1. 圆周角的概念
顶点在并且两边都与圆的角叫作圆周角.

1. 圆上 相交

2. 圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的.

2. 一半

3. 圆周角定理的推论
（1）同弧或等弧所对的圆周角
.
（2）半圆(或直径)所对的圆周角是
，$90°$的圆周角所对的弦是
.

3. (1) 相等 (2) 直角 直径

典例1 如图,在$\odot O$中,CD是$\odot O$上的一条弦,直径$AB ⊥ CD$,连接AC,OD,$∠ A = 26°$,则$∠ D$的度数是().

A.$26°$
B.$38°$
C.$52°$
D.$64°$

B

∵直径AB⊥CD，由垂径定理可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$∠ A=26°$，$∠ A$对应弧$\overset{\frown}{BC}$，因此$∠ BOD=2∠ A=52°$。
设AB与CD的交点为E，由$AB⊥ CD$得$∠ OED=90°$，在$Rt△ OED$中，$∠ D=90°-∠ BOD=90°-52°=38°$。

举一反三 如图，A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB = $\frac{1}{3}$∠BOC，∠BAC=30°，则∠AOC的度数为().

A.$100°$
B.$90°$
C.$80°$
D.$60°$

1. C

典例2 如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，BC，AC分别交⊙O于D，E两点，若
$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$，求证：AB=AC.
方法归纳 (1)当圆内出现直径(或半径)垂直于弦时，要运用垂径定理解决问题.
(2)当圆中出现直径时，要考虑利用直径所对的圆周角为直角，构造直角三角形求解.

证明：
连接AD。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即AD⊥BC。
∵ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
又∵ AD = AD，∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴ △ABD ≌ △ACD（ASA），
∴ AB = AC。

举一反三 如图,AB是$\odot O$的直径,点C,D在$\odot O$上,连接AC,AD,BD,CD.若$∠ C=50°$,则$∠ BAD$的度数为().
A. $30°$ B. $40°$ C. $45°$ D. $50°$

典例解析
典例1
答案 B
解析 如图,连接OC.∵CD是$\odot O$上的一条弦,直径$AB⊥ CD$,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴$∠ COB=∠ BOD$.
∵$∠ A=26°$,
∴$∠ COB=2∠ A=52°$,
∴$∠ BOD=52°$,
∴$∠ D=90°-∠ BOD=90°-52°=38°$.故选 B.

典例2
证明 如图,连接AD.
∵AB为圆O的直径,∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$,∴$∠ BAD=∠ CAD$.
在$△ ABD$和$△ ACD$中,
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAD, \\AD=AD, \\∠ ADB=∠ ADC,\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ ACD(\mathrm{ASA})$,
∴$AB=AC$.

2. B