12. (10 分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2x + 2m - 1 = 0 $，其中 $ m $ 为常数.
(1)若 $ x=2 $ 是方程的一个根，求 $ m $ 的值.
(2)若 $ m=-1 $，求该方程的根.
(3)若方程有实数根，且 $ m $ 为正整数，求 $ m $ 的值及此时方程的根.

(1)解：把$x = 2$代入方程$x^2 - 2x + 2m - 1 = 0，$得 $\begin{aligned}2^2-2\times2 + 2m - 1&=0\\4-4+2m - 1&=0\\2m&=1\\m&=\frac{1}{2}\end{aligned}$ (2)解：当$m=-1$时，原方程为$x^2 - 2x - 3 = 0，$ $\begin{aligned}\because x^2 - 2x - 3&=0\\\therefore(x - 3)(x + 1)&=0\end{aligned}$ 则$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0，$ 解得$x_1 = 3，$$x_2=-1。$ (3)解：$\because$方程有实数根， $\begin{aligned}\therefore\Delta&=b^2 - 4ac\\&=(-2)^2-4(2m - 1)\\&=4-8m + 4\\&=8 - 8m\geq0\end{aligned}$ 解得$m\leq1，$ $\because m$为正整数，$\therefore m = 1，$ 原方程为$x^2 - 2x + 1 = 0，$即$(x - 1)^2 = 0，$ 解得$x_1 = x_2 = 1。$

13. (10 分)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m+1)x + m^2 + 2 = 0 $ 有实数根.
(1)求 $ m $ 的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为 $ x_1 $、$ x_2 $，且 $ \frac{1}{|x_1|} + \frac{1}{|x_2|} = \frac{1}{2} $，求 $ m $ 的值.

(1)解：$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2-(2m + 1)x + m^2 + 2 = 0$有实数根， $\begin{aligned}\therefore\Delta&=b^2 - 4ac\\&=[-(2m + 1)]^2-4(m^2 + 2)\\&=4m^2+4m + 1-4m^2-8\\&=4m - 7\geq0\end{aligned}$ 解得$m\geq\frac{7}{4}。$ (2)解：$\because$该方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2，$ $\therefore x_1 + x_2 = 2m + 1，$$x_1x_2 = m^2 + 2。$ $\begin{aligned}\because\frac{1}{|x_1|}+\frac{1}{|x_2|}&=\frac{1}{2}\\\therefore\frac{|x_1|+|x_2|}{|x_1x_2|}&=\frac{1}{2}\end{aligned}$ $\because x_1x_2 = m^2 + 2＞0，$$\therefore x_1$、$x_2$同号， $\therefore\frac{|x_1 + x_2|}{x_1x_2}=\frac{1}{2}，$即$\frac{|2m + 1|}{m^2 + 2}=\frac{1}{2}。$ 当$2m + 1\geq0，$即$m\geq-\frac{1}{2}$时，$\frac{2m + 1}{m^2 + 2}=\frac{1}{2}，$ $\begin{aligned}2(2m + 1)&=m^2 + 2\\4m + 2&=m^2 + 2\\m^2-4m&=0\\m(m - 4)&=0\end{aligned}$ 解得$m = 0$或$m = 4，$又$m\geq\frac{7}{4}，$所以$m = 4；$ 当$2m + 1＜0，$即$m＜-\frac{1}{2}$时，$\frac{-(2m + 1)}{m^2 + 2}=\frac{1}{2}，$ $\begin{aligned}-2(2m + 1)&=m^2 + 2\\-4m - 2&=m^2 + 2\\m^2+4m + 4&=0\\(m + 2)^2&=0\end{aligned}$ 解得$m=-2，$不满足$m\geq\frac{7}{4}，$舍去。 综上，$m = 4。$

14. (10 分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0 $.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)若 $ △ ABC $ 的两边 $ AB $、$ AC $ 的长是方程的两个实数根,第三边 $ BC $ 的长为 4,当 $ △ ABC $ 是等腰三角形时,求 $ k $ 的值.

(1)证明：对于方程$x^2-(2k + 1)x + k^2 + k = 0，$其中$a = 1，$$b=-(2k + 1)，$$c = k^2 + k。$ $\begin{aligned}\Delta&=b^2 - 4ac\\&=[-(2k + 1)]^2-4\times1\times(k^2 + k)\\&=4k^2+4k + 1-4k^2-4k\\&=1＞0\end{aligned}$ 所以方程有两个不相等的实数根。
(2)解：
$\begin{aligned}\because x^2-(2k + 1)x + k^2 + k&=0\\\therefore(x - k)[x-(k + 1)]&=0\end{aligned}$ 则$x - k = 0$或$x-(k + 1)=0，$ 解得$x_1 = k，$$x_2 = k + 1，$即$AB$、$AC$的长分别为$k$、$k + 1。$ 当$AB = BC$时，即$k = 4，$此时$AB = 4，$$AC=4 + 1 = 5，$满足三角形构成条件； 当$AC = BC$时，$k + 1 = 4，$解得$k = 3，$此时$AB = 3，$$AC = 4，$满足三角形构成条件。 综上所述，$k$的值为$3$或$4。$