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例3 抛物线$y=ax^2+bx+c$上部分点的横坐标$x$、纵坐标$y$的对应值如下表所示：
从上表可知，当$x=14$时，$y$的值为
解析 根据表格数据可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象过点$(-1,0)$，$(0,-4)$，$(1,-6)$。
所以$\begin{cases} a - b + c = 0, \\ a + b + c = -6, \\ c = -4. \end{cases}$，所以$\begin{cases} a = 1, \\ b = -3, \\ c = -4. \end{cases}$
所以$y=x^2 - 3x -4$。
所以把$x=14$代入，得$y=14^2 - 3×14 -4=150$。
答案 150
从上表可知，当$x=14$时，$y$的值为
150
。解析 根据表格数据可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象过点$(-1,0)$，$(0,-4)$，$(1,-6)$。
所以$\begin{cases} a - b + c = 0, \\ a + b + c = -6, \\ c = -4. \end{cases}$，所以$\begin{cases} a = 1, \\ b = -3, \\ c = -4. \end{cases}$
所以$y=x^2 - 3x -4$。
所以把$x=14$代入，得$y=14^2 - 3×14 -4=150$。
答案 150
答案
答案 150
解析 根据表格数据可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象过点$(-1,0)$，$(0,-4)$，$(1,-6)$。所以$\begin{cases} a - b + c = 0, \\ a + b + c = -6, \\ c = -4. \end{cases}$，所以$\begin{cases} a = 1, \\ b = -3, \\ c = -4. \end{cases}$，所以$y=x^2 - 3x -4$。把$x=14$代入，得$y=14^2 - 3×14 -4=150$。
解析 根据表格数据可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象过点$(-1,0)$，$(0,-4)$，$(1,-6)$。所以$\begin{cases} a - b + c = 0, \\ a + b + c = -6, \\ c = -4. \end{cases}$，所以$\begin{cases} a = 1, \\ b = -3, \\ c = -4. \end{cases}$，所以$y=x^2 - 3x -4$。把$x=14$代入，得$y=14^2 - 3×14 -4=150$。
解析
【分析】
本题要求x=14对应的y值，首先需要确定二次函数的解析式。求解二次函数解析式常用待定系数法，观察表格中的数据，选取三组计算简便的点坐标：(0,-4)可直接得到c的值，再搭配(-1,0)和(1,-6)两组点，代入解析式列出三元一次方程组，解出a、b、c的值即可得到完整的函数解析式，最后将x=14代入解析式计算就能得到对应的y值。
【解析】
根据表格数据，选取二次函数图象上的三个点$(-1,0)$，$(0,-4)$，$(1,-6)$，代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases}a - b + c = 0 \\a + b + c = -6 \\c = -4\end{cases}$
把$c=-4$代入前两个方程，解得$\begin{cases}a=1 \\ b=-3 \\ c=-4\end{cases}$
因此二次函数解析式为$y=x^2 - 3x - 4$。
将$x=14$代入解析式，得：
$y=14^2 - 3×14 -4=196 - 42 -4=150$
【答案】
150
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是二次函数基础应用题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，选取含x=0的点代入可直接求出常数项c，能有效简化计算过程，掌握函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题要求x=14对应的y值，首先需要确定二次函数的解析式。求解二次函数解析式常用待定系数法，观察表格中的数据，选取三组计算简便的点坐标：(0,-4)可直接得到c的值，再搭配(-1,0)和(1,-6)两组点，代入解析式列出三元一次方程组，解出a、b、c的值即可得到完整的函数解析式，最后将x=14代入解析式计算就能得到对应的y值。
【解析】
根据表格数据，选取二次函数图象上的三个点$(-1,0)$，$(0,-4)$，$(1,-6)$，代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases}a - b + c = 0 \\a + b + c = -6 \\c = -4\end{cases}$
把$c=-4$代入前两个方程，解得$\begin{cases}a=1 \\ b=-3 \\ c=-4\end{cases}$
因此二次函数解析式为$y=x^2 - 3x - 4$。
将$x=14$代入解析式，得：
$y=14^2 - 3×14 -4=196 - 42 -4=150$
【答案】
150
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是二次函数基础应用题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，选取含x=0的点代入可直接求出常数项c，能有效简化计算过程，掌握函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ＜ 0) $，下列说法正确的是 （
A.图象开口向上
B.当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
C.图象顶点的横坐标为 $ -\frac{b}{2a} $
D.若 $ c ＞ 0 $，则图象与 $ y $ 轴交于负半轴
C
）A.图象开口向上
B.当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
C.图象顶点的横坐标为 $ -\frac{b}{2a} $
D.若 $ c ＞ 0 $，则图象与 $ y $ 轴交于负半轴
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题时可逐一对应二次函数的开口方向、对称轴、增减性、与y轴交点的规律，对每个选项进行判断即可得出正确答案。首先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的核心性质：①$a$的符号决定开口方向；②对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点横坐标与对称轴数值一致，$a＜0$时对称轴右侧$y$随$x$增大而减小；③与$y$轴交点坐标为$(0,c)$，$c$的符号决定交点在y轴的正负半轴。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：二次函数中$a＜0$时，图象开口向下，因此A错误；
选项B：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，$a＜0$时开口向下，当$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小，因此B错误；
选项C：二次函数图象顶点在对称轴上，因此顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，C正确；
选项D：二次函数与$y$轴交点为$(0,c)$，若$c＞0$，则图象与$y$轴交于正半轴，因此D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是对二次函数基本性质的记忆和理解，熟练掌握这些基础规律是解决二次函数各类题型的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的基本性质，解题时可逐一对应二次函数的开口方向、对称轴、增减性、与y轴交点的规律，对每个选项进行判断即可得出正确答案。首先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的核心性质：①$a$的符号决定开口方向；②对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点横坐标与对称轴数值一致，$a＜0$时对称轴右侧$y$随$x$增大而减小；③与$y$轴交点坐标为$(0,c)$，$c$的符号决定交点在y轴的正负半轴。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：二次函数中$a＜0$时，图象开口向下，因此A错误；
选项B：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，$a＜0$时开口向下，当$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小，因此B错误；
选项C：二次函数图象顶点在对称轴上，因此顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，C正确；
选项D：二次函数与$y$轴交点为$(0,c)$，若$c＞0$，则图象与$y$轴交于正半轴，因此D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是对二次函数基本性质的记忆和理解，熟练掌握这些基础规律是解决二次函数各类题型的前提。
【难度系数】
0.9
2. 若$A(-1, y_1)$，$B(1, y_2)$，$C(4, y_3)$三点都在二次函数$y=x^2 -4x +3$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系为（
A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
C.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
B
）A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
C.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
答案
2. B
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：
思路1：代入法。二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，可直接将三个点的横坐标分别代入解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值，再比较大小即可。
思路2：性质法。对于开口向上的二次函数，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。先求出该二次函数的对称轴，再分别计算三个点到对称轴的距离，通过距离大小判断函数值大小。
【解析】
方法一（代入计算法）：
将三个点的横坐标分别代入解析式$y=x^2 -4x +3$：
当$x=-1$时，$y_1=(-1)^2 -4×(-1)+3=1+4+3=8$；
当$x=1$时，$y_2=1^2 -4×1 +3=1-4+3=0$；
当$x=4$时，$y_3=4^2 -4×4 +3=16-16+3=3$。
因为$0＜3＜8$，所以$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
方法二（性质判断法）：
二次函数$y=x^2 -4x +3$中，$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$。
分别计算三个点到对称轴$x=2$的水平距离：
点A到对称轴的距离：$|-1-2|=3$；
点B到对称轴的距离：$|1-2|=1$；
点C到对称轴的距离：$|4-2|=2$。
因为抛物线开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大，且$1＜2＜3$，所以$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，两种解题方法都容易掌握，代入法思路直接易理解，性质法计算量小，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴与函数值的关系可快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：
思路1：代入法。二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，可直接将三个点的横坐标分别代入解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值，再比较大小即可。
思路2：性质法。对于开口向上的二次函数，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。先求出该二次函数的对称轴，再分别计算三个点到对称轴的距离，通过距离大小判断函数值大小。
【解析】
方法一（代入计算法）：
将三个点的横坐标分别代入解析式$y=x^2 -4x +3$：
当$x=-1$时，$y_1=(-1)^2 -4×(-1)+3=1+4+3=8$；
当$x=1$时，$y_2=1^2 -4×1 +3=1-4+3=0$；
当$x=4$时，$y_3=4^2 -4×4 +3=16-16+3=3$。
因为$0＜3＜8$，所以$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
方法二（性质判断法）：
二次函数$y=x^2 -4x +3$中，$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$。
分别计算三个点到对称轴$x=2$的水平距离：
点A到对称轴的距离：$|-1-2|=3$；
点B到对称轴的距离：$|1-2|=1$；
点C到对称轴的距离：$|4-2|=2$。
因为抛物线开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大，且$1＜2＜3$，所以$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，两种解题方法都容易掌握，代入法思路直接易理解，性质法计算量小，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴与函数值的关系可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=x^2 - 2x$，其中$-1≤ x≤4$，则$y$的最大值是
8
。答案
3. 8
解析
【分析】
要解决给定区间内二次函数的最大值问题，首先明确二次函数的基本性质：先通过二次项系数判断开口方向，再求出对称轴；开口向上的二次函数，在给定闭区间内，离对称轴距离越远的自变量对应的函数值越大，因此只需计算区间端点及对称轴处的函数值，比较大小即可得到最大值。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-2x$，二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=-2$，可得对称轴为$x=\frac{2}{2×1}=1$。
分别计算区间端点和对称轴处的$y$值：
1. 当$x=1$时，$y=1^2-2×1=-1$，为函数的最小值；
2. 当$x=-1$时，$y=(-1)^2-2×(-1)=1+2=3$；
3. 当$x=4$时，$y=4^2-2×4=16-8=8$。
比较三个值大小可得$8＞3＞-1$，因此$y$的最大值是8。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数区间最值求解
【点评】
本题考查限定区间内二次函数的最值计算，易错点是忽略自变量的取值范围，直接将顶点的函数值当作最值，解题时要结合开口方向、对称轴位置和区间范围，通过比较端点和顶点的函数值得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决给定区间内二次函数的最大值问题，首先明确二次函数的基本性质：先通过二次项系数判断开口方向，再求出对称轴；开口向上的二次函数，在给定闭区间内，离对称轴距离越远的自变量对应的函数值越大，因此只需计算区间端点及对称轴处的函数值，比较大小即可得到最大值。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-2x$，二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=-2$，可得对称轴为$x=\frac{2}{2×1}=1$。
分别计算区间端点和对称轴处的$y$值：
1. 当$x=1$时，$y=1^2-2×1=-1$，为函数的最小值；
2. 当$x=-1$时，$y=(-1)^2-2×(-1)=1+2=3$；
3. 当$x=4$时，$y=4^2-2×4=16-8=8$。
比较三个值大小可得$8＞3＞-1$，因此$y$的最大值是8。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数区间最值求解
【点评】
本题考查限定区间内二次函数的最值计算，易错点是忽略自变量的取值范围，直接将顶点的函数值当作最值，解题时要结合开口方向、对称轴位置和区间范围，通过比较端点和顶点的函数值得到正确结果。
【难度系数】
0.7
