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1 在实验课上,为判断一个平行四边形是否为菱形,琪琪用仪器测量出,最后得到结论:这个平行四边形是菱形.横线处应填(
A.两组对边分别平行
B.一组邻边相等
C.两条对角线相等
D.一组邻角相等
B
)A.两组对边分别平行
B.一组邻边相等
C.两条对角线相等
D.一组邻角相等
答案
1. B
解析
【分析】
本题核心是判断已知的平行四边形是否为菱形，解题时首先明确前提：该图形已经是平行四边形，因此只需结合平行四边形判定为菱形的定理，逐一排查选项即可。首先回忆菱形的判定规则：针对平行四边形，只需满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”即可判定为菱形，再逐个核对选项是否符合该判定规则。
【解析】
已知该图形为平行四边形，逐一分析选项：
A. 两组对边分别平行是平行四边形自带的基本性质，无法判定它是菱形，排除；
B. 根据菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合判定要求，正确；
C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，排除；
D. 平行四边形的邻角本身互补，若一组邻角相等，则这两个角均为90°，此时该平行四边形是矩形，不是菱形，排除。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊平行四边形判定规则的区分，只要熟记各类特殊平行四边形的性质和判定定理，避免混淆不同图形的判定条件，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题核心是判断已知的平行四边形是否为菱形，解题时首先明确前提：该图形已经是平行四边形，因此只需结合平行四边形判定为菱形的定理，逐一排查选项即可。首先回忆菱形的判定规则：针对平行四边形，只需满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”即可判定为菱形，再逐个核对选项是否符合该判定规则。
【解析】
已知该图形为平行四边形，逐一分析选项：
A. 两组对边分别平行是平行四边形自带的基本性质，无法判定它是菱形，排除；
B. 根据菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合判定要求，正确；
C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，排除；
D. 平行四边形的邻角本身互补，若一组邻角相等，则这两个角均为90°，此时该平行四边形是矩形，不是菱形，排除。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊平行四边形判定规则的区分，只要熟记各类特殊平行四边形的性质和判定定理，避免混淆不同图形的判定条件，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2 教材变式题 如图，在菱形ABCD中，AB=BC，∠BAD=120°。若AC=6，则AD=
6
。答案
2. 6
解析
【分析】
解题时先从菱形的性质入手，首先菱形邻角互补，结合已知∠BAD=120°可求出∠B的度数；再结合菱形四边相等的性质，可得AB=BC，由此可判定△ABC是等边三角形，根据等边三角形三边相等可得AB的长度，最后利用菱形对边相等的性质即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AB=BC，∠BAD+∠B=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠B=180°-120°=60°，
又
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB=AC=6，
∴AD=AB=6。
【答案】
6
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定，等边三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是将菱形的性质和等边三角形的判定、性质结合应用，解题的突破口是判断出△ABC为等边三角形，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从菱形的性质入手，首先菱形邻角互补，结合已知∠BAD=120°可求出∠B的度数；再结合菱形四边相等的性质，可得AB=BC，由此可判定△ABC是等边三角形，根据等边三角形三边相等可得AB的长度，最后利用菱形对边相等的性质即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AB=BC，∠BAD+∠B=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠B=180°-120°=60°，
又
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB=AC=6，
∴AD=AB=6。
【答案】
6
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定，等边三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是将菱形的性质和等边三角形的判定、性质结合应用，解题的突破口是判断出△ABC为等边三角形，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3 教材变式题 如图，在菱形ABCD中，连接BD，点E在BD的延长线上，点F在DB的延长线上，连接AE，CF，若$BF=DE$，求证：$AE=CF$.
答案
3. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $\therefore AD = CB, AD // CB$.
$\therefore ∠ ADB = ∠ CBD. \because ∠ ADE + ∠ ADB = 180°, ∠ CBF + ∠ CBD = 180°, \therefore ∠ ADE = ∠ CBF.$ 在 $△ ADE$ 和 $△ CBF$ 中,
$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠ ADE=∠ CBF, \therefore △ ADE≌△ CBF. \therefore AE=CF \\ DE=BF, \end{cases}$
$\therefore ∠ ADB = ∠ CBD. \because ∠ ADE + ∠ ADB = 180°, ∠ CBF + ∠ CBD = 180°, \therefore ∠ ADE = ∠ CBF.$ 在 $△ ADE$ 和 $△ CBF$ 中,
$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠ ADE=∠ CBF, \therefore △ ADE≌△ CBF. \therefore AE=CF \\ DE=BF, \end{cases}$
解析
【分析】
要证明AE=CF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先定位AE、CF分别属于△ADE和△CBF，接下来寻找全等所需的条件：根据菱形的性质可得AD=CB、AD//CB，由平行线的内错角相等得∠ADB=∠CBD，再结合等角的补角相等可推出∠ADE=∠CBF，最后结合已知条件BF=DE，即可用SAS判定△ADE≌△CBF，由全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD = CB$，$AD // CB$，
∴$∠ ADB = ∠ CBD$。
∵$∠ ADE + ∠ ADB = 180°$，$∠ CBF + ∠ CBD = 180°$，
∴$∠ ADE = ∠ CBF$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}AD=CB \\∠ ADE=∠ CBF \\DE=BF\end{cases}$
∴$△ ADE ≌ △ CBF$（SAS），
∴$AE=CF$。
【答案】
$AE=CF$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查证明线段相等的常用方法——证明线段所在三角形全等，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，准确找到全等三角形的判定条件。
【难度系数】
0.8
要证明AE=CF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先定位AE、CF分别属于△ADE和△CBF，接下来寻找全等所需的条件：根据菱形的性质可得AD=CB、AD//CB，由平行线的内错角相等得∠ADB=∠CBD，再结合等角的补角相等可推出∠ADE=∠CBF，最后结合已知条件BF=DE，即可用SAS判定△ADE≌△CBF，由全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD = CB$，$AD // CB$，
∴$∠ ADB = ∠ CBD$。
∵$∠ ADE + ∠ ADB = 180°$，$∠ CBF + ∠ CBD = 180°$，
∴$∠ ADE = ∠ CBF$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}AD=CB \\∠ ADE=∠ CBF \\DE=BF\end{cases}$
∴$△ ADE ≌ △ CBF$（SAS），
∴$AE=CF$。
【答案】
$AE=CF$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查证明线段相等的常用方法——证明线段所在三角形全等，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，准确找到全等三角形的判定条件。
【难度系数】
0.8
4 教材变式题 如图,在矩形$ABCD$中,$∠ A = 90°$,$BE$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$,且$BE = BC$.若$AB=1$,则$BC$的长为 (
A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$
B
)A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先从已知的矩形性质入手，矩形的四个角均为直角且对边平行；再结合角平分线的定义，可推出∠ABE=45°，借助AD与BC平行的内错角相等，可判断出△ABE是等腰直角三角形；接下来利用勾股定理计算出BE的长度，最后根据已知条件BE=BC，即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD//BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC=45°，
∴在Rt△ABE中，∠ABE=∠AEB=45°，
∴AE=AB=1，
由勾股定理可得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
又
∵BE=BC，
∴BC=$\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；等腰直角三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是基础的几何计算题，将矩形性质、角平分线定义和勾股定理相结合考查，解题的突破口是判断出△ABE为等腰直角三角形，掌握相关基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的矩形性质入手，矩形的四个角均为直角且对边平行；再结合角平分线的定义，可推出∠ABE=45°，借助AD与BC平行的内错角相等，可判断出△ABE是等腰直角三角形；接下来利用勾股定理计算出BE的长度，最后根据已知条件BE=BC，即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD//BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC=45°，
∴在Rt△ABE中，∠ABE=∠AEB=45°，
∴AE=AB=1，
由勾股定理可得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
又
∵BE=BC，
∴BC=$\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；等腰直角三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是基础的几何计算题，将矩形性质、角平分线定义和勾股定理相结合考查，解题的突破口是判断出△ABE为等腰直角三角形，掌握相关基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5 如图,在$□ ABCD$中,在不添加任何辅助线的情况下,请添加一个条件:
$AD⊥ AB$
,使$□ ABCD$是矩形.答案
5. 答案不唯一,如 $AD⊥ AB$
解析
【分析】
首先明确已知图形是平行四边形，要使其变为矩形，需回忆平行四边形转化为矩形的判定条件：①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形。结合不添加辅助线的要求，任选一个符合上述判定、无需额外辅助线的条件即可，比如邻边垂直、某个内角为90°、对角线相等均满足要求。
【解析】
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形。若添加条件$AD⊥AB$，可得$∠ DAB=90°$，满足“有一个角是直角的平行四边形”的矩形判定要求，因此$□ ABCD$是矩形。（也可添加$∠ A=90°$、$AC=BD$等其他合理条件）
【答案】
答案不唯一，如 $AD⊥ AB$
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，解题核心是熟练掌握矩形的判定定理，结合已知的平行四边形前提选择合适的条件即可，答案合理均正确。
【难度系数】
0.9
首先明确已知图形是平行四边形，要使其变为矩形，需回忆平行四边形转化为矩形的判定条件：①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形。结合不添加辅助线的要求，任选一个符合上述判定、无需额外辅助线的条件即可，比如邻边垂直、某个内角为90°、对角线相等均满足要求。
【解析】
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形。若添加条件$AD⊥AB$，可得$∠ DAB=90°$，满足“有一个角是直角的平行四边形”的矩形判定要求，因此$□ ABCD$是矩形。（也可添加$∠ A=90°$、$AC=BD$等其他合理条件）
【答案】
答案不唯一，如 $AD⊥ AB$
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，解题核心是熟练掌握矩形的判定定理，结合已知的平行四边形前提选择合适的条件即可，答案合理均正确。
【难度系数】
0.9
6 如图,在矩形ABCD中,∠A=90°,∠AOD=∠BOC,求证:O是边AB的中点.
答案
6. $\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形, $\therefore AD=BC,∠ A=∠ B=90°.$ 在
$△ AOD$ 和 $△ BOC$ 中, $\begin{cases} ∠ A=∠ B, \\ ∠ AOD=∠ BOC, \therefore △ AOD≌△ BOC. \\ AD=BC, \end{cases}$
$\therefore AO=BO. \therefore O$ 是边 $AB$ 的中点
$△ AOD$ 和 $△ BOC$ 中, $\begin{cases} ∠ A=∠ B, \\ ∠ AOD=∠ BOC, \therefore △ AOD≌△ BOC. \\ AD=BC, \end{cases}$
$\therefore AO=BO. \therefore O$ 是边 $AB$ 的中点
解析
【分析】
要证明O是AB的中点，本质是证明AO=BO，可通过证明AO、BO所在的三角形全等来推导。首先利用矩形的性质得到对应边相等、对应角为直角，结合题目给出的角相等的条件，可判定两个三角形全等，再由全等的性质得到对应边相等，即可得出结论。
【解析】
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD=BC，∠A=∠B=90°。
在$△ AOD$和$△ BOC$中：
$\begin{cases}∠A=∠B \\∠AOD=∠BOC \\AD=BC\end{cases}$
∴ $△ AOD ≌ △ BOC$（AAS），
∴ AO=BO，即O是边AB的中点。
【答案】
∵ 四边形ABCD为矩形, $\therefore AD=BC,∠ A=∠ B=90°.$ 在$△ AOD$ 和 $△ BOC$ 中, $\begin{cases} ∠ A=∠ B, \\ ∠ AOD=∠ BOC, \\ AD=BC, \end{cases}$$\therefore △ AOD≌△ BOC.$$\therefore AO=BO. \therefore O$ 是边 $AB$ 的中点
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是明确求证目标，熟练掌握矩形的边角性质，结合已知条件找到全等三角形的判定依据，通过全等转化得到线段相等关系即可得证。
【难度系数】
0.8
要证明O是AB的中点，本质是证明AO=BO，可通过证明AO、BO所在的三角形全等来推导。首先利用矩形的性质得到对应边相等、对应角为直角，结合题目给出的角相等的条件，可判定两个三角形全等，再由全等的性质得到对应边相等，即可得出结论。
【解析】
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD=BC，∠A=∠B=90°。
在$△ AOD$和$△ BOC$中：
$\begin{cases}∠A=∠B \\∠AOD=∠BOC \\AD=BC\end{cases}$
∴ $△ AOD ≌ △ BOC$（AAS），
∴ AO=BO，即O是边AB的中点。
【答案】
∵ 四边形ABCD为矩形, $\therefore AD=BC,∠ A=∠ B=90°.$ 在$△ AOD$ 和 $△ BOC$ 中, $\begin{cases} ∠ A=∠ B, \\ ∠ AOD=∠ BOC, \\ AD=BC, \end{cases}$$\therefore △ AOD≌△ BOC.$$\therefore AO=BO. \therefore O$ 是边 $AB$ 的中点
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是明确求证目标，熟练掌握矩形的边角性质，结合已知条件找到全等三角形的判定依据，通过全等转化得到线段相等关系即可得证。
【难度系数】
0.8
7 新考向 条件开放题 如图，在矩形ABCD中，要使矩形ABCD成为正方形，应添加的一个条件是
$AB=BC$
。答案
7. 答案不唯一,如 $AB=BC$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确矩形和正方形的关联：矩形是四个内角均为直角的平行四边形，正方形是特殊的矩形，只需在矩形的基础上额外满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件即可。我们可以结合正方形的判定定理，直接写出符合要求的条件，答案不唯一，只要符合判定规则均正确。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形，根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形，可添加一组邻边相等的条件，例如$AB=BC$；也可依据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，添加$AC⊥ BD$等条件，任选其一即可。
【答案】
答案不唯一,如 $AB=BC$
【知识点】
正方形的判定；矩形的性质
【点评】
本题属于条件开放类题目，考查矩形与正方形的判定关联，解题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，所写条件符合要求即可。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需明确矩形和正方形的关联：矩形是四个内角均为直角的平行四边形，正方形是特殊的矩形，只需在矩形的基础上额外满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件即可。我们可以结合正方形的判定定理，直接写出符合要求的条件，答案不唯一，只要符合判定规则均正确。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形，根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形，可添加一组邻边相等的条件，例如$AB=BC$；也可依据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，添加$AC⊥ BD$等条件，任选其一即可。
【答案】
答案不唯一,如 $AB=BC$
【知识点】
正方形的判定；矩形的性质
【点评】
本题属于条件开放类题目，考查矩形与正方形的判定关联，解题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，所写条件符合要求即可。
【难度系数】
0.9
8 如图,在正方形ABCD中,E是线段BC上的一点(不与点B重合),连接AE,过点E作EN⊥AE,过点N作NM⊥BC,交BC的延长线于点M,BE=MN,求证:AE=EN.
答案
8. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore ∠ B=90°. \therefore ∠ BAE + ∠ AEB = 90°. \because EN ⊥ AE, \therefore ∠ AEB + ∠ MEN = 90°.$
$\therefore ∠ BAE = ∠ MEN. \because NM ⊥ BC, \therefore ∠ M = 90° = ∠ B.$ 又 $\because BE=MN, \therefore △ ABE≌△ EMN. \therefore AE=EN$
$\therefore ∠ BAE = ∠ MEN. \because NM ⊥ BC, \therefore ∠ M = 90° = ∠ B.$ 又 $\because BE=MN, \therefore △ ABE≌△ EMN. \therefore AE=EN$
解析
【分析】
要证明AE=EN，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现，目标为证明△ABE≌△EMN。首先由正方形的性质可得∠B为直角，结合直角三角形两锐角互余，可得∠BAE与∠AEB互余；再根据AE⊥EN，可得∠AEB与∠MEN互余，利用同角的余角相等即可推出∠BAE=∠MEN；结合NM⊥BC可得∠M=∠B=90°，再搭配已知条件BE=MN，即可通过ASA判定两个三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B=90°，
∴ ∠BAE + ∠AEB = 90°。
∵ EN⊥AE，
∴ ∠AEN=90°，
∴ ∠AEB + ∠MEN = 90°，
∴ ∠BAE = ∠MEN。
∵ NM⊥BC，
∴ ∠M = 90° = ∠B。
在△ABE和△EMN中：
$\begin{cases}∠B=∠M \\BE=MN \\∠BAE=∠MEN\end{cases}$
∴ △ABE≌△EMN（ASA），
∴ AE=EN。
【答案】
AE=EN
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；余角的性质
【点评】
本题是基础的几何证明题型，核心考查利用三角形全等证明线段相等的常用思路，解题的关键是结合垂直关系推导相等的角，找到全等的判定条件，能够帮助学生巩固特殊平行四边形和三角形全等的相关知识。
【难度系数】
0.7
要证明AE=EN，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现，目标为证明△ABE≌△EMN。首先由正方形的性质可得∠B为直角，结合直角三角形两锐角互余，可得∠BAE与∠AEB互余；再根据AE⊥EN，可得∠AEB与∠MEN互余，利用同角的余角相等即可推出∠BAE=∠MEN；结合NM⊥BC可得∠M=∠B=90°，再搭配已知条件BE=MN，即可通过ASA判定两个三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B=90°，
∴ ∠BAE + ∠AEB = 90°。
∵ EN⊥AE，
∴ ∠AEN=90°，
∴ ∠AEB + ∠MEN = 90°，
∴ ∠BAE = ∠MEN。
∵ NM⊥BC，
∴ ∠M = 90° = ∠B。
在△ABE和△EMN中：
$\begin{cases}∠B=∠M \\BE=MN \\∠BAE=∠MEN\end{cases}$
∴ △ABE≌△EMN（ASA），
∴ AE=EN。
【答案】
AE=EN
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；余角的性质
【点评】
本题是基础的几何证明题型，核心考查利用三角形全等证明线段相等的常用思路，解题的关键是结合垂直关系推导相等的角，找到全等的判定条件，能够帮助学生巩固特殊平行四边形和三角形全等的相关知识。
【难度系数】
0.7
