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11. 已知$\sqrt{x - 4} + \sqrt{9 - y} = 0$,则$\sqrt{xy}$的算术平方根为多少？
答案
因为$\sqrt{x - 4} \geq 0$，$\sqrt{9 - y} \geq 0$，且$\sqrt{x - 4} + \sqrt{9 - y} = 0$，所以$\sqrt{x - 4} = 0$，$\sqrt{9 - y} = 0$。
由$\sqrt{x - 4} = 0$，得$x - 4 = 0$，解得$x = 4$。
由$\sqrt{9 - y} = 0$，得$9 - y = 0$，解得$y = 9$。
则$xy = 4×9 = 36$，$\sqrt{xy} = \sqrt{36} = 6$。
6的算术平方根为$\sqrt{6}$。
故答案为$\sqrt{6}$。
由$\sqrt{x - 4} = 0$，得$x - 4 = 0$，解得$x = 4$。
由$\sqrt{9 - y} = 0$，得$9 - y = 0$，解得$y = 9$。
则$xy = 4×9 = 36$，$\sqrt{xy} = \sqrt{36} = 6$。
6的算术平方根为$\sqrt{6}$。
故答案为$\sqrt{6}$。
12. 如图是一个数值转换器,当输入的$x$的值为81时,输出的$y$的值是
√3
。答案
√3
解析
输入x=81，取算术平方根得9，9是有理数；将9作为新的x输入，取算术平方根得3，3是有理数；将3作为新的x输入，取算术平方根得√3，√3不是有理数，输出y=√3。
13. 若$\sqrt{a + b - 3} + a^{2}b^{2} + 1 = 2ab$,则代数式$a^{2}b + ab^{2}$的值是
3
。答案
3
解析
由题意，有$\sqrt{a + b - 3} + a^{2}b^{2} + 1 = 2ab$，
移项可得$\sqrt{a + b - 3} + (ab - 1)^{2} = 0$，
因为$\sqrt{a + b - 3} \geq 0$，$(ab - 1)^{2} \geq 0$，
所以要使$\sqrt{a + b - 3} + (ab - 1)^{2} = 0$成立，
必须有$a + b - 3 = 0$和$ab - 1 = 0$，
即$a + b = 3$，$ab = 1$，
接下来，求代数式$a^{2}b + ab^{2}$的值，
根据提公因式法，可以将其改写为$ab(a + b)$，
将$a + b = 3$，$ab = 1$代入，得到$a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b) = 1 × 3 = 3$。
移项可得$\sqrt{a + b - 3} + (ab - 1)^{2} = 0$，
因为$\sqrt{a + b - 3} \geq 0$，$(ab - 1)^{2} \geq 0$，
所以要使$\sqrt{a + b - 3} + (ab - 1)^{2} = 0$成立，
必须有$a + b - 3 = 0$和$ab - 1 = 0$，
即$a + b = 3$，$ab = 1$，
接下来，求代数式$a^{2}b + ab^{2}$的值，
根据提公因式法，可以将其改写为$ab(a + b)$，
将$a + b = 3$，$ab = 1$代入，得到$a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b) = 1 × 3 = 3$。
14. 已知$\sqrt[a + 1]{a + b + 36}是a + b + 36$的算术平方根,$a - 2b$是9的算术平方根,求$a + b$的算术平方根。
答案
0
解析
因为$\sqrt[a + 1]{a + b + 36}$是$a + b + 36$的算术平方根，所以根指数$a + 1 = 2$，解得$a = 1$。
因为$a - 2b$是9的算术平方根，9的算术平方根是3，所以$a - 2b = 3$。
将$a = 1$代入$a - 2b = 3$，得$1 - 2b = 3$，解得$b = -1$。
则$a + b = 1 + (-1) = 0$，0的算术平方根是0。
故$a + b$的算术平方根是$0$。
因为$a - 2b$是9的算术平方根，9的算术平方根是3，所以$a - 2b = 3$。
将$a = 1$代入$a - 2b = 3$，得$1 - 2b = 3$，解得$b = -1$。
则$a + b = 1 + (-1) = 0$，0的算术平方根是0。
故$a + b$的算术平方根是$0$。
15. 已知$y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} + 7$,求$\sqrt{x} + y$的算术平方根。
答案
$3$
解析
要使二次根式有意义，则被开方数为非负数。
对于$\sqrt{x - 4}$，有$x - 4 \geq 0$，即$x \geq 4$；
对于$\sqrt{4 - x}$，有$4 - x \geq 0$，即$x \leq 4$。
所以$x = 4$。
将$x = 4$代入$y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} + 7$，得$y = 0 + 0 + 7 = 7$。
则$\sqrt{x} + y = \sqrt{4} + 7 = 2 + 7 = 9$。
$9$的算术平方根是$3$。
对于$\sqrt{x - 4}$，有$x - 4 \geq 0$，即$x \geq 4$；
对于$\sqrt{4 - x}$，有$4 - x \geq 0$，即$x \leq 4$。
所以$x = 4$。
将$x = 4$代入$y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} + 7$，得$y = 0 + 0 + 7 = 7$。
则$\sqrt{x} + y = \sqrt{4} + 7 = 2 + 7 = 9$。
$9$的算术平方根是$3$。
16. 已知$\sqrt{2 - xy} + (1 - x)^{2} = 0$。
(1) 求$x$,$y$的值；
(2) 求$\frac{1}{xy} + \frac{1}{(x + 1)(y + 1)} + \frac{1}{(x + 2)(y + 2)} + … + \frac{1}{(x + 2025)(y + 2025)}$的值。
(1) 求$x$,$y$的值；
(2) 求$\frac{1}{xy} + \frac{1}{(x + 1)(y + 1)} + \frac{1}{(x + 2)(y + 2)} + … + \frac{1}{(x + 2025)(y + 2025)}$的值。
答案
(1) 因为√(2 - xy)≥0，(1 - x)²≥0，且√(2 - xy) + (1 - x)² = 0，所以√(2 - xy)=0，(1 - x)²=0。
由(1 - x)²=0得x=1。
将x=1代入√(2 - xy)=0，得√(2 - y)=0，即2 - y=0，解得y=2。
故x=1，y=2。
(2) 由x=1，y=2，原式可化为：
1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + … + 1/(2026×2027)。
因为1/[n(n+1)]=1/n - 1/(n+1)，所以：
原式=(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + … + (1/2026 - 1/2027)=1 - 1/2027=2026/2027。
(1) x=1，y=2；(2) 2026/2027。
由(1 - x)²=0得x=1。
将x=1代入√(2 - xy)=0，得√(2 - y)=0，即2 - y=0，解得y=2。
故x=1，y=2。
(2) 由x=1，y=2，原式可化为：
1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + … + 1/(2026×2027)。
因为1/[n(n+1)]=1/n - 1/(n+1)，所以：
原式=(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + … + (1/2026 - 1/2027)=1 - 1/2027=2026/2027。
(1) x=1，y=2；(2) 2026/2027。
17. 已知实数$a$,$b$,$c$在数轴上的对应点的位置如图所示,化简：$\sqrt{a^{2}} - \vert a + b\vert + \sqrt{(c - a)^{2}} + \vert b + c\vert$。
答案
$-a$
解析
由数轴知：$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |c|$。
1. $\sqrt{a^2} = |a|$，$a ＜ 0$，则$|a| = -a$；
2. $a + b$：$b ＜ a ＜ 0$，故$a + b ＜ 0$，$|a + b| = -a - b$；
3. $\sqrt{(c - a)^2} = |c - a|$，$c ＞ 0$，$a ＜ 0$，则$c - a ＞ 0$，$|c - a| = c - a$；
4. $b + c$：$|b| ＞ |c|$，$b ＜ 0$，故$b + c ＜ 0$，$|b + c| = -b - c$。
原式$= -a - (-a - b) + (c - a) + (-b - c)$
$= -a + a + b + c - a - b - c$
$= -a$
1. $\sqrt{a^2} = |a|$，$a ＜ 0$，则$|a| = -a$；
2. $a + b$：$b ＜ a ＜ 0$，故$a + b ＜ 0$，$|a + b| = -a - b$；
3. $\sqrt{(c - a)^2} = |c - a|$，$c ＞ 0$，$a ＜ 0$，则$c - a ＞ 0$，$|c - a| = c - a$；
4. $b + c$：$|b| ＞ |c|$，$b ＜ 0$，故$b + c ＜ 0$，$|b + c| = -b - c$。
原式$= -a - (-a - b) + (c - a) + (-b - c)$
$= -a + a + b + c - a - b - c$
$= -a$
