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1. 一棵大树被风吹断后树尖落在距树脚15米处的地方,大树折断处离地面8米,则大树的高为(
A.17米
B.23米
C.25米
D.30米
C
)A.17米
B.23米
C.25米
D.30米
答案
C
解析
设大树折断部分长度为 $ x $ 米，由勾股定理得 $ x^2 = 8^2 + 15^2 $，解得 $ x = 17 $。大树原高为折断处离地面高度与折断部分长度之和，即 $ 8 + 17 = 25 $ 米。
2. 如图,A,C两地之间有一湖,在与AC方向成90°角的CB方向上的点B处测得AB= 50m,BC= 40m,则A,C两地之间的距离为(
A.30m
B.40m
C.50m
D.60m
A
)A.30m
B.40m
C.50m
D.60m
答案
A
解析
由题意知，∠ACB=90°，AB=50m，BC=40m。在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC² + BC² = AB²，即AC² + 40² = 50²，AC² = 50² - 40² = 2500 - 1600 = 900，所以AC=30m。
3. 如图,盒内长、宽、高分别是6cm,3cm,2cm,则盒内可放木棒最长的长度是(
A.6cm
B.7cm
C.8cm
D.9cm
B
)A.6cm
B.7cm
C.8cm
D.9cm
答案
B
解析
长方体的对角线长度为木棒最长长度。
设长方体的长、宽、高分别为$a$，$b$，$c$，根据勾股定理，长方体的对角线长度$d$满足$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$，
这里$a = 6cm$，$b = 3cm$，$c = 2cm$。
代入数值计算：
$d^2=6^2 + 3^2 + 2^2$
$d^2 = 36 + 9 + 4$
$d^2 = 49$
$d = 7cm$
所以盒内可放木棒最长的长度是$7cm$。
设长方体的长、宽、高分别为$a$，$b$，$c$，根据勾股定理，长方体的对角线长度$d$满足$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$，
这里$a = 6cm$，$b = 3cm$，$c = 2cm$。
代入数值计算：
$d^2=6^2 + 3^2 + 2^2$
$d^2 = 36 + 9 + 4$
$d^2 = 49$
$d = 7cm$
所以盒内可放木棒最长的长度是$7cm$。
4. 如图是一块长为80米,宽为60米的长方形菜地ABCD,王大伯要从A处到C处去,则沿AC比沿AB→BC少走
40
米。答案
40
解析
在长方形ABCD中，AB=60米，BC=80米，∠B=90°。沿AB→BC走的路程为AB+BC=60+80=140米。在Rt△ABC中，由勾股定理得AC²=AB²+BC²=60²+80²=3600+6400=10000，所以AC=100米。沿AC比沿AB→BC少走的路程为140-100=40米。
5. 一座垂直于两岸的桥长120米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头90米,则小船实际行驶了
150
米。答案
$150$
解析
根据题意，桥长$120$米为直角三角形的一条直角边，偏离桥南头的距离为$90$米为另一条直角边。
小船实际行驶的距离为斜边，设小船实际行驶的距离为$L$。
根据勾股定理有：
$L = \sqrt{120^2 + 90^2} = \sqrt{14400 + 8100} = \sqrt{22500} = 150$（ 米）。
所以小船实际行驶了$150$米。
小船实际行驶的距离为斜边，设小船实际行驶的距离为$L$。
根据勾股定理有：
$L = \sqrt{120^2 + 90^2} = \sqrt{14400 + 8100} = \sqrt{22500} = 150$（ 米）。
所以小船实际行驶了$150$米。
6. 如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,高AB= 2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开。一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC= 1.2米),感应门自动打开,则AD=
1.5
米。答案
1.5
解析
过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形，BE=CD=1.6米，DE=BC=1.2米。AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9米。在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²=0.9²+1.2²=0.81+1.44=2.25，AD=1.5米。
7. 如图,将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D,则橡皮筋被拉长了多少？
答案
橡皮筋被拉长了 2 cm。
解析
根据题意，橡皮筋原长为 AB = 8 cm，中点 C 被拉升至 D，形成直角三角形 ACD 和 BCD，其中$ AC = BC = \frac{AB}{2} = 4 cm，$CD = 3 cm。
在直角三角形 ACD 中，由勾股定理可得：
$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 cm。$同理，BD = AD = 5 cm。橡皮筋被拉长后的总长度为 AD + BD = 5 + 5 = 10 cm。原长为 8 cm，所以被拉长了 10 - 8 = 2 cm。
在直角三角形 ACD 中，由勾股定理可得：
$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 cm。$同理，BD = AD = 5 cm。橡皮筋被拉长后的总长度为 AD + BD = 5 + 5 = 10 cm。原长为 8 cm，所以被拉长了 10 - 8 = 2 cm。
8. 如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕EF分别与AB,DC交于点E,F,点B的对应点为B'。
(1)证明：AE= CF；
(2)若AD= 12,DC= 18,求DF的长。
(1)证明：AE= CF；
(2)若AD= 12,DC= 18,求DF的长。
答案
(1) 因为四边形ABCD是长方形，所以AB//CD，故∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC（内错角相等）。由折叠知EF垂直平分AC，设EF与AC交于点O，则OA=OC。在△OAE和△OCF中，∠OAE=∠OCF，OA=OC，∠AOE=∠COF（对顶角相等），所以△OAE≌△OCF（ASA），因此AE=CF。
(2) 设DF=x，则FC=DC-DF=18-x。由折叠性质得FA=FC=18-x。在Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，即12²+x²=(18-x)²，解得x=5，故DF=5。
(2) 设DF=x，则FC=DC-DF=18-x。由折叠性质得FA=FC=18-x。在Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，即12²+x²=(18-x)²，解得x=5，故DF=5。
