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3. 明明在计算$(\dfrac{a-1}{a+1}+1)÷\dfrac{a}{a+1}$时，给出如下计算过程：
原式$=\dfrac{a-1}{a+1}÷\dfrac{a}{a+1}+1÷\dfrac{a}{a+1}$…第一步
$=\dfrac{a-1}{a+1}×\dfrac{a+1}{a}+1×\dfrac{a+1}{a}$…第二步
$=\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{a+1}{a}$…第三步
$=\dfrac{2a}{2a}$…第四步
$=1.$第五步
已知明明的解法是错误的.
（1）他开始出现错误的步骤是第步；
（2）请给出正确的解答过程.
原式$=\dfrac{a-1}{a+1}÷\dfrac{a}{a+1}+1÷\dfrac{a}{a+1}$…第一步
$=\dfrac{a-1}{a+1}×\dfrac{a+1}{a}+1×\dfrac{a+1}{a}$…第二步
$=\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{a+1}{a}$…第三步
$=\dfrac{2a}{2a}$…第四步
$=1.$第五步
已知明明的解法是错误的.
（1）他开始出现错误的步骤是第步；
（2）请给出正确的解答过程.
答案
解：
（1）四
（2）正确解答过程：
原式$=(\dfrac{a-1}{a+1}+\dfrac{a+1}{a+1})÷\dfrac{a}{a+1}$
$=\dfrac{a-1+a+1}{a+1}÷\dfrac{a}{a+1}$
$=\dfrac{2a}{a+1}×\dfrac{a+1}{a}$
$=2$
（1）四
（2）正确解答过程：
原式$=(\dfrac{a-1}{a+1}+\dfrac{a+1}{a+1})÷\dfrac{a}{a+1}$
$=\dfrac{a-1+a+1}{a+1}÷\dfrac{a}{a+1}$
$=\dfrac{2a}{a+1}×\dfrac{a+1}{a}$
$=2$
先化简$( \frac{x^2}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$，再从$-2$，$-1$，$1$中选择合适的$x$值代入求值。
解 $( \frac{x^2}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$
$= [ \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ] ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2}$
$= \frac{x^2 - (x^2 -1)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{x+1}{x+2}$
因为$x+1 ≠ 0$，$x+2 ≠ 0$且$x^2 + 2x +1 ≠ 0$，
所以$x ≠ -1$且$x ≠ -2$。
所以选择$x=1$代入求值，
原式$= \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$
解 $( \frac{x^2}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$
$= [ \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ] ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2}$
$= \frac{x^2 - (x^2 -1)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{x+1}{x+2}$
因为$x+1 ≠ 0$，$x+2 ≠ 0$且$x^2 + 2x +1 ≠ 0$，
所以$x ≠ -1$且$x ≠ -2$。
所以选择$x=1$代入求值，
原式$= \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$
答案
解 $( \frac{x^2}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$
$= [ \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ] ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2}$
$= \frac{x^2 - (x^2 -1)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{x+1}{x+2}$
因为$x+1 ≠ 0$，$x+2 ≠ 0$且$x^2 + 2x +1 ≠ 0$，
所以$x ≠ -1$且$x ≠ -2$。
所以选择$x=1$代入求值，
原式$= \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$
$= [ \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ] ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2}$
$= \frac{x^2 - (x^2 -1)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{x+1}{x+2}$
因为$x+1 ≠ 0$，$x+2 ≠ 0$且$x^2 + 2x +1 ≠ 0$，
所以$x ≠ -1$且$x ≠ -2$。
所以选择$x=1$代入求值，
原式$= \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$
4. 先化简$(1+\dfrac{3}{x-1})÷\dfrac{x^2+4x+4}{2x-2}$，再从$-2$，$1$，$0$，$2$中选取一个合适的数作为$x$的值代入求值。
答案
4. 解 原式=$\frac{x+2}{x-1}÷\frac{x^2+4x+4}{2x-2}$
=$\frac{x+2}{x-1}•\frac{2x-2}{x^2+4x+4}$
=$\frac{x+2}{x-1}•\frac{2(x-1)}{(x+2)^2}$
=$\frac{2}{x+2}$.
因为$x-1≠0$，$x^2+4x+4≠0$且$2x-2≠0$，
所以$x≠1$且$x≠-2$.
取$x=0$，原式=$\frac{2}{0+2}=1$.
=$\frac{x+2}{x-1}•\frac{2x-2}{x^2+4x+4}$
=$\frac{x+2}{x-1}•\frac{2(x-1)}{(x+2)^2}$
=$\frac{2}{x+2}$.
因为$x-1≠0$，$x^2+4x+4≠0$且$2x-2≠0$，
所以$x≠1$且$x≠-2$.
取$x=0$，原式=$\frac{2}{0+2}=1$.
定义：如果两个分式$ M $与$ N $的和为常数$ k $，且$ k $为正整数，那么称$ M $与$ N $互为“和整分式”，常数$ k $称为“和整数值”。例如，若$ M = \frac{x}{x+1} $，$ N = \frac{1}{x+1} $，$ M + N = \frac{x}{x+1} + \frac{1}{x+1} = 1 $，则$ M $与$ N $互为“和整分式”，“和整数值”$ k $为1。
（1）已知分式$ A = \frac{x-7}{x-2} $，$ B = \frac{x^2 +6x +9}{(x+3)(x-2)} $，判断$ A $与$ B $是否互为“和整分式”，若是，则求出“和整数值”$ k $；若不是，则说明理由。
（2）已知分式$ C = \frac{3x -4}{x -2} $，$ D = \frac{P}{x^2 -4} $，$ C $与$ D $互为“和整分式”，且“和整数值”$ k $为3。
①求$ P $所表示的代数式；
②若分式$ D $的值为正整数，求正整数$ x $的值。
解（1）$ A + B = \frac{x-7}{x-2} + \frac{x^2 +6x +9}{(x+3)(x-2)} $
$ = \frac{x-7}{x-2} + \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)} $
$ = \frac{x-7}{x-2} + \frac{x+3}{x-2} $
$ = \frac{2x -4}{x-2} $
$ = \frac{2(x-2)}{x-2} $
$ = 2 $。
所以$ A $与$ B $互为“和整分式”，“和整数值”$ k $为2。
（2）①$ C + D = \frac{3x -4}{x -2} + \frac{P}{x^2 -4} $
$ = \frac{(3x -4)(x +2)}{(x +2)(x -2)} + \frac{P}{(x +2)(x -2)} $
$ = \frac{3x^2 +2x -8 + P}{(x +2)(x -2)} $。
因为$ C $与$ D $互为“和整分式”，且“和整数值”$ k $为3，
所以$ \frac{3x^2 +2x -8 + P}{(x +2)(x -2)} = 3 $，即$ 3x^2 +2x -8 + P = 3(x +2)(x -2) $。
所以$ P = 3(x^2 -4) - (3x^2 +2x -8) = -2x -4 $。
②因为$ D = \frac{P}{x^2 -4} = \frac{-2x -4}{(x +2)(x -2)} = \frac{-2(x +2)}{(x +2)(x -2)} = -\frac{2}{x -2} $，
且分式$ D $的值为正整数，$ x $为正整数，
所以$ x -2 = -1 $或$ x -2 = -2 $。
解得$ x =1 $或$ x =0 $（舍去）。
所以正整数$ x $的值为1。
（1）已知分式$ A = \frac{x-7}{x-2} $，$ B = \frac{x^2 +6x +9}{(x+3)(x-2)} $，判断$ A $与$ B $是否互为“和整分式”，若是，则求出“和整数值”$ k $；若不是，则说明理由。
（2）已知分式$ C = \frac{3x -4}{x -2} $，$ D = \frac{P}{x^2 -4} $，$ C $与$ D $互为“和整分式”，且“和整数值”$ k $为3。
①求$ P $所表示的代数式；
②若分式$ D $的值为正整数，求正整数$ x $的值。
解（1）$ A + B = \frac{x-7}{x-2} + \frac{x^2 +6x +9}{(x+3)(x-2)} $
$ = \frac{x-7}{x-2} + \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)} $
$ = \frac{x-7}{x-2} + \frac{x+3}{x-2} $
$ = \frac{2x -4}{x-2} $
$ = \frac{2(x-2)}{x-2} $
$ = 2 $。
所以$ A $与$ B $互为“和整分式”，“和整数值”$ k $为2。
（2）①$ C + D = \frac{3x -4}{x -2} + \frac{P}{x^2 -4} $
$ = \frac{(3x -4)(x +2)}{(x +2)(x -2)} + \frac{P}{(x +2)(x -2)} $
$ = \frac{3x^2 +2x -8 + P}{(x +2)(x -2)} $。
因为$ C $与$ D $互为“和整分式”，且“和整数值”$ k $为3，
所以$ \frac{3x^2 +2x -8 + P}{(x +2)(x -2)} = 3 $，即$ 3x^2 +2x -8 + P = 3(x +2)(x -2) $。
所以$ P = 3(x^2 -4) - (3x^2 +2x -8) = -2x -4 $。
②因为$ D = \frac{P}{x^2 -4} = \frac{-2x -4}{(x +2)(x -2)} = \frac{-2(x +2)}{(x +2)(x -2)} = -\frac{2}{x -2} $，
且分式$ D $的值为正整数，$ x $为正整数，
所以$ x -2 = -1 $或$ x -2 = -2 $。
解得$ x =1 $或$ x =0 $（舍去）。
所以正整数$ x $的值为1。
答案
（1）解：$ A + B = \frac{x-7}{x-2} + \frac{x^2 +6x +9}{(x+3)(x-2)} $
$ = \frac{x-7}{x-2} + \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)} $
$ = \frac{x-7}{x-2} + \frac{x+3}{x-2} $
$ = \frac{2x -4}{x-2} $
$ = \frac{2(x-2)}{x-2} $
$ = 2 $。
所以$ A $与$ B $互为“和整分式”，“和整数值”$ k $为2。
（2）①解：$ C + D = \frac{3x -4}{x -2} + \frac{P}{x^2 -4} $
$ = \frac{(3x -4)(x +2)}{(x +2)(x -2)} + \frac{P}{(x +2)(x -2)} $
$ = \frac{3x^2 +2x -8 + P}{(x +2)(x -2)} $。
因为$ C $与$ D $互为“和整分式”，且“和整数值”$ k $为3，
所以$ \frac{3x^2 +2x -8 + P}{(x +2)(x -2)} = 3 $，即$ 3x^2 +2x -8 + P = 3(x +2)(x -2) $。
所以$ P = 3(x^2 -4) - (3x^2 +2x -8) = -2x -4 $。
②解：因为$ D = \frac{P}{x^2 -4} = \frac{-2x -4}{(x +2)(x -2)} = \frac{-2(x +2)}{(x +2)(x -2)} = -\frac{2}{x -2} $，
且分式$ D $的值为正整数，$ x $为正整数，
所以$ x -2 = -1 $或$ x -2 = -2 $。
解得$ x =1 $或$ x =0 $（舍去）。
所以正整数$ x $的值为1。
$ = \frac{x-7}{x-2} + \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)} $
$ = \frac{x-7}{x-2} + \frac{x+3}{x-2} $
$ = \frac{2x -4}{x-2} $
$ = \frac{2(x-2)}{x-2} $
$ = 2 $。
所以$ A $与$ B $互为“和整分式”，“和整数值”$ k $为2。
（2）①解：$ C + D = \frac{3x -4}{x -2} + \frac{P}{x^2 -4} $
$ = \frac{(3x -4)(x +2)}{(x +2)(x -2)} + \frac{P}{(x +2)(x -2)} $
$ = \frac{3x^2 +2x -8 + P}{(x +2)(x -2)} $。
因为$ C $与$ D $互为“和整分式”，且“和整数值”$ k $为3，
所以$ \frac{3x^2 +2x -8 + P}{(x +2)(x -2)} = 3 $，即$ 3x^2 +2x -8 + P = 3(x +2)(x -2) $。
所以$ P = 3(x^2 -4) - (3x^2 +2x -8) = -2x -4 $。
②解：因为$ D = \frac{P}{x^2 -4} = \frac{-2x -4}{(x +2)(x -2)} = \frac{-2(x +2)}{(x +2)(x -2)} = -\frac{2}{x -2} $，
且分式$ D $的值为正整数，$ x $为正整数，
所以$ x -2 = -1 $或$ x -2 = -2 $。
解得$ x =1 $或$ x =0 $（舍去）。
所以正整数$ x $的值为1。
