1 如图,点D在∠AOB的内部,点E在∠AOB的外部,点F在射线OA上,试比较下列各角的大小.
(1) $∠ AOB$ $∠ BOD$;
(2) $∠ AOE$ $∠ AOB$;
(3) $∠ BOD$ $∠ FOB$;
(4) $∠ AOB$ $∠ FOB$;
(5) $∠ DOE$ $∠ BOD$.

1. (1) $＞$ (2) $＞$ (3) $＜$ (4) $=$ (5) $＞$

【分析】
本题考查角的大小比较，可使用叠合法解题：当两个角有公共顶点和一条公共边时，观察另一条边的位置：若另一条边在角的内部，则该角更小；若另一条边在角的外部，则该角更大；若两条边重合，则两个角相等。解题时先找到每组要比较的两个角的公共顶点O和公共边，再判断另一边的位置即可得出大小关系。
【解析】
(1) ∠AOB和∠BOD有公共顶点O、公共边OB，边OD在∠AOB内部，因此∠AOB＞∠BOD；
(2) ∠AOE和∠AOB有公共顶点O、公共边OA，边OB在∠AOE内部，因此∠AOE＞∠AOB；
(3) ∠BOD和∠FOB有公共顶点O、公共边OB，点F在射线OA上，即OF与OA重合，边OD在∠FOB内部，因此∠BOD＜∠FOB；
(4) 点F在射线OA上，因此OF与OA重合，∠AOB和∠FOB的两条边都完全重合，因此∠AOB=∠FOB；
(5) ∠DOE和∠BOD有公共顶点O、公共边OD，边OB在∠DOE内部，因此∠DOE＞∠BOD。
【答案】
(1) $＞$ (2) $＞$ (3) $＜$ (4) $=$ (5) $＞$
【知识点】
角的大小比较、叠合法比较角的大小
【点评】
本题是角的大小比较的基础题型，解题核心是熟练运用叠合法，找准公共顶点和公共边，判断另一边的位置即可快速得到结果，需注意在同一条射线上的边是重合的，对应角相等。
【难度系数】
0.9

2 教材 P174 练习 T3 变式 计算：
(1) $33°16'28'' + 24°46'37''$；
(2) $95°37'21'' - 60°52'40''$。

2. (1) $58°3'5''$ (2) $34°44'41''$

【分析】
度分秒的运算采用六十进制，即1°=60'，1'=60''。进行加法运算时，同单位的数值分别相加，若某一单位的结果满60，就向上一级单位进1；进行减法运算时，同单位的数值分别相减，若某一单位的数值不够减，就向上一级单位借1当60，再进行计算。
【解析】
(1) 计算$33°16'28'' + 24°46'37''$：
先计算秒位：$28''+37''=65''$，$65''=1'5''$，秒位记$5''$，向分位进$1'$；
再计算分位：$16'+46'+1'=63'$，$63'=1°3'$，分位记$3'$，向度位进$1°$；
最后计算度位：$33°+24°+1°=58°$，因此结果为$58°3'5''$。
(2) 计算$95°37'21'' - 60°52'40''$：
秒位$21''＜40''$，向分位借$1'$得$60''$，秒位变为$21''+60''=81''$，$81''-40''=41''$；
此时分位剩余$37'-1'=36'$，$36'＜52'$，向度位借$1°$得$60'$，分位变为$36'+60'=96'$，$96'-52'=44'$；
此时度位剩余$95°-1°=94°$，$94°-60°=34°$，因此结果为$34°44'41''$。
【答案】
(1) $58°3'5''$ (2) $34°44'41''$
【知识点】
度分秒的换算，角的和差运算
【点评】
本题是角度和差运算的基础题，解题核心是掌握度分秒之间的六十进制规则，计算时需注意同单位相加减，进位、借位的换算不要出错。
【难度系数】
0.8

3 如图，在∠AOB的内部有两条射线OC，OD。若∠AOD=∠BOC=58°，∠COD=32°，则∠AOB的度数为（）


A.80°
B.82°
C.84°
D.86°

3. C

【分析】
要求∠AOB的度数，首先观察图形中各角的关系：∠AOD由∠AOC和∠COD组成，∠BOC由∠COD和∠DOB组成，∠AOB由∠AOC、∠COD、∠DOB三部分组成。我们可以先通过∠AOD和∠COD的度数求出∠AOC的度数，再将∠AOC与∠BOC相加得到∠AOB；也可以直接利用和差关系，∠AOB等于∠AOD加∠BOC减去重复计算的∠COD，即可求出结果。
【解析】
方法一：
∵ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD
∴ ∠AOC = ∠AOD - ∠COD = 58° - 32° = 26°
又
∵ ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC
∴ ∠AOB = 26° + 58° = 84°
方法二：
观察角的组成可知，∠AOD和∠BOC相加时，公共部分∠COD被计算了2次，因此：
∠AOB = ∠AOD + ∠BOC - ∠COD = 58° + 58° - 32° = 84°
【答案】
C
【知识点】
角的和差运算、角度计算
【点评】
本题是角的和差运算的基础题型，解题核心是理清图中各角的包含关系，避免对重叠部分的角重复计算，熟练掌握角的和差关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85

4（易错题）已知$∠ AOB = 58°32'$，以$O$为端点作射线$OC$，使$∠ AOC = 42°41'$，则$∠ BOC$的度数为（）

A.$15°51'$
B.$101°13'$
C.$15°51'$或$101°13'$
D.$16°51'$或$101°13'$

4. C
易错分析：对角的位置情况考虑不全致错。

【分析】
本题未明确射线OC的位置，因此需要分两种情况讨论求解：①当射线OC在∠AOB的内部时，∠BOC为∠AOB与∠AOC的差；②当射线OC在∠AOB的外部时，∠BOC为∠AOB与∠AOC的和。计算时注意角度是60进制，分不够减时要借1°换算为60'，分相加满60'要向度进1。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当射线OC在∠AOB内部时：
∠BOC = ∠AOB - ∠AOC
= 58°32' - 42°41'
= 57°92' - 42°41'
= 15°51'
2. 当射线OC在∠AOB外部时：
∠BOC = ∠AOB + ∠AOC
= 58°32' + 42°41'
= 100°73'
= 101°13'
综上，∠BOC的度数为15°51'或101°13'，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角的和差运算；角度单位换算；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易因遗漏射线OC的位置情况导致漏解。当题目中未明确角的相对位置时，一定要考虑所有可能的位置情况分类讨论，同时要熟练掌握角度的60进制换算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.6

5 在数学研究中,观察、猜想、实验验证、得出结论,是我们常用的几何探究方式,请利用一副含有$45°$角的直角三角板ABC和含有$30°$角的直角三角板BDE尝试完成探究.
(1) 若边BA和边BE重合摆成如图①所示的形状,则$∠ CBD=$.
(2) 保持三角板ABC不动,将$45°$角的顶点与三角板BDE的$60°$角的顶点B重合.当BE在$∠ ABC$内部时,如图②,请问$∠ ABE$与$∠ DBC$之间有什么数量关系?请说明理由.并求出$∠ ABE$为多少度时,$∠ CBD=90°$.
(3) 保持三角板ABC不动,将$45°$角的顶点与三角板BDE的$60°$角的顶点B重合,然后绕点B转动三角板BDE,使得$∠ ABD$的度数是$∠ ABE$的度数的2倍,请直接写出$∠ ABE$的度数.

5. (1) $105°$
(2) $∠ ABE + ∠ DBC = 105°$ 理由：因为$∠ ABC=45°$，$∠ EBD = 60°$，所以$∠ ABE + ∠ EBC + ∠ ABD + ∠ ABE = 45°+60°=105°$. 又因为$∠ DBC = ∠ CBE + ∠ ABE + ∠ ABD$，所以$∠ ABE + ∠ DBC = 105°$. 当$∠ CBD = 90°$,即$∠ ABE + 90°=105°$时，$∠ ABE=105°-90°=15°$
(3) 当AB在$∠ EBD$的内部时，$∠ ABE + ∠ ABD = 60°$，因为$∠ ABD$的度数是$∠ ABE$的度数的2倍，所以$∠ ABE=\frac{1}{3}∠ EBD=20°$. 当AB在$∠ EBD$的外部时，因为$∠ ABD$的度数是$∠ ABE$的度数的2倍，所以$∠ ABE = ∠ EBD = 60°$. 综上所述，$∠ ABE$的度数为$20°$或$60°$

【分析】
(1) 观察图①，等腰直角三角板ABC的∠ABC为45°，含30°角的三角板BDE的∠EBD为60°，此时BA与BE重合，∠CBD为两个已知角的和，直接相加即可求解。
(2) 先明确两个三角板的固定角度：∠ABC=45°，∠EBD=60°，将两个角的和展开，结合角的和差关系即可推导∠ABE与∠DBC的数量关系；再把∠CBD=90°代入推导的关系式，即可求出对应∠ABE的度数。
(3) 绕点B转动三角板BDE时，需分两种情况讨论：AB在∠EBD内部、AB在∠EBD外部，结合∠ABD=2∠ABE的条件分别计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由三角板的角度特征可知：∠ABC=45°，∠EBD=60°，图①中BA与BE重合，因此$∠ CBD=∠ ABC+∠ EBD=45°+60°=105°$。
(2) $∠ ABE + ∠ DBC = 105°$，理由如下：
已知$∠ ABC=45°$，$∠ EBD=60°$，因此$∠ ABC+∠ EBD=45°+60°=105°$，即$∠ ABE+∠ EBC+∠ ABD+∠ ABE=105°$。
又因为$∠ DBC=∠ CBE+∠ ABE+∠ ABD$，代入上式可得$∠ ABE+∠ DBC=105°$。
当$∠ CBD=90°$时，代入关系式得$∠ ABE+90°=105°$，解得$∠ ABE=105°-90°=15°$。
(3) 分两种情况计算：
① 当AB在$∠ EBD$的内部时，$∠ ABE+∠ ABD=∠ EBD=60°$，已知$∠ ABD=2∠ ABE$，因此$∠ ABE+2∠ ABE=60°$，即$3∠ ABE=60°$，解得$∠ ABE=20°$；
② 当AB在$∠ EBD$的外部时，结合$∠ ABD=2∠ ABE$的条件，可得$∠ ABE=∠ EBD=60°$，符合题意。
综上，$∠ ABE$的度数为$20°$或$60°$。
【答案】
(1) $\boxed{105°}$
(2) $∠ ABE + ∠ DBC = 105°$，当$∠ CBD=90°$时，$∠ ABE=\boxed{15°}$
(3) $\boxed{20°}$或$\boxed{60°}$
【知识点】
角的和差运算，分类讨论思想，三角板角度计算
【点评】
本题结合常见三角板探究角度关系，重点考查角的和差计算，解题时要结合图形分析角的组成，涉及图形转动的问题需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65