基础知识·预习
问题1 在直角三角形中，如果一个锐角为$30°$，那么它所对的直角边与斜边有什么数量关系？你是怎么发现的？
问题2 若将两个大小相同的含$30°$角三角尺的长直角边完全重合，拼成一个大三角形（两个三角尺不重合），所拼成的三角形是哪种特殊的三角形？并证明问题1中的结论。

解：
问题1
数量关系：在直角三角形中，30°锐角所对的直角边的长度等于斜边长度的一半。
发现方式：可通过度量多组含30°角的直角三角尺的各边长度，对比30°角对边与斜边的数值，得到该数量关系。
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问题2
所拼成的大三角形是等边三角形，证明如下：
设在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$，可得$∠ B=60°$。
将与$Rt△ ABC$完全相同的$Rt△ ADC$的长直角边$AC$与$△ ABC$的边$AC$完全重合拼接，得到$△ ABD$。
$\because Rt△ ABC ≌ Rt△ ADC$
$\therefore AB=AD$，$∠ DAC=∠ BAC=30°$，$BC=DC$
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ DAC = 30°+30°=60°$
$\therefore △ ABD$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即$△ ABD$为等边三角形
$\therefore AB = BD$
又$\because BD = BC + DC = 2BC$
$\therefore AB = 2BC$，即$BC=\frac{1}{2}AB$
由此证得：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

【典型例题】如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠BAC=60°,△ABC 的角平分线AM 的长为 12 cm,求 BC 的长.

思路导引 本题图中有两个含30°角的直角三角形,一个等腰三角形,根据这些特征可求 CM 与 BM 的长,其和即为所求的 BC 边的长.
【解】在 Rt△ABC 中,∠B=90°−
∠BAC=90°−60°=30°.
因为 AM 平分∠BAC,
所以∠CAM=∠BAM=30°,
所以∠B=∠BAM,
所以 BM=AM=12 cm.
在 Rt△ACM 中,∠CAM=30°,
所以 CM=$\frac{1}{2}$AM=6 cm,
所以 BC=CM+BM=6+12=18(cm).

解：在Rt△ABC中，
∵ ∠C=90°，∠BAC=60°，
∴ ∠B=90°−∠BAC=30°。
∵ AM平分∠BAC，
∴ ∠CAM=∠BAM=30°，
∴ ∠B=∠BAM，
∴ BM=AM=12 cm。
在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质，可得$CM=\frac{1}{2}AM=6\ \mathrm{cm}$，
∴ $BC=CM+BM=6+12=18\ \mathrm{cm}$。
答：BC的长为18 cm。