结论。
答案
(1) 答案不唯一.只要将已知的“商高数”扩大一定的倍数即可
(2) 表示为$(m^2+n^2,m^2-n^2,2mn)$.证明:因为$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$,所以它们是“商高数”
(2) 表示为$(m^2+n^2,m^2-n^2,2mn)$.证明:因为$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$,所以它们是“商高数”
解析
【分析】
（1）第一问首先观察给出的商高数示例，可发现规律：若一组数是商高数，将三个数同时乘同一个大于1的正整数，得到的新数组仍然满足$a^2+b^2=c^2$，也属于商高数。要得到各数都大于30的商高数，只需将已知的商高数扩大适当的倍数即可，也可以根据给出的结构规律选取合适的$m、n$计算得到。
（2）第二问先观察5组商高数的结构，每组对应两个正整数，记较大的为$m$、较小的为$n$（$m＞n$），可归纳出三个数分别为$m^2-n^2$、$2mn$、$m^2+n^2$。要证明这三个数是商高数，只需根据勾股定理的逆定理，利用完全平方公式展开计算，验证前两个数的平方和等于第三个数的平方即可。
【解析】
（1）我们可以将已知商高数同乘正整数得到符合要求的数组：
示例1：将$(3,4,5)$同时乘11，得$3×11=33$，$4×11=44$，$5×11=55$，即数组$(33,44,55)$，验证：$33^2+44^2=1089+1936=3025=55^2$，符合要求；
示例2：将$(5,12,13)$同时乘7，得$5×7=35$，$12×7=84$，$13×7=91$，即数组$(35,84,91)$，验证：$35^2+84^2=1225+7056=8281=91^2$，符合要求。（答案不唯一）
（2）用正整数$m,n(m＞n)$表示的一组商高数为$(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$。
证明：计算前两个数的平方和：
$\begin{aligned}(m^2-n^2)^2+(2mn)^2&=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2\\&=m^4+2m^2n^2+n^4\\&=(m^2+n^2)^2\end{aligned}$
满足$a^2+b^2=c^2$，且$m,n$是正整数$m＞n$，因此$m^2-n^2、2mn、m^2+n^2$均为正整数，是“商高数”。
【答案】
(1) 示例：$(33,44,55)$，$(35,84,91)$（答案不唯一，合理即可）
(2) 商高数可表示为$(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$（顺序可换），证明见解析。
【知识点】
1. 勾股数的概念
2. 勾股定理的逆定理
3. 完全平方公式
【点评】
本题以新定义“商高数”为背景，考查学生观察归纳规律的能力和代数运算证明的能力，第一问为开放性问题，入手难度低，第二问需要从给定示例中抽象出通用表达式，再通过整式运算验证，兼顾了对探究能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）第一问首先观察给出的商高数示例，可发现规律：若一组数是商高数，将三个数同时乘同一个大于1的正整数，得到的新数组仍然满足$a^2+b^2=c^2$，也属于商高数。要得到各数都大于30的商高数，只需将已知的商高数扩大适当的倍数即可，也可以根据给出的结构规律选取合适的$m、n$计算得到。
（2）第二问先观察5组商高数的结构，每组对应两个正整数，记较大的为$m$、较小的为$n$（$m＞n$），可归纳出三个数分别为$m^2-n^2$、$2mn$、$m^2+n^2$。要证明这三个数是商高数，只需根据勾股定理的逆定理，利用完全平方公式展开计算，验证前两个数的平方和等于第三个数的平方即可。
【解析】
（1）我们可以将已知商高数同乘正整数得到符合要求的数组：
示例1：将$(3,4,5)$同时乘11，得$3×11=33$，$4×11=44$，$5×11=55$，即数组$(33,44,55)$，验证：$33^2+44^2=1089+1936=3025=55^2$，符合要求；
示例2：将$(5,12,13)$同时乘7，得$5×7=35$，$12×7=84$，$13×7=91$，即数组$(35,84,91)$，验证：$35^2+84^2=1225+7056=8281=91^2$，符合要求。（答案不唯一）
（2）用正整数$m,n(m＞n)$表示的一组商高数为$(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$。
证明：计算前两个数的平方和：
$\begin{aligned}(m^2-n^2)^2+(2mn)^2&=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2\\&=m^4+2m^2n^2+n^4\\&=(m^2+n^2)^2\end{aligned}$
满足$a^2+b^2=c^2$，且$m,n$是正整数$m＞n$，因此$m^2-n^2、2mn、m^2+n^2$均为正整数，是“商高数”。
【答案】
(1) 示例：$(33,44,55)$，$(35,84,91)$（答案不唯一，合理即可）
(2) 商高数可表示为$(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$（顺序可换），证明见解析。
【知识点】
1. 勾股数的概念
2. 勾股定理的逆定理
3. 完全平方公式
【点评】
本题以新定义“商高数”为背景，考查学生观察归纳规律的能力和代数运算证明的能力，第一问为开放性问题，入手难度低，第二问需要从给定示例中抽象出通用表达式，再通过整式运算验证，兼顾了对探究能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
