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1. 数据21,12,18,16,20,21的众数和中位数分别是(
A.21和19
B.21和17
C.20和19
D.20和18
A
)A.21和19
B.21和17
C.20和19
D.20和18
答案
A
解析
将数据从小到大排列：12,16,18,20,21,21。众数是出现次数最多的数，21出现2次，故众数为21。中位数是中间两个数的平均数，中间两数为18和20，(18+20)÷2=19，故中位数为19。
2. 已知甲、乙两组数据分别为8,9,11,10,12和a,8,9,10,15,若甲、乙两组数据的平均数相同,则下列说法正确的是(
A.a的值为9
B.甲组数据的中位数为11
C.乙组数据的上四分位数为9.5
D.甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D
)A.a的值为9
B.甲组数据的中位数为11
C.乙组数据的上四分位数为9.5
D.甲组数据的方差小于乙组数据的方差
答案
D
解析
1.求a的值：
已知$\overline{x}_{甲}=\frac{8 + 9+11 + 10+12}{5}=10$，因为$\overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙}$，$\overline{x}_{乙}=\frac{a + 8+9 + 10+15}{5}=10$，即$a+42 = 50$，解得$a = 8$。
2.分析各选项：
选项A：$a = 8\neq9$，所以A选项错误。
选项B：甲组数据$8,9,10,11,12$的中位数是$10\neq11$，所以B选项错误。
选项C：乙组数据$8,8,9,10,15$，$5×\frac{3}{4}=3.75$，上四分位数为第$4$个数$10\neq9.5$，所以C选项错误。
选项D：
$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}[(8 - 10)^{2}+(9 - 10)^{2}+(11 - 10)^{2}+(10 - 10)^{2}+(12 - 10)^{2}]$
$=\frac{1}{5}(4 + 1+1+0+4)=2$
$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}[(8 - 10)^{2}+(8 - 10)^{2}+(9 - 10)^{2}+(10 - 10)^{2}+(15 - 10)^{2}]$
$=\frac{1}{5}(4 + 4+1+0+25)=6.8$
因为$s_{甲}^{2}\lt s_{乙}^{2}$，所以D选项正确。
已知$\overline{x}_{甲}=\frac{8 + 9+11 + 10+12}{5}=10$，因为$\overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙}$，$\overline{x}_{乙}=\frac{a + 8+9 + 10+15}{5}=10$，即$a+42 = 50$，解得$a = 8$。
2.分析各选项：
选项A：$a = 8\neq9$，所以A选项错误。
选项B：甲组数据$8,9,10,11,12$的中位数是$10\neq11$，所以B选项错误。
选项C：乙组数据$8,8,9,10,15$，$5×\frac{3}{4}=3.75$，上四分位数为第$4$个数$10\neq9.5$，所以C选项错误。
选项D：
$s_{甲}^{2}=\frac{1}{5}[(8 - 10)^{2}+(9 - 10)^{2}+(11 - 10)^{2}+(10 - 10)^{2}+(12 - 10)^{2}]$
$=\frac{1}{5}(4 + 1+1+0+4)=2$
$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}[(8 - 10)^{2}+(8 - 10)^{2}+(9 - 10)^{2}+(10 - 10)^{2}+(15 - 10)^{2}]$
$=\frac{1}{5}(4 + 4+1+0+25)=6.8$
因为$s_{甲}^{2}\lt s_{乙}^{2}$，所以D选项正确。
3. 一组数据1,3,2,5,x的平均数是3,则这组数据的标准差为(
A.2
B.4
C.$\sqrt{2}$
D.-2
C
)A.2
B.4
C.$\sqrt{2}$
D.-2
答案
C
解析
1. 已知数据$1,3,2,5,x$的平均数是$3$，根据平均数的定义，有$\frac{1 + 3 + 2 + 5 + x}{5} = 3$。
2. 解这个方程：$1+3 + 2+5+x=15$，得$x = 4$。
3. 标准差公式为$\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})^2+(x_2 - \bar{x})^2+\cdots+(x_n - \bar{x})^2]}$，这里$n = 5$，$\bar{x}=3$，$x_1 = 1,x_2 = 3,x_3 = 2,x_4 = 5,x_5 = 4$。
4. 计算$(1 - 3)^2=4$，$(3 - 3)^2 = 0$，$(2 - 3)^2 = 1$，$(5 - 3)^2 = 4$，$(4 - 3)^2 = 1$。
5. 则方差$S^2=\frac{1}{5}×(4 + 0+1 + 4+1)=\frac{10}{5}=2$。
6. 标准差$S=\sqrt{2}$。
2. 解这个方程：$1+3 + 2+5+x=15$，得$x = 4$。
3. 标准差公式为$\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})^2+(x_2 - \bar{x})^2+\cdots+(x_n - \bar{x})^2]}$，这里$n = 5$，$\bar{x}=3$，$x_1 = 1,x_2 = 3,x_3 = 2,x_4 = 5,x_5 = 4$。
4. 计算$(1 - 3)^2=4$，$(3 - 3)^2 = 0$，$(2 - 3)^2 = 1$，$(5 - 3)^2 = 4$，$(4 - 3)^2 = 1$。
5. 则方差$S^2=\frac{1}{5}×(4 + 0+1 + 4+1)=\frac{10}{5}=2$。
6. 标准差$S=\sqrt{2}$。
4. 某校举办“汉字听写大赛”,7名学生进入决赛,他们所得分数互不相同,比赛共设3个获奖名额,某学生知道自己的分数后,要判断自己能否获奖,他应该关注的统计量是
中位数
.(填“平均数”“众数”或“中位数”)答案
中位数
解析
共有7名学生的分数且互不相同，将这7个分数从小到大排列，中位数是第4名的分数，知道自己的分数与中位数的关系，就可以判断是否进入前3名，即是否获奖。而平均数受极端值影响，众数是多个数据中出现最多的数，都不能最好地反映能否进入前三名。所以他应该关注的统计量是中位数。
5. 某公司欲招聘一名公关人员,对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试,他们的成绩(单位：分)如表：
|候选人|甲|乙|
|测试成绩(百分制)|面试|86|92|
| |笔试|90|83|
如果公司认为,作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要,并分别赋予它们6和4的权,那么根据两人的平均成绩,该公司将录取
|候选人|甲|乙|
|测试成绩(百分制)|面试|86|92|
| |笔试|90|83|
如果公司认为,作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要,并分别赋予它们6和4的权,那么根据两人的平均成绩,该公司将录取
乙
.答案
乙
解析
本题可根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙两人的平均成绩，再比较两人平均成绩的大小，平均成绩高的人将被录取。
加权平均数的计算公式为$\overline{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}}$（其中$x_{i}$为各数据，$f_{i}$为各数据的权数）。
计算甲的平均成绩：
已知甲的面试成绩$x_{1}=86$，权数$f_{1}=6$；笔试成绩$x_{2}=90$，权数$f_{2}=4$。
将上述数据代入加权平均数公式可得甲的平均成绩$\overline{x}_{甲}=\frac{86×6 + 90×4}{6 + 4}=\frac{516+360}{10}=\frac{876}{10}=87.6$（分）。
计算乙的平均成绩：
已知乙的面试成绩$x_{3}=92$，权数$f_{3}=6$；笔试成绩$x_{4}=83$，权数$f_{4}=4$。
将上述数据代入加权平均数公式可得乙的平均成绩$\overline{x}_{乙}=\frac{92×6 + 83×4}{6 + 4}=\frac{552+332}{10}=\frac{884}{10}=88.4$（分）。
比较两人平均成绩并确定录取人员：
因为$87.6\lt 88.4$，即$\overline{x}_{甲}\lt\overline{x}_{乙}$，所以乙的平均成绩更高，该公司将录取乙。
加权平均数的计算公式为$\overline{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}}$（其中$x_{i}$为各数据，$f_{i}$为各数据的权数）。
计算甲的平均成绩：
已知甲的面试成绩$x_{1}=86$，权数$f_{1}=6$；笔试成绩$x_{2}=90$，权数$f_{2}=4$。
将上述数据代入加权平均数公式可得甲的平均成绩$\overline{x}_{甲}=\frac{86×6 + 90×4}{6 + 4}=\frac{516+360}{10}=\frac{876}{10}=87.6$（分）。
计算乙的平均成绩：
已知乙的面试成绩$x_{3}=92$，权数$f_{3}=6$；笔试成绩$x_{4}=83$，权数$f_{4}=4$。
将上述数据代入加权平均数公式可得乙的平均成绩$\overline{x}_{乙}=\frac{92×6 + 83×4}{6 + 4}=\frac{552+332}{10}=\frac{884}{10}=88.4$（分）。
比较两人平均成绩并确定录取人员：
因为$87.6\lt 88.4$，即$\overline{x}_{甲}\lt\overline{x}_{乙}$，所以乙的平均成绩更高，该公司将录取乙。
6. 已知一组数据6,3,4,7,6,3,5,6.
(1)求这组数据的平均数、众数、中位数；
(2)求这组数据的方差和标准差.
(1)求这组数据的平均数、众数、中位数；
(2)求这组数据的方差和标准差.
答案
$(1)$求这组数据的平均数、众数、中位数
- **平均数**：
解：平均数$\bar{x}=\frac{6 + 3 + 4 + 7 + 6 + 3 + 5 + 6}{8}$
$=\frac{40}{8}=5$。
- **众数**：
众数是一组数据中出现次数最多的数据。
在数据$6,3,4,7,6,3,5,6$中，$6$出现了$3$次，出现的次数最多，所以众数是$6$。
- **中位数**：
将这组数据从小到大排列为$3,3,4,5,6,6,6,7$。
一共有$8$个数，最中间的两个数是$5$和$6$，则中位数$=\frac{5 + 6}{2}=5.5$。
$(2)$求这组数据的方差和标准差
- **方差**：
解：方差$s^{2}=\frac{1}{8}[(6 - 5)^{2}+(3 - 5)^{2}+(4 - 5)^{2}+(7 - 5)^{2}+(6 - 5)^{2}+(3 - 5)^{2}+(5 - 5)^{2}+(6 - 5)^{2}]$
$=\frac{1}{8}(1 + 4 + 1 + 4 + 1 + 4 + 0 + 1)$
$=\frac{16}{8}=2$。
- **标准差**：
标准差$s = \sqrt{s^{2}}=\sqrt{2}$。
综上，$(1)$平均数是$5$，众数是$6$，中位数是$5.5$；$(2)$方差是$2$，标准差是$\sqrt{2}$。
- **平均数**：
解：平均数$\bar{x}=\frac{6 + 3 + 4 + 7 + 6 + 3 + 5 + 6}{8}$
$=\frac{40}{8}=5$。
- **众数**：
众数是一组数据中出现次数最多的数据。
在数据$6,3,4,7,6,3,5,6$中，$6$出现了$3$次，出现的次数最多，所以众数是$6$。
- **中位数**：
将这组数据从小到大排列为$3,3,4,5,6,6,6,7$。
一共有$8$个数，最中间的两个数是$5$和$6$，则中位数$=\frac{5 + 6}{2}=5.5$。
$(2)$求这组数据的方差和标准差
- **方差**：
解：方差$s^{2}=\frac{1}{8}[(6 - 5)^{2}+(3 - 5)^{2}+(4 - 5)^{2}+(7 - 5)^{2}+(6 - 5)^{2}+(3 - 5)^{2}+(5 - 5)^{2}+(6 - 5)^{2}]$
$=\frac{1}{8}(1 + 4 + 1 + 4 + 1 + 4 + 0 + 1)$
$=\frac{16}{8}=2$。
- **标准差**：
标准差$s = \sqrt{s^{2}}=\sqrt{2}$。
综上，$(1)$平均数是$5$，众数是$6$，中位数是$5.5$；$(2)$方差是$2$，标准差是$\sqrt{2}$。
7. “三五三七”鞋厂为了解初中学生穿鞋的鞋号情况,对红华中学初二(1)班的20名男生所穿鞋号(单位：cm)统计如表：
|鞋号|23.5|24|24.5|25|25.5|26|
|人数|3|4|4|7|1|1|
(1)求出男生鞋号的平均数、中位数、众数；
(2)在平均数、中位数和众数中,鞋厂最感兴趣的是什么？
|鞋号|23.5|24|24.5|25|25.5|26|
|人数|3|4|4|7|1|1|
(1)求出男生鞋号的平均数、中位数、众数；
(2)在平均数、中位数和众数中,鞋厂最感兴趣的是什么？
答案
(1)
平均数：
$\bar{x}=\frac{23.5×3 + 24×4+24.5×4 + 25×7+25.5×1+26×1}{3 + 4+4 + 7+1+1}$
$=\frac{70.5+96+98+175+25.5+26}{20}$
$=\frac{491}{20}=24.55(cm)$
将$20$个数据从小到大排列，第$10$个和第$11$个数据都是$24.5$，所以中位数$m = 24.5(cm)$。
$25$出现的次数最多，为$7$次，所以众数$N = 25(cm)$。
(2)鞋厂最感兴趣的是众数。
平均数：
$\bar{x}=\frac{23.5×3 + 24×4+24.5×4 + 25×7+25.5×1+26×1}{3 + 4+4 + 7+1+1}$
$=\frac{70.5+96+98+175+25.5+26}{20}$
$=\frac{491}{20}=24.55(cm)$
将$20$个数据从小到大排列，第$10$个和第$11$个数据都是$24.5$，所以中位数$m = 24.5(cm)$。
$25$出现的次数最多，为$7$次，所以众数$N = 25(cm)$。
(2)鞋厂最感兴趣的是众数。
8. 八年级某班部分同学利用课外活动时间,积极参加篮球定点投篮的训练,训练后的测试成绩如表所示：
|进球数/个|8|7|6|5|4|3|
|人数|2|1|4|7|8|2|
回答下列问题：
(1)训练后篮球定点投篮进球数的众数是
(2)若训练后的人均进球数比训练前增加25%,求训练前的人均进球数.
|进球数/个|8|7|6|5|4|3|
|人数|2|1|4|7|8|2|
回答下列问题：
(1)训练后篮球定点投篮进球数的众数是
4
个,中位数是______5
个；(2)若训练后的人均进球数比训练前增加25%,求训练前的人均进球数.
答案
(1)
众数：根据表格，进球数为$4$的人数最多，为$8$人，所以众数是$4$个；
将进球数从小到大排列，一共有$2 + 1+4 + 7+8 + 2=24$人，第$12$和$13$个数的平均数为中位数，$(4 + 5)÷2 = 4.5$，中位数是$5（原题目要求应该是取整相关？按照数据个数为偶数，中位数为中间两个数平均值，若按整数个考虑表述有误，这里按正确计算）$，准确计算中位数：数据总数$n = 24$，中位数是第$12$个和第$13$个数据的平均数，第$12$个数据是$5$，第$13$个数据是$5$，所以中位数是$5$个。
故答案为：$4$；$5$。
(2)
训练后的总进球数为：$8×2 + 7×1+6×4 + 5×7+4×8+3×2$
$=16 + 7+24 + 35+32+6$
$=120$（个）
训练后的人均进球数为：$120÷24 = 5$（个）
设训练前的人均进球数为$x$个，由题意得$(1 + 25\%)x = 5$，
$1.25x = 5$，
$x = 4$
答：训练前的人均进球数为$4$个。
众数：根据表格，进球数为$4$的人数最多，为$8$人，所以众数是$4$个；
将进球数从小到大排列，一共有$2 + 1+4 + 7+8 + 2=24$人，第$12$和$13$个数的平均数为中位数，$(4 + 5)÷2 = 4.5$，中位数是$5（原题目要求应该是取整相关？按照数据个数为偶数，中位数为中间两个数平均值，若按整数个考虑表述有误，这里按正确计算）$，准确计算中位数：数据总数$n = 24$，中位数是第$12$个和第$13$个数据的平均数，第$12$个数据是$5$，第$13$个数据是$5$，所以中位数是$5$个。
故答案为：$4$；$5$。
(2)
训练后的总进球数为：$8×2 + 7×1+6×4 + 5×7+4×8+3×2$
$=16 + 7+24 + 35+32+6$
$=120$（个）
训练后的人均进球数为：$120÷24 = 5$（个）
设训练前的人均进球数为$x$个，由题意得$(1 + 25\%)x = 5$，
$1.25x = 5$，
$x = 4$
答：训练前的人均进球数为$4$个。
