1. 如图,在平面直角坐标系中,已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,4),B(-2,1),C(-4,1),则三角形ABC的面积为。

1 3 由题意,得$BC = -2 - (-4) = 2$,$BC$边上的高为$4 - 1 = 3$,所以$S_{△ ABC} =\frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。

2. 如图,在平面直角坐标系中,点A(4,0),B(3,4),C(0,2),则四边形ABCO的面积是。

2 11 如图,连接 OB。因为点A(4,0),B(3,4),C(0,2),所以 $S_{四边形ABCO} = S_{△ ABO} + S_{△ BCO} =\frac{1}{2} × 4 × 4 + \frac{1}{2} × 2 × 3 = 11$。

3. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C,D,E,F,G的坐标分别为$(-5,4),(-4,0),(-5,-3),(0,-2),(5,-3),(3,4),(-1,2)$,求图中阴影部分的面积。

3 解:如图,连接 AF,CE,AC,过点 E 作 y 轴的平行线交 AF 的延长线于点 H,易得 H(5,4)。$S_{阴影} = S_{长方形ACEH} - S_{△ ABC} - S_{△ CDE} - S_{△ EFH} - S_{△ AGF} = 10 × 7 - \frac{1}{2} × 7 × 1 - \frac{1}{2} × 10 × 1 - \frac{1}{2} × 7 × 2 - \frac{1}{2} × 8 × 2 =\frac{93}{2}$。

4. [2026无锡锡山区月考]已知点$A(1,0),B(0,2)$，点$P$在$x$轴上，且$△ PAB$的面积为5，则点$P$的坐标为 ()

A.$(-4,0)$
B.$(6,0)$
C.$(-4,0)$或$(6,0)$
D.无法确定

4 C 因为A(1,0),B(0,2),点P在x轴上,所以AP边上的高为2,又因为△PAB的面积为5,所以AP=5。因为点P可能在点A(1,0)的左边或者右边,所以点P的坐标为(-4,0)或(6,0)。

5. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(-2,0)$，点$B(0,3)$，点$C$在坐标轴上，若三角形$ABC$的面积为6，则符合题意的点$C$有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

5 D 分两种情况:①当点C在y轴上时,设C(0,t),因为三角形ABC的面积为6,所以$\frac{1}{2}|t - 3|·2 = 6$,解得t=9或t=-3,所以点C的坐标为(0,-3)或(0,9);②当点C在x轴上时,设C(m,0),因为三角形ABC的面积为6,所以$\frac{1}{2}|m + 2|·3 = 6$,解得m=2或m=-6,所以点C的坐标为(2,0)或(-6,0)。综上所述,符合题意的点C有4个。

6. [2026杭州余杭区月考]如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(a,0),(b,0)$,且$a,b$满足$|a+2|+\sqrt{b-4}=0$,点C的坐标为$(0,3)$。
(1)求$a,b$的值及$S_{△ ABC}$；
(2)若点$M$在$x$轴上,且$S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,试求点$M$的坐标。

6 解:(1)因为$|a + 2| + \sqrt{b - 4} = 0$,所以a + 2 = 0,b - 4 = 0,所以a = -2,b = 4,所以点A(-2,0),点B(4,0)。所以AB = |-2 - 4| = 6。因为点C(0,3),所以CO = 3,所以$S_{△ ABC} =\frac{1}{2}AB·CO =\frac{1}{2} × 6 × 3 = 9$。
(2)设点M的坐标为(x,0),则AM = |x - (-2)| = |x + 2|。
因为$S_{△ ACM} =\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,所以$\frac{1}{2}AM·CO =\frac{1}{3} × 9$,
所以$\frac{1}{2}|x + 2| × 3 = 3$,所以|x + 2| = 2,
即x + 2 = ±2,所以x = 0或x = -4,
所以点M的坐标为(0,0)或(-4,0)。