5. 与抛物线 $ y = 8x^{2} $ 关于 $ x $ 轴对称的抛物线的解析式是______。

$ y=-8x^{2} $

6. 给出下列函数：① $ y = 2x $；② $ y = -2x + 1 $；③ $ y = \frac{2}{x}(x ＞ 0) $；④ $ y = x^{2}(x ＜ -1) $。其中,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小的函数有______。(将序号填在横线上)

②③④

7. 如图,已知抛物线 $ y = 2x^{2} $,正方形 $ ABCD $ 的顶点 $ A $,$ B $ 在抛物线上,顶点 $ C $,$ D $ 在 $ x $ 轴上,求点 $ A $ 的坐标。
]

$ A(1,2) $

解：设点$ A $的坐标为$ (a, 2a^{2}) $，其中$ a ＞ 0 $。
因为四边形$ ABCD $是正方形，顶点$ C $，$ D $在$ x $轴上，所以点$ D $的坐标为$ (a, 0) $，点$ B $的坐标为$ (-a, 2a^{2}) $，点$ C $的坐标为$ (-a, 0) $。
$ AD $的长度为$ 2a^{2} - 0 = 2a^{2} $，$ CD $的长度为$ a - (-a) = 2a $。
由于正方形的边长相等，所以$ AD = CD $，即$ 2a^{2} = 2a $。
解得$ a = 1 $（$ a = 0 $舍去）。
所以点$ A $的坐标为$ (1, 2) $。

8. 已知二次函数 $ y = (a + 5)x^{2} $ 的图象经过第四象限内的某一点。
(1)求 $ a $ 的取值范围；
(2)若图象经过点 $ (-1, -4) $,求二次函数的解析式；
(3)写出此二次函数的性质。

（1）$ a＜-5 $；（2）$ y=-4x^{2} $；（3）略.

（1）因为二次函数$y=(a + 5)x^{2}$的图象经过第四象限内的某一点，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负。当$x＞0$时，$x^{2}＞0$，要使$y＜0$，则二次项系数$a + 5＜0$，解得$a＜-5$。
（2）因为图象经过点$(-1, -4)$，将$x=-1$，$y=-4$代入$y=(a + 5)x^{2}$，得$-4=(a + 5)×(-1)^{2}$，即$-4=a + 5$，解得$a=-9$，所以二次函数的解析式为$y=-4x^{2}$。
（3）此二次函数$y=(a + 5)x^{2}$（$a＜-5$）的性质：
开口方向：向下；
对称轴：$y$轴（或直线$x=0$）；
顶点坐标：$(0,0)$；
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
函数有最大值，当$x=0$时，$y$最大值为$0$。

9. 如图,已知点 $ A(-2, 4) $ 在抛物线 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 上,过点 $ A $ 且平行于 $ x $ 轴的直线交抛物线于点 $ B $。
(1)求 $ a $ 的值和点 $ B $ 的坐标；
(2)若点 $ P $ 是抛物线上一点,当以点 $ A $,$ B $,$ P $ 为顶点构成的 $ \triangle ABP $ 的面积为 $ 2 $ 时,求点 $ P $ 的坐标。
]

（1）$ a=1,B(2,4) $；（2）$ (-\sqrt{3},3) $或$ (\sqrt{3},3) $或$ (-\sqrt{5},5) $或$ (\sqrt{5},5) $

（1）解：因为点$A(-2,4)$在抛物线$y = ax^2$上，所以$4 = a×(-2)^2$，解得$a = 1$，抛物线方程为$y = x^2$。过点$A$且平行于$x$轴的直线为$y = 4$，令$x^2 = 4$，解得$x = \pm2$，所以点$B$的坐标为$(2,4)$。
（2）解：$AB$的长度为$2 - (-2) = 4$，设点$P$的坐标为$(x,x^2)$，$\triangle ABP$的高为$|x^2 - 4|$。由面积为$2$可得$\frac{1}{2}×4×|x^2 - 4| = 2$，即$|x^2 - 4| = 1$。当$x^2 - 4 = 1$时，$x^2 = 5$，$x = \pm\sqrt{5}$；当$x^2 - 4 = -1$时，$x^2 = 3$，$x = \pm\sqrt{3}$。所以点$P$的坐标为$(-\sqrt{3},3)$、$(\sqrt{3},3)$、$(-\sqrt{5},5)$、$(\sqrt{5},5)$。

如图,过点 $ F(0, -1) $ 的直线 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 与抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} $ 交于点 $ A(x_{1}, y_{1}) $,$ B(x_{2}, y_{2}) $。
(1)求 $ b $ 的值；
(2)求 $ x_{1}x_{2} $ 的值；
(3)若线段 $ AB $ 的垂直平分线交 $ y $ 轴于点 $ N(0, n) $,求 $ n $ 的取值范围。
]

（1）将点 $ F(0,-1) $代入 $ y=kx+b $,得 $ b=-1 $.（2）联立 $ \left\{\begin{array}{l} y=kx-1,\\ y=-\frac{1}{4}x^{2},\end{array}\right. $ 消去 $ y $,得 $ x^{2}+4kx-4=0 $,$ \therefore x_{1}x_{2}=-4 $. （3）由（2）得，$ x_{1}+x_{2}=-4k $,$ \therefore x_{C}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=-2k $,$ y_{C}=-2k\cdot k-1=-2k^{2}-1 $.$ \because CN\perp AB $,$ \therefore k_{CN}=-\frac{1}{k} $,$ \therefore y_{CN}=-\frac{1}{k}(x+2k)-2k^{2}-1 $.当 $ x=0 $时,$ n=-2-2k^{2}-1=-2k^{2}-3 $.$ \because k\neq 0 $,$ \therefore n＜-3 $.

(1) 将点 $ F(0,-1) $ 代入 $ y=kx+b $，得 $ b=-1 $。
(2) 联立 $ \begin{cases} y=kx-1 \\ y=-\dfrac{1}{4}x^{2} \end{cases} $，消去 $ y $ 得 $ x^{2}+4kx-4=0 $，由韦达定理得 $ x_{1}x_{2}=-4 $。
(3) 由
(2)得 $ x_{1}+x_{2}=-4k $，则 $ x_{C}=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=-2k $，$ y_{C}=k(-2k)-1=-2k^{2}-1 $。因为 $ CN\perp AB $，所以 $ k_{CN}=-\dfrac{1}{k} $，直线 $ CN $ 的方程为 $ y-(-2k^{2}-1)=-\dfrac{1}{k}(x+2k) $。当 $ x=0 $ 时，$ n=-2k^{2}-3 $。因为 $ k\neq0 $，所以 $ k^{2}＞0 $，故 $ n＜-3 $。