1. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$AB$是直径,过点$A作\odot O的切线AD$。若$\angle B = 35^{\circ}$,则$\angle DAC$的度数是______度。

35

证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠B=35°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-35°=55°。
∵AD是⊙O的切线，
∴AD⊥AB（切线垂直于过切点的半径），
∴∠DAB=90°。
∴∠DAC=∠DAB-∠BAC=90°-55°=35°。
35

2. 如图,$AB是\odot O$的直径,$MN是\odot O$的切线,切点为$N$,如果$\angle MNB = 52^{\circ}$,则$\angle NOA$的度数为______。

$76°$

证明：
∵MN是$\odot O$的切线，切点为N，
∴$ON\perp MN$，即$\angle ONM=90°$。
∵$\angle MNB=52°$，
∴$\angle ONB=\angle ONM-\angle MNB=90°-52°=38°$。
∵$ON=OB$，
∴$\triangle ONB$是等腰三角形，$\angle OBN=\angle ONB=38°$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\angle AOB=180°$。
在$\triangle ONB$中，$\angle NOB=180°-2\angle ONB=180°-2×38°=104°$。
∴$\angle NOA=\angle AOB-\angle NOB=180°-104°=76°$。
$76°$

3. 如图,$AB是\odot O$的直径,$AC是\odot O$的切线,连接$OC交\odot O于点D$,连接$BD$,$\angle C = 40^{\circ}$,则$\angle ABD = $______$^{\circ}$。

25

证明：
∵AC是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，
∴AB⊥AC，即$\angle OAC=90°$。
在$\triangle OAC$中，$\angle C=40°$，
∴$\angle AOC=180°-\angle OAC-\angle C=180°-90°-40°=50°$。
∵OB=OD，
∴$\triangle OBD$是等腰三角形，$\angle OBD=\angle ODB$。
又$\angle AOC$是$\triangle OBD$的外角，
∴$\angle AOC=\angle OBD+\angle ODB=2\angle ABD$。
∴$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
25

4. 如图,过点$M(3,0)作半径为1$的圆,过点$P(0,2)作\odot M$的切线,$Q$为切点,则$PQ$的长为______。

$2\sqrt{3}$

解：连接 $PM$，$QM$。
因为 $Q$ 为切点，所以 $QM \perp PQ$，即 $\triangle PQM$ 为直角三角形。
已知 $P(0,2)$，$M(3,0)$，$\odot M$ 半径 $QM=1$。
根据两点间距离公式，$PM = \sqrt{(3-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$。
在 $Rt\triangle PQM$ 中，由勾股定理得：$PQ = \sqrt{PM^2 - QM^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 1^2} = \sqrt{13 - 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
$2\sqrt{3}$

问题 已知直线$l切\odot O于点C$,$AD为\odot O$的任一条直径,点$B在直线l$上,且$\angle BAC = \angle CAD$($AB与AD$不在同一条直线上),画出图形,试判断四边形$ABCO$是怎样的特殊四边形,并证明你所得出的结论。
名师指导
本题可根据题意先画出$\odot O与它的切线l$,再画直径$AD$,最后根据$\angle BAC = \angle ACO来确定点B$的位置。在探索四边形$ABCO$的形状时,可转动直径$AD$,画出几个不同图形进行观察和猜想。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
]

解：四边形ABCO是直角梯形。
证明：
1. 连接OC，∵直线l切⊙O于点C，∴OC⊥l（切线垂直于过切点的半径）。
2. ∵AD是⊙O直径，∴OA=OC（同圆半径相等），∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。
3. ∵∠BAC=∠CAD，且∠CAD=∠OAC（D在直径AD上），∴∠BAC=∠OCA。
4. ∵∠BAC=∠OCA，∴AB//OC（内错角相等，两直线平行）。
5. ∵OC⊥l，点B在l上，∴OC⊥BC，又AB//OC，∴AB⊥BC（两直线平行，同位角相等），即∠ABC=90°。
6. ∵AB//OC且∠ABC=90°，∴四边形ABCO是直角梯形。
结论：四边形ABCO是直角梯形。