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3.如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 与 y 轴交于点 $B(0,7)$,与反比例函数 $y=-\dfrac{8}{x}$ 在第二象限内的图象交于点 $A(-1,a)$.
(1)求直线 AB 所对应的函数解析式.
(2)直线 AB 向下平移 9 个单位长度后与反比例函数 $y=-\dfrac{8}{x}$ 的图象交于点 C 和点 E,与 y 轴交于点 D,连接 AC,AD,求$△ ACD$ 的面积.
(3)设平移后的直线 CD 所对应的函数解析式为 $y=mx+n(m≠0)$,根据图象直接写出关于 x 的不等式 $mx+n ≤ -\dfrac{8}{x}$ 的解集.
(1)求直线 AB 所对应的函数解析式.
(2)直线 AB 向下平移 9 个单位长度后与反比例函数 $y=-\dfrac{8}{x}$ 的图象交于点 C 和点 E,与 y 轴交于点 D,连接 AC,AD,求$△ ACD$ 的面积.
(3)设平移后的直线 CD 所对应的函数解析式为 $y=mx+n(m≠0)$,根据图象直接写出关于 x 的不等式 $mx+n ≤ -\dfrac{8}{x}$ 的解集.
答案
3. (1)
∵点 A(-1,a)在反比例函数 $y=-\dfrac{8}{x}$ 的图象上，
∴$a=-\dfrac{8}{-1}=8$.
∴$A(-1,8)$.
∵$B(0,7)$,
∴设直线 AB 所对应的函数解析式为 $y=kx+7(k≠0)$.
∵直线 AB 过点 $A(-1,8)$,
∴$8=-k+7$. 解得 $k=-1$.
∴直线 AB 所对应的函数解析式为 $y=-x+7$.
(2)
∵直线 AB 向下平移 9 个单位长度后得到直线 CD，
∴直线 CD 所对应的函数解析式为 $y=-x-2$.
联立$\begin{cases} y=-x-2,\\ y=-\dfrac{8}{x}. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-4,\\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=2,\\ y=-4. \end{cases}$
∴$C(-4,2),E(2,-4),D(0,-2)$.
连接 BC(图略)，
∵$AB// CD$，
∴点 A 到直线 CD 的距离与点 B 到直线 CD 的距离相等.
∴$△ ACD$ 与$△ CBD$ 的面积相等.
由题意可知 $BD=9$，
∴$S_{△ CBD}=\dfrac{1}{2}×9×4=18$.
∴$△ ACD$ 的面积为 18.
(3)不等式的解集为 $-4≤ x＜0$ 或 $x≥2$.
∵点 A(-1,a)在反比例函数 $y=-\dfrac{8}{x}$ 的图象上，
∴$a=-\dfrac{8}{-1}=8$.
∴$A(-1,8)$.
∵$B(0,7)$,
∴设直线 AB 所对应的函数解析式为 $y=kx+7(k≠0)$.
∵直线 AB 过点 $A(-1,8)$,
∴$8=-k+7$. 解得 $k=-1$.
∴直线 AB 所对应的函数解析式为 $y=-x+7$.
(2)
∵直线 AB 向下平移 9 个单位长度后得到直线 CD，
∴直线 CD 所对应的函数解析式为 $y=-x-2$.
联立$\begin{cases} y=-x-2,\\ y=-\dfrac{8}{x}. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-4,\\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=2,\\ y=-4. \end{cases}$
∴$C(-4,2),E(2,-4),D(0,-2)$.
连接 BC(图略)，
∵$AB// CD$，
∴点 A 到直线 CD 的距离与点 B 到直线 CD 的距离相等.
∴$△ ACD$ 与$△ CBD$ 的面积相等.
由题意可知 $BD=9$，
∴$S_{△ CBD}=\dfrac{1}{2}×9×4=18$.
∴$△ ACD$ 的面积为 18.
(3)不等式的解集为 $-4≤ x＜0$ 或 $x≥2$.
解析
【分析】
(1) 求直线AB的解析式需先确定点A的坐标：点A在反比例函数图象上，将A点横坐标代入反比例函数解析式可求出a，得到A点坐标；已知直线AB与y轴交于B(0,7)，设一次函数解析式为y=kx+7，代入A点坐标解出k即可得到直线AB的解析式。
(2) 直线平移遵循“上加下减”的规律，直线AB向下平移9个单位，将原解析式常数项减9即可得到直线CD的解析式；联立直线CD和反比例函数解析式，解方程组得到交点C、D的坐标；由于AB平行于CD，两条平行线间距离相等，△ACD和△BCD同底等高，面积相等，计算△BCD的面积即可得到△ACD的面积。
(3) 不等式$mx+n ≤ -\dfrac{8}{x}$的几何意义是平移后的直线图象在反比例函数图象下方（含交点）对应的x的取值范围，结合两个函数的交点横坐标，以及反比例函数自变量x≠0的限制，即可写出解集。
【解析】
(1)
∵点$A(-1,a)$在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象上，
∴$a=-\dfrac{8}{-1}=8$，即$A(-1,8)$。
已知$B(0,7)$，设直线AB所对应的函数解析式为$y=kx+7\ (k≠0)$，
将$A(-1,8)$代入解析式得：$8=-k+7$，解得$k=-1$，
∴直线AB所对应的函数解析式为$y=-x+7$。
(2)
∵直线AB向下平移9个单位长度得到直线CD，根据平移规律可得直线CD的解析式为$y=-x+7-9=-x-2$。
联立直线CD和反比例函数解析式：
$\begin{cases} y=-x-2\\ y=-\dfrac{8}{x} \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-4\\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=2\\ y=-4 \end{cases}$，
即$C(-4,2)$，$E(2,-4)$；直线CD与y轴交于D，令x=0，得$y=-2$，即$D(0,-2)$。
连接BC，
∵$AB// CD$，
∴点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，
∴$△ ACD$与$△ CBD$同底等高，面积相等。
由题意得$BD=7-(-2)=9$，点C到y轴的距离为$|-4|=4$，
∴$S_{△ CBD}=\dfrac{1}{2}×BD×4=\dfrac{1}{2}×9×4=18$，
∴$△ ACD$的面积为18。
(3) 不等式$mx+n ≤ -\dfrac{8}{x}$即直线CD的图象不高于反比例函数图象时对应的x的取值范围，结合交点坐标$C(-4,2)$、$E(2,-4)$，以及反比例函数$x≠0$，可得解集为$-4≤x＜0$或$x≥2$。
【答案】
(1) $y=-x+7$
(2) $18$
(3) $-4≤x＜0$或$x≥2$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移规律，反比例函数与一次函数综合
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，涵盖了函数解析式求解、平移性质、面积转化和不等式的图象解法等考点，解题时需熟练掌握函数的基本性质，灵活运用数形结合思想简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线AB的解析式需先确定点A的坐标：点A在反比例函数图象上，将A点横坐标代入反比例函数解析式可求出a，得到A点坐标；已知直线AB与y轴交于B(0,7)，设一次函数解析式为y=kx+7，代入A点坐标解出k即可得到直线AB的解析式。
(2) 直线平移遵循“上加下减”的规律，直线AB向下平移9个单位，将原解析式常数项减9即可得到直线CD的解析式；联立直线CD和反比例函数解析式，解方程组得到交点C、D的坐标；由于AB平行于CD，两条平行线间距离相等，△ACD和△BCD同底等高，面积相等，计算△BCD的面积即可得到△ACD的面积。
(3) 不等式$mx+n ≤ -\dfrac{8}{x}$的几何意义是平移后的直线图象在反比例函数图象下方（含交点）对应的x的取值范围，结合两个函数的交点横坐标，以及反比例函数自变量x≠0的限制，即可写出解集。
【解析】
(1)
∵点$A(-1,a)$在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象上，
∴$a=-\dfrac{8}{-1}=8$，即$A(-1,8)$。
已知$B(0,7)$，设直线AB所对应的函数解析式为$y=kx+7\ (k≠0)$，
将$A(-1,8)$代入解析式得：$8=-k+7$，解得$k=-1$，
∴直线AB所对应的函数解析式为$y=-x+7$。
(2)
∵直线AB向下平移9个单位长度得到直线CD，根据平移规律可得直线CD的解析式为$y=-x+7-9=-x-2$。
联立直线CD和反比例函数解析式：
$\begin{cases} y=-x-2\\ y=-\dfrac{8}{x} \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-4\\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=2\\ y=-4 \end{cases}$，
即$C(-4,2)$，$E(2,-4)$；直线CD与y轴交于D，令x=0，得$y=-2$，即$D(0,-2)$。
连接BC，
∵$AB// CD$，
∴点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，
∴$△ ACD$与$△ CBD$同底等高，面积相等。
由题意得$BD=7-(-2)=9$，点C到y轴的距离为$|-4|=4$，
∴$S_{△ CBD}=\dfrac{1}{2}×BD×4=\dfrac{1}{2}×9×4=18$，
∴$△ ACD$的面积为18。
(3) 不等式$mx+n ≤ -\dfrac{8}{x}$即直线CD的图象不高于反比例函数图象时对应的x的取值范围，结合交点坐标$C(-4,2)$、$E(2,-4)$，以及反比例函数$x≠0$，可得解集为$-4≤x＜0$或$x≥2$。
【答案】
(1) $y=-x+7$
(2) $18$
(3) $-4≤x＜0$或$x≥2$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移规律，反比例函数与一次函数综合
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，涵盖了函数解析式求解、平移性质、面积转化和不等式的图象解法等考点，解题时需熟练掌握函数的基本性质，灵活运用数形结合思想简化计算。
【难度系数】
0.7
【典型例题 3】某考察队进行野外考察，途中遇到一片无法绕过的泥泞湿地.为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿行进路线铺垫若干块木板，搭建临时通道，最终顺利通行.你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地地面的压力一定时，随着木板面积$ S $（单位：$ m^2 $）的变化，人和木板对地面的压强$ p $（单位：Pa）将如何变化？已知人和木板对湿地地面的压力合计 600 N，请回答下列问题.
(1)用含$ S $的代数式表示$ p $，$ p $是$ S $的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为$ 0.2 \, m^2 $时，人和木板对地面的压强是多少？
(3)如果要求人和木板对地面的压强不超过 6 000 Pa，那么木板面积至少要多大？
【解】当人和木板对湿地地面的压力一定时，随着木板的面积$ S $的增大，人和木板对湿地地面的压强$ p $减小.
(1)$ p = \frac{600}{S} (S ＞ 0) $.
根据反比例函数的定义，可得$ p $是$ S $的反比例函数.
(2)当$ S = 0.2 $时，$ p = \frac{600}{0.2} = 3000 $.
∴当木板面积为$ 0.2 \, m^2 $时，人和木板对地面的压强为 3 000 Pa.
(3)当$ p = 6000 $时，$ S = \frac{600}{p} = \frac{600}{6000} = 0.1 $.
∴木板面积至少要$ 0.1 \, m^2 $.
(1)用含$ S $的代数式表示$ p $，$ p $是$ S $的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为$ 0.2 \, m^2 $时，人和木板对地面的压强是多少？
(3)如果要求人和木板对地面的压强不超过 6 000 Pa，那么木板面积至少要多大？
【解】当人和木板对湿地地面的压力一定时，随着木板的面积$ S $的增大，人和木板对湿地地面的压强$ p $减小.
(1)$ p = \frac{600}{S} (S ＞ 0) $.
根据反比例函数的定义，可得$ p $是$ S $的反比例函数.
(2)当$ S = 0.2 $时，$ p = \frac{600}{0.2} = 3000 $.
∴当木板面积为$ 0.2 \, m^2 $时，人和木板对地面的压强为 3 000 Pa.
(3)当$ p = 6000 $时，$ S = \frac{600}{p} = \frac{600}{6000} = 0.1 $.
∴木板面积至少要$ 0.1 \, m^2 $.
答案
解：当人和木板对湿地地面的压力一定时，随着木板的面积$S$的增大，人和木板对湿地地面的压强$p$减小，铺垫木板可以增大受力面积，减小对湿地的压强，避免人陷入湿地。
(1) 根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，将总压力$F=600\ \mathrm{N}$代入，得
$p=\frac{600}{S}\ (S＞0)$。
该表达式符合反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，此处常量$k=600≠0$，自变量$S＞0$，因此$p$是$S$的反比例函数。
(2) 把$S=0.2$代入$p=\frac{600}{S}$，得
$p=\frac{600}{0.2}=3000$。
∴当木板面积为$0.2\ \mathrm{m}^2$时，人和木板对地面的压强为3000 Pa。
(3) 由题意可知$p ≤ 6000$，即$\frac{600}{S} ≤ 6000$，
∵$S＞0$，不等式两边同乘$S$得$600 ≤ 6000S$，
解得$S ≥ 0.1$。
∴木板面积至少要$0.1\ \mathrm{m}^2$。
(1) 根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，将总压力$F=600\ \mathrm{N}$代入，得
$p=\frac{600}{S}\ (S＞0)$。
该表达式符合反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，此处常量$k=600≠0$，自变量$S＞0$，因此$p$是$S$的反比例函数。
(2) 把$S=0.2$代入$p=\frac{600}{S}$，得
$p=\frac{600}{0.2}=3000$。
∴当木板面积为$0.2\ \mathrm{m}^2$时，人和木板对地面的压强为3000 Pa。
(3) 由题意可知$p ≤ 6000$，即$\frac{600}{S} ≤ 6000$，
∵$S＞0$，不等式两边同乘$S$得$600 ≤ 6000S$，
解得$S ≥ 0.1$。
∴木板面积至少要$0.1\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
这道题是反比例函数在实际场景中的应用问题，解题核心依托物理压强公式$p=\frac{F}{S}$，本题中人和木板对地面的总压力F固定为600N。首先理解铺垫木板的原理：压力一定时，增大受力面积可以减小压强，避免人陷入湿地。三个小问的解题思路如下：(1)将F=600N代入压强公式得到p与S的表达式，再对照反比例函数的定义判断即可；(2)将给定的S值代入已得的函数表达式，直接计算对应的压强p；(3)根据压强不超过6000Pa的要求列不等式，结合S＞0的实际意义解不等式，即可得到木板面积的最小值。
【解析】
当人和木板对湿地地面的压力一定时，随着木板的面积$S$的增大，人和木板对湿地地面的压强$p$减小，铺垫木板可以增大受力面积，减小对湿地的压强，避免人陷入湿地。
(1) 根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，将总压力$F=600\ \mathrm{N}$代入，得
$p=\frac{600}{S}\ (S＞0)$。
该表达式符合反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，此处常量$k=600≠0$，自变量$S＞0$，因此$p$是$S$的反比例函数。
(2) 把$S=0.2$代入$p=\frac{600}{S}$，得
$p=\frac{600}{0.2}=3000$。
∴当木板面积为$0.2\ \mathrm{m}^2$时，人和木板对地面的压强为3000 Pa。
(3) 由题意可知$p ≤ 6000$，即$\frac{600}{S} ≤ 6000$，
∵$S＞0$，不等式两边同乘$S$得$600 ≤ 6000S$，
解得$S ≥ 0.1$。
∴木板面积至少要$0.1\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
铺垫木板的道理：压力一定时，增大受力面积可减小压强，避免陷入湿地；
(1)$p=\frac{600}{S}(S＞0)$，$p$是$S$的反比例函数，符合反比例函数定义；
(2)3000 Pa；
(3)$0.1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
反比例函数定义，反比例函数实际应用，不等式求解
【点评】
本题结合生活实际与跨学科知识，考查反比例函数的识别与应用，解题时需结合实际意义确定自变量的取值范围，侧重对基础知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.75
这道题是反比例函数在实际场景中的应用问题，解题核心依托物理压强公式$p=\frac{F}{S}$，本题中人和木板对地面的总压力F固定为600N。首先理解铺垫木板的原理：压力一定时，增大受力面积可以减小压强，避免人陷入湿地。三个小问的解题思路如下：(1)将F=600N代入压强公式得到p与S的表达式，再对照反比例函数的定义判断即可；(2)将给定的S值代入已得的函数表达式，直接计算对应的压强p；(3)根据压强不超过6000Pa的要求列不等式，结合S＞0的实际意义解不等式，即可得到木板面积的最小值。
【解析】
当人和木板对湿地地面的压力一定时，随着木板的面积$S$的增大，人和木板对湿地地面的压强$p$减小，铺垫木板可以增大受力面积，减小对湿地的压强，避免人陷入湿地。
(1) 根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，将总压力$F=600\ \mathrm{N}$代入，得
$p=\frac{600}{S}\ (S＞0)$。
该表达式符合反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，此处常量$k=600≠0$，自变量$S＞0$，因此$p$是$S$的反比例函数。
(2) 把$S=0.2$代入$p=\frac{600}{S}$，得
$p=\frac{600}{0.2}=3000$。
∴当木板面积为$0.2\ \mathrm{m}^2$时，人和木板对地面的压强为3000 Pa。
(3) 由题意可知$p ≤ 6000$，即$\frac{600}{S} ≤ 6000$，
∵$S＞0$，不等式两边同乘$S$得$600 ≤ 6000S$，
解得$S ≥ 0.1$。
∴木板面积至少要$0.1\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
铺垫木板的道理：压力一定时，增大受力面积可减小压强，避免陷入湿地；
(1)$p=\frac{600}{S}(S＞0)$，$p$是$S$的反比例函数，符合反比例函数定义；
(2)3000 Pa；
(3)$0.1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
反比例函数定义，反比例函数实际应用，不等式求解
【点评】
本题结合生活实际与跨学科知识，考查反比例函数的识别与应用，解题时需结合实际意义确定自变量的取值范围，侧重对基础知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.75
