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5. 用适当的方法解下列方程：
(1)$x(x+1)-5x=0$；
(2)$7x=4x^2+2$；
(3)$(2x+1)^2=9(x-3)^2$；
(4)$(x+1)^2=4x$；
(5)$x(x+2)=8$；
(6)$(x-5)^2+8(x-5)+16=0$；
(7)$x(x+1)=2(x+3)$；
(8)$(1-3y)^2+2(3y-1)=0$。
(1)$x(x+1)-5x=0$；
(2)$7x=4x^2+2$；
(3)$(2x+1)^2=9(x-3)^2$；
(4)$(x+1)^2=4x$；
(5)$x(x+2)=8$；
(6)$(x-5)^2+8(x-5)+16=0$；
(7)$x(x+1)=2(x+3)$；
(8)$(1-3y)^2+2(3y-1)=0$。
答案
解：
$\begin{aligned}x(x + 1)-5x&=0\\x^2+x - 5x&=0\\x^2-4x&=0\\x(x - 4)&=0\end{aligned}$ 则$x = 0$或$x - 4 = 0，$解得$x_1 = 0,x_2 = 4。$ ; 解：
将方程$7x = 4x^2+2$化为一般形式$4x^2-7x + 2 = 0，$其中$a = 4，$$b=-7，$$c = 2。$ $\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\times4\times2=49 - 32 = 17。$ $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{8}$ 所以$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{8},x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{8}。$ ; 解：
$\begin{aligned}(x + 1)^2&=4x\\x^2+2x + 1&=4x\\x^2-2x + 1&=0\\(x - 1)^2&=0\end{aligned}$ 解得$x_1=x_2 = 1。$ ; 解：
$\begin{aligned}x(x + 2)&=8\\x^2+2x - 8&=0\\(x + 4)(x - 2)&=0\end{aligned}$ 则$x + 4 = 0$或$x - 2 = 0，$解得$x_1=-4,x_2 = 2。$ ; $ 解： $$ (x - 5)^2+8(x - 5)+16=0$
$[(x - 5)+4]^2=0$
$(x - 1)^2=0$ 解得$x_1=x_2 = 1。$ ; 解：
$\begin{aligned}x(x + 1)&=2(x + 3)\\x^2+x&=2x + 6\\x^2-x - 6&=0\\(x - 3)(x + 2)&=0\end{aligned}$ 则$x - 3 = 0$或$x + 2 = 0，$解得$x_1 = 3,x_2=-2。$ ; 解：
$\begin{aligned}(1 - 3y)^2+2(3y - 1)&=0\\(1 - 3y)^2-2(1 - 3y)&=0\\(1 - 3y)(1 - 3y-2)&=0\\(1 - 3y)(-1 - 3y)&=0\end{aligned}$ 则$1 - 3y = 0$或$-1 - 3y = 0，$解得$y_1=\frac{1}{3},y_2=-\frac{1}{3}。$ ; $解:[(2x+1)-3(x-3)][(2x+1)+3(x-3)]=0$$\ \ \ \ \ \ (-x+10)(5x-8)=0$$\ x_{1}=10,x_{2}=\frac {8}{5}$
$\begin{aligned}x(x + 1)-5x&=0\\x^2+x - 5x&=0\\x^2-4x&=0\\x(x - 4)&=0\end{aligned}$ 则$x = 0$或$x - 4 = 0，$解得$x_1 = 0,x_2 = 4。$ ; 解：
将方程$7x = 4x^2+2$化为一般形式$4x^2-7x + 2 = 0，$其中$a = 4，$$b=-7，$$c = 2。$ $\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\times4\times2=49 - 32 = 17。$ $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{8}$ 所以$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{8},x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{8}。$ ; 解：
$\begin{aligned}(x + 1)^2&=4x\\x^2+2x + 1&=4x\\x^2-2x + 1&=0\\(x - 1)^2&=0\end{aligned}$ 解得$x_1=x_2 = 1。$ ; 解：
$\begin{aligned}x(x + 2)&=8\\x^2+2x - 8&=0\\(x + 4)(x - 2)&=0\end{aligned}$ 则$x + 4 = 0$或$x - 2 = 0，$解得$x_1=-4,x_2 = 2。$ ; $ 解： $$ (x - 5)^2+8(x - 5)+16=0$
$[(x - 5)+4]^2=0$
$(x - 1)^2=0$ 解得$x_1=x_2 = 1。$ ; 解：
$\begin{aligned}x(x + 1)&=2(x + 3)\\x^2+x&=2x + 6\\x^2-x - 6&=0\\(x - 3)(x + 2)&=0\end{aligned}$ 则$x - 3 = 0$或$x + 2 = 0，$解得$x_1 = 3,x_2=-2。$ ; 解：
$\begin{aligned}(1 - 3y)^2+2(3y - 1)&=0\\(1 - 3y)^2-2(1 - 3y)&=0\\(1 - 3y)(1 - 3y-2)&=0\\(1 - 3y)(-1 - 3y)&=0\end{aligned}$ 则$1 - 3y = 0$或$-1 - 3y = 0，$解得$y_1=\frac{1}{3},y_2=-\frac{1}{3}。$ ; $解:[(2x+1)-3(x-3)][(2x+1)+3(x-3)]=0$$\ \ \ \ \ \ (-x+10)(5x-8)=0$$\ x_{1}=10,x_{2}=\frac {8}{5}$
6. 已知$△ ABC$的两边$AB$、$AC$的长分别是关于$x$的方程$x^2 - (2k + 3)x + k^2 + 3k + 2 = 0$的两个实数根，第三边$BC$的长为5.
(1)当$k$为何值时，$△ ABC$是直角三角形？
(2)当$k$为何值时，$△ ABC$是等腰三角形？并求出此时$△ ABC$的周长.
(1)当$k$为何值时，$△ ABC$是直角三角形？
(2)当$k$为何值时，$△ ABC$是等腰三角形？并求出此时$△ ABC$的周长.
答案
解: (1)
因为$x^2-(2k + 3)x + k^2+3k + 2=(x - k - 1)(x - k - 2)=0，$所以$x_1=k + 1,x_2=k + 2。$ 因为$\triangle ABC$是直角三角形，分两种情况： ①当$BC$为斜边时，$(k + 1)^2+(k + 2)^2=25，$ $\begin{aligned}k^2+2k + 1+k^2+4k + 4&=25\\2k^2+6k-20&=0\\k^2+3k - 10&=0\\(k + 5)(k - 2)&=0\end{aligned}$ 解得$k_1=-5，$$k_2 = 2，$当$k=-5$时，$x_1=-4，$边长不能为负舍去$k=-5。$ ②当$k + 2$为斜边时，$(k + 1)^2+25=(k + 2)^2，$ $\begin{aligned}k^2+2k + 1+25&=k^2+4k + 4\\2k&=22\\k&=11\end{aligned}$ 所以当$k$的值为$2$或$11$时，$\triangle ABC$是直角三角形。 (2)
因为$\triangle ABC$是等腰三角形，所以$AB = BC$或$AC = BC，$即$k + 1 = 5$或$k + 2 = 5。$ 当$k + 1 = 5$时，$k = 4，$此时$x_1 = 5,x_2 = 6，$$\triangle ABC$的周长为$5 + 5+6 = 16；$ 当$k + 2 = 5$时，$k = 3，$此时$x_1 = 4,x_2 = 5，$$\triangle ABC$的周长为$4 + 5+5 = 14。$ 综上所述，当$k = 4$时，$\triangle ABC$是等腰三角形，周长为$16；$当$k = 3$时，$\triangle ABC$是等腰三角形，周长为$14。$
因为$x^2-(2k + 3)x + k^2+3k + 2=(x - k - 1)(x - k - 2)=0，$所以$x_1=k + 1,x_2=k + 2。$ 因为$\triangle ABC$是直角三角形，分两种情况： ①当$BC$为斜边时，$(k + 1)^2+(k + 2)^2=25，$ $\begin{aligned}k^2+2k + 1+k^2+4k + 4&=25\\2k^2+6k-20&=0\\k^2+3k - 10&=0\\(k + 5)(k - 2)&=0\end{aligned}$ 解得$k_1=-5，$$k_2 = 2，$当$k=-5$时，$x_1=-4，$边长不能为负舍去$k=-5。$ ②当$k + 2$为斜边时，$(k + 1)^2+25=(k + 2)^2，$ $\begin{aligned}k^2+2k + 1+25&=k^2+4k + 4\\2k&=22\\k&=11\end{aligned}$ 所以当$k$的值为$2$或$11$时，$\triangle ABC$是直角三角形。 (2)
因为$\triangle ABC$是等腰三角形，所以$AB = BC$或$AC = BC，$即$k + 1 = 5$或$k + 2 = 5。$ 当$k + 1 = 5$时，$k = 4，$此时$x_1 = 5,x_2 = 6，$$\triangle ABC$的周长为$5 + 5+6 = 16；$ 当$k + 2 = 5$时，$k = 3，$此时$x_1 = 4,x_2 = 5，$$\triangle ABC$的周长为$4 + 5+5 = 14。$ 综上所述，当$k = 4$时，$\triangle ABC$是等腰三角形，周长为$16；$当$k = 3$时，$\triangle ABC$是等腰三角形，周长为$14。$
