(2024·大连甘井子区期中)(1)[特例呈现]数学活动课上,在折叠等腰三角形纸片ABC的过程中,小明发现:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.请利用图1证明这个发现.
已知:如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
求证:DE=DF.
(2)[一般探索]在动手操作探究过程中,小明又发现,对于任意的等腰三角形,若将“D为BC的中点”改为“D为三角形外部一点,满足点D到等腰三角形的两顶点B,C的距离相等”,则同样能得到点D到两腰所在直线的距离相等,如图2所示.请补全已知,并证明.
已知:在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,.
求证:DE=DF.
(3)[问题拓展]小明继续探究:利用已有经验,尝试改变条件和结论位置,提出猜想:对于平面上的一点D,若满足点D到一个三角形的两顶点B,C的距离相等,且点D到边AB,AC所在直线的距离相等,则这个三角形是等腰三角形.小明认为这个猜想一定成立,但他的同学小强认为这个猜想不一定成立,你同意谁的想法?若同意小明的想法,请画图并说明理由;若同意小强的想法,请画出反例.

(1)证明:如图1,连接AD.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
(2)DB=DC
证明:如图2,连接AD,交BC于点M.
∵AB=AC,DB=DC,
∴点A,D在线段BC的垂直平分线上,
∴AD垂直平分BC.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
(3)同意小强同学的说法,图略

【分析】
(1) 要证DE=DF，可联想角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明AD是∠BAC的角平分线即可。已知△ABC是等腰三角形，D是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，连接AD即可得到AD平分∠BAC，进而得出结论。
(2) 题目说明D到B、C两点距离相等，因此补全内容为DB=DC。证明思路与第一问一致：先由AB=AC、DB=DC推出A、D都在BC的垂直平分线上，得AD垂直平分BC，再结合等腰三角形三线合一推出AD平分∠BAC，最后由角平分线的性质证得DE=DF。
(3) 该猜想不成立，当点D同时在∠BAC的角平分线（或外角平分线）和BC的垂直平分线上时，就满足题设的两个条件，但此时△ABC可以不是等腰三角形，因此猜想不一定成立。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接AD。
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
(2) 补全已知：DB=DC
证明：如图2，连接AD，交BC于点M。
∵AB=AC，DB=DC，
∴点A、D都在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴AD垂直平分BC。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
(3) 同意小强的想法，反例：画一个非等腰的△ABC，作BC的垂直平分线，再作∠BAC的角平分线，两线的交点即为满足条件的点D，此时△ABC不是等腰三角形（图略）。
【答案】
(1)证明:如图1,连接AD.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
(2)DB=DC
证明:如图2,连接AD,交BC于点M.
∵AB=AC,DB=DC,
∴点A,D在线段BC的垂直平分线上,
∴AD垂直平分BC.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
(3)同意小强同学的说法,图略
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题从特殊等腰三角形的结论出发，逐步拓展到一般情况和猜想验证，综合考查了三角形相关的核心性质，能有效锻炼逻辑推理能力和探究思辨能力。
【难度系数】
0.65