1[2025 山西吕梁期末]综合与实践
【实践主题】探究比例的性质.
数学活动课上,老师提出了如下问题:找一组都不为0的数$a,b,c,d$,使得分式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立(即$a,b,c,d$成比例).由这组数值计算下面各组中的两个分式的值,试猜想各组中的两分式之间的关系,并证明.
①$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{d}$;②$\frac{a+b}{b}$和$\frac{c+d}{d}$;③$\frac{a+b}{a-b}$和$\frac{c+d}{c-d}(a≠b,c≠d)$.
【探究问题】小明同学就$\frac{a+b}{a-b}$和$\frac{c+d}{c-d}(a≠b,c≠d)$进行了探究.
(1)写出一组能使分式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立的数:$a=$, $b=$, $c=$, $d=$.
(2)在(1)的条件下,计算:$\frac{a+b}{a-b}=$, $\frac{c+d}{c-d}=$.
(3)猜想:$\frac{a+b}{a-b}$和$\frac{c+d}{c-d}(a≠b,c≠d)$之间的关系.
(4)证明(3)中的猜想.

(1) 当$a=2,b=5,c=4,d=10$时,$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立. 答案为2,5,4,0(a,b,c,d的值均不唯一).
(2) 当$a=2,b=5,c=4,d=10$时,$\frac{a+b}{a-b}=-\frac{7}{3}$,$\frac{c+d}{c-d}=-\frac{7}{3}$. 答案为$-\frac{7}{3}$,$-\frac{7}{3}$(答案不唯一,与(1)对应即可).
(3) 猜想:若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,则$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}(a≠b,c≠d)$.
(4) 证明:$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},\therefore ad=bc. \because a≠b,c≠d$,
$\therefore \frac{a+b}{a-b}-\frac{c+d}{c-d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(a-b)(c-d)}-\frac{(a-b)(c+d)}{(a-b)(c-d)}=\frac{ac+bc-ad-bd-ac+bc-ad+bd}{(a-b)(c-d)}=\frac{2bc-2ad}{(a-b)(c-d)}=0,\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$.

2[2025 四川眉山期中]提出问题:当$x＞0$时,如何求代数式$x^2+\dfrac{1}{x^2}$的最大值或最小值?
分析问题:前面我们刚刚学过配方的相关知识,例如$x^2+6x+10=x^2+6x+9+1=(x+3)^2+1$,所以当$x=-3$时,此多项式有最小值1.
解决问题:
(1)实践操作:填写下表.

(2)观察猜想:当$x=$时,$x^2+\dfrac{1}{x^2}(x＞0)$有最值(填“大”或“小”),是.
(3)推理论证:利用配方法求$x^2+\dfrac{1}{x^2}(x＞0)$的最大(或最小)值,以证明你的猜想.
(4)综合应用:求代数式$x^2-6x+\dfrac{1}{(x-3)^2}+10(x＞3)$的最大(或最小)值,并求出此时$x$的值.

(1) 填表如下:
| $x$ | $\dots$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^2+\frac{1}{x^2}$ | $\dots$ | $\frac{82}{9}$ | $\frac{17}{4}$ | $2$ | $\frac{17}{4}$ | $\frac{82}{9}$ | $\dots$ |
(2) 当$x=1$时,$x^2+\frac{1}{x^2}(x＞0)$有最小值,是2. 答案为1,小,2.
(3) $x^2+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}+2=(x-\frac{1}{x})^2+2$.
$\because (x-\frac{1}{x})^2 ≥ 0,\therefore$ 当$x=1$时,$x^2+\frac{1}{x^2}(x＞0)$有最小值,是2.
(4) $x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10(x＞3)$有最小值,是3,此时$x=4$.
易错警示:分式有意义时,只要是分母均不能为零.
关键点拔:(3)(4)构造完全平方式,利用其非负性求解是解题的关键.