7. 如图，AB⊥CD，且AB=CD，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F。若CE=6，BF=3，EF=2，则AD的长为().

A.7
B.6
C.5
D.4

A

【分析】
首先根据已知的垂直关系，利用同角的余角相等推出∠A=∠C，结合CE、BF都垂直AD得到两个直角相等，再加上已知AB=CD，可通过AAS证明△ABF与△CDE全等，得到对应边AF=CE、DE=BF，最后根据线段的和差关系，结合EF的长度即可求出AD的长。
【解析】
解：
∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠C + ∠D = 90°，∠A + ∠D = 90°，
∴∠A = ∠C（同角的余角相等）。
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB = ∠CED = 90°。
在△ABF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB = ∠CED \\∠A = ∠C \\AB = CD\end{array} $
∴△ABF ≌ △CDE（AAS），
∴AF = CE = 6，DE = BF = 3。
∵AF = AE + EF，DE = EF + FD，
∴AF + DE = (AE + EF + FD) + EF = AD + EF，
∴AD = AF + DE - EF = 6 + 3 - 2 = 7。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是全等三角形的典型应用，解题的核心是通过角的互余关系找到全等所需的等角条件，证明三角形全等后利用对应边相等转化线段长度，计算时要注意AF和DE有重叠的EF部分，需减去重复计算的长度才能得到AD的正确值。
【难度系数】
0.7

8. 小云不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有①②③④的四块),你认为应该带哪一块去商店才能配一块与原来一样大小的三角形玻璃?应该带第块去.

解：根据全等三角形的“角边角(ASA)”判定定理，第②块保留了原三角形的两个完整内角，以及这两个内角所夹的完整边，能够唯一确定与原三角形全等的三角形，其余三块均不满足ASA的条件，无法还原出和原三角形大小一致的三角形。
②

【分析】
要配出和原三角形完全一样的玻璃，本质是构造一个和原三角形全等的三角形，因此需要结合全等三角形的判定定理分析每块玻璃保留的原三角形的要素：首先回忆全等三角形的判定方法，其中角边角（ASA）定理指出，只要知道三角形的两个角以及它们的夹边，就能唯一确定这个三角形的形状和大小。接下来逐一分析四块玻璃：①、③、④三块要么仅保留了原三角形的部分边或单个角，没有同时保留两个完整的角和夹边，无法满足全等判定的条件；只有第②块同时保留了原三角形的两个完整内角，以及这两个角所夹的完整边，刚好符合ASA的判定要求，所以带②去就能配出相同的玻璃。
【解析】
配与原来大小一样的三角形玻璃，需要得到与原三角形全等的三角形，根据全等三角形的“角边角（ASA）”判定定理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
对四块玻璃逐一分析：
1. 第①、③、④块：均没有同时保留原三角形的两个完整内角以及对应的完整夹边，无法满足全等三角形的判定条件，不能配出和原三角形一致的玻璃；
2. 第②块：保留了原三角形的两个完整内角，以及这两个内角所夹的完整边，符合ASA判定条件，可以唯一确定与原三角形全等的三角形。
因此应该带第②块去。
【答案】
②
【知识点】
全等三角形的判定、角边角（ASA）定理
【点评】
本题结合生活实际考查全等三角形判定的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，找到能确定三角形形状和大小的对应条件即可。
【难度系数】
0.8

9.如图,点D在BC上,AB=AD,∠C=∠E,∠BAD=∠CAE.若∠1+∠2=108°,则∠B的度数是.

$\boldsymbol{72°}$

【分析】
解题时首先从已知的等角∠BAD=∠CAE入手，给两个角同时加上公共角∠DAC，可推导出△ABC和△ADE的一组对应角∠BAC=∠DAE；再结合已知的AB=AD、∠C=∠E，可通过AAS判定两个三角形全等，得到对应角∠B=∠ADE；最后利用平角的性质，结合∠1+∠2=108°即可求出∠ADE的度数，也就是∠B的度数。
【解析】
解：
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠E \\∠BAC=∠DAE \\AB=AD\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴∠B=∠ADE。
∵点D在BC上，∠2+∠ADE+∠1=180°（平角的定义），
又
∵∠1+∠2=108°，
∴∠ADE=180°-(∠1+∠2)=180°-108°=72°，
∴∠B=∠ADE=72°。
【答案】
$\boldsymbol{72°}$
【知识点】
AAS判定三角形全等；全等三角形的性质；平角的性质
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合题，解题核心是通过角的和差关系得到相等的对应角，进而证明三角形全等，将待求角转化为可利用已知条件计算的角，是几何基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7

10. 如图,点C在BD上,AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D,AC⊥CE于点C,AB=CD.求证:△ABC≌△CDE.

证明：
∵ AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴ ∠B = ∠D = ∠ACE = 90°，
∴ ∠A + ∠ACB = 90°，∠ECD + ∠ACB = 180° - ∠ACE = 90°，
∴ ∠A = ∠ECD。
在△ABC和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠ECD, \\AB = CD, \\∠B = ∠D,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CDE（ASA）。

【分析】
要证明△ABC≌△CDE，首先梳理已知条件：已知AB=CD，由AB⊥BD、ED⊥BD可直接得到∠B=∠D=90°，此时已有一组对应边相等、一组对应角相等，只需再证明一组对应角相等即可满足全等判定条件。结合AC⊥CE的条件可得∠ACE=90°，由此推出∠ACB与∠ECD互余，同时在Rt△ABC中∠A与∠ACB互余，根据同角的余角相等就能得到∠A=∠ECD，刚好满足ASA的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴ ∠B = ∠D = ∠ACE = 90°，
∴ ∠A + ∠ACB = 90°，∠ECD + ∠ACB = 180° - ∠ACE = 90°，
∴ ∠A = ∠ECD。
在△ABC和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠ECD, \\AB = CD, \\∠B = ∠D,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CDE（ASA）。
【答案】
证明：
∵ AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴ ∠B = ∠D = ∠ACE = 90°，
∴ ∠A + ∠ACB = 90°，∠ECD + ∠ACB = 180° - ∠ACE = 90°，
∴ ∠A = ∠ECD。
在△ABC和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠ECD, \\AB = CD, \\∠B = ∠D,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CDE（ASA）。
【知识点】
1. 垂直的定义
2. 同角的余角相等
3. ASA判定三角形全等
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是从多个垂直条件中推导得到相等的对应角，结合已知的相等边，选用合适的全等判定定理完成证明，能有效巩固全等判定的相关知识。
【难度系数】
0.8

11. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠1=∠2,AD=EC.
(1)求证:△ABD≌△EDC;
(2)若AB=2,BE=3,求CD的长.

证明：
∵ AB//CD，
∴ ∠ABD = ∠EDC。
在△ABD和△EDC中，
$\{\begin{array}{l}∠1 = ∠2 \\∠ABD = ∠EDC \\AD = EC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △EDC（AAS）。
解：
∵ △ABD ≌ △EDC，
∴ AB = ED = 2，BD = CD。
∵ BD = DE + BE，AB=2，BE=3，
∴ BD = 2 + 3 = 5，
∴ CD = 5。
答：CD的长为5。

【分析】
(1) 要证明△ABD≌△EDC，先梳理已知条件：已有∠1=∠2、AD=EC两组相等的量，还缺一组相等的角或边。结合AB//CD的条件，根据平行线的内错角相等，可得到∠ABD=∠EDC，刚好满足AAS全等判定的三个条件，即可完成证明。
(2) 求CD的长可利用全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，可得ED=AB、BD=CD，而BD=DE+BE，代入已知线段长度即可算出CD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//CD，
∴ ∠ABD = ∠EDC（两直线平行，内错角相等）。
在△ABD和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}∠1 = ∠2 \\∠ABD = ∠EDC \\AD = EC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △EDC（AAS）。
(2) 解：
∵ △ABD ≌ △EDC，
∴ AB = ED = 2，BD = CD（全等三角形对应边相等）。
∵ BD = DE + BE，已知AB=2，BE=3，
∴ BD = 2 + 3 = 5，
∴ CD = BD = 5。
【答案】
(1) △ABD≌△EDC得证；(2) CD的长为5。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础常考题，解题的关键是先利用平行线的性质得到相等的角，结合已知条件证明三角形全等，再借助全等三角形对应边相等的性质求解线段长度，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.7

12. (模型观念)如图，$∠ BCA = ∠ α$，$CA = CB$，$C$，$E$，$F$分别是直线$CD$上的三点，且$∠ BEC = ∠ CFA = ∠ α$，请提出对$EF$，$BE$，$AF$三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明.

猜想：$EF = BE + AF$。
证明：
∵ $∠BCA = ∠α$，
∴ $∠BCE + ∠ACF = 180° - ∠α$。
又∵ 在$△ BEC$中，$∠BEC = ∠α$，
∴ $∠EBC + ∠BCE = 180° - ∠α$，
∴ $∠EBC = ∠ACF$。
在$△ BEC$和$△ CFA$中，
$\begin{cases}∠BEC = ∠CFA \\∠EBC = ∠ACF \\CB = AC\end{cases}$
∴ $△ BEC ≌ △ CFA$（AAS）。
∴ $BE = CF$，$EC = AF$。
∵ $EF = EC + CF$，
∴ $EF = BE + AF$。

【分析】
要探究EF、BE、AF的数量关系，可结合已知条件优先考虑证明三角形全等，通过全等三角形对应边相等转化线段关系：①首先利用已知的等角和三角形内角和定理，推导得到一组相等的对应角；②结合已知的∠BEC=∠CFA、CB=AC，用AAS证明△BEC和△CFA全等；③根据全等性质得到对应边相等，再结合线段EF的和差组成，替换对应边即可得到三条线段的数量关系。
【解析】
猜想：$\boldsymbol{EF = BE + AF}$，证明如下：
∵ $∠ BCA = ∠ α$，
∴ $∠ BCE + ∠ ACF = 180° - ∠ α$。
又
∵ 在$△ BEC$中，$∠ BEC = ∠ α$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ EBC + ∠ BCE = 180° - ∠ α$，
∴ $∠ EBC = ∠ ACF$。
在$△ BEC$和$△ CFA$中：
$\begin{cases}∠ BEC = ∠ CFA \\∠ EBC = ∠ ACF \\CB = AC\end{cases}$
∴ $△ BEC ≌ △ CFA$（AAS）。
由全等三角形对应边相等可得：$BE = CF$，$EC = AF$。
∵ $EF = EC + CF$，
将$EC=AF$、$CF=BE$代入得：$EF = BE + AF$。
【答案】
$EF=BE+AF$
【知识点】
AAS判定全等、全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是“一线三等角”全等模型的典型基础题，通过角的等量代换得到全等判定的条件，再借助全等性质转化线段得到和差关系，侧重考察几何模型认知和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65