7. 如图2-1-1-1-7,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC + BC =14$,$S_{△ ABC}=24$,则$AC^2 + BC^2$的值是多少？

7.解:在Rt△ABC中,
因为$S_{△ ABC}=24$,
所以$\frac{1}{2}AC · BC = 24$,
所以$2AC · BC = 96$。
因为$AC + BC = 14$,
所以$AC^2 + BC^2 = (AC + BC)^2 - 2AC · BC$
$=14^2 - 96 = 100$。

1. 探索发现
例1 你能用两种方法表示图2-1-1-2-1中大正方形的面积吗？

图2-1-1-2-1
方法一：$S_{大正方形} = \underline{a^2 + 2ab + b^2}$。
方法二：$S_{大正方形} = \underline{2ab + c^2}$。

解：
方法一：大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
方法二：大正方形的面积等于4个全等直角三角形与中间边长为$c$的小正方形的面积之和，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，因此：
$S_{\mathrm{大正方形}}=4×\frac{1}{2}ab + c^2=2ab + c^2$

例2 作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，再作三个边长分别为a,b,c的正方形，将它们像图2-1-1-2-2所示拼成两个大正方形。
证明：$a^2 + b^2 = c^2$。

图2-1-1-2-2
解析：从整体上看，这两个大正方形的边长都是$a + b$，因此它们的面积相等。我们再用不同的方法来表示这两个大正方形的面积，即可证明勾股定理。
证明：由图易知，这两个大正方形的边长都是$a + b$，所以它们的面积相等。左边的大正方形面积可表示为$a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab × 4$，右边的大正方形面积可表示为$c^2 + \frac{1}{2}ab × 4$。因为$a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab × 4 = c^2 + \frac{1}{2}ab × 4$，所以$a^2 + b^2 = c^2$。
方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理。

证明：
由图可知，两个大正方形的边长均为$a+b$，因此两个大正方形的面积相等。
左边大正方形的面积可表示为：$a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab × 4$
右边大正方形的面积可表示为：$c^2 + \frac{1}{2}ab × 4$
因此可得等式：
$a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab × 4 = c^2 + \frac{1}{2}ab × 4$
等式两边同时减去$\frac{1}{2}ab × 4$，化简得：
$a^2 + b^2 = c^2$