1. (2025 益阳期中)如图,在等腰$△ ABC$中, $AB=AC$, $∠ A=130°$, 则$∠ B$的度数为 ()

A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

1. B

【分析】
首先结合题目已知条件，△ABC为等腰三角形且AB=AC，根据等腰三角形的性质可得到两个底角∠B和∠C相等；再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠A的度数，先计算出两个底角的度数和，再除以2即可求出∠B的度数。
【解析】
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得：∠B=∠C。
又
∵三角形内角和为180°，∠A=130°，
∴$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-130°)÷2=25°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和定理直接计算即可，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,下列结论不正确的是 （）

A.$∠ B=∠ C$
B.$AD\bot BC$
C.$AD$平分$∠ BAC$
D.$AB=2BC$

2. D

【分析】
解题时先明确题目给出的条件：△ABC是等腰三角形，AB=AC，D是BC中点，结合等腰三角形的性质逐个分析选项：首先根据“等边对等角”可判断底角的关系；再根据等腰三角形“三线合一”（底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合）判断AD的性质；最后判断D选项的边长关系是否有依据，选出错误结论即可。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠B、∠C是等腰三角形的两个底角。
根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠B=∠C，故A选项正确，不符合题意。
∵ D是BC的中点，
∴ AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，且AD平分∠BAC，故B、C选项均正确，不符合题意。
对于D选项，题干仅给出AB=AC，无任何条件能证明AB=2BC，腰长与底边不存在固定的2倍数量关系，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形等边对等角；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是基础类题型，重点考查等腰三角形的核心性质，熟练掌握相关性质即可快速判断各选项的正误，是等腰三角形章节的常规考题。
【难度系数】
0.9

3. 如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD$平分$∠ ABC$,$∠ A=36°$,则$∠ 1$的度数为 ()

A.$36°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$108°$

第3题图 第4题图

3. C

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先等腰△ABC中AB=AC，结合顶角∠A=36°，根据等腰三角形等边对等角的性质可先算出底角∠ABC和∠C的度数；再根据BD是∠ABC的角平分线，算出∠DBC的度数；最后在△BDC中利用三角形内角和为180°，就能求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，$∠ A=36°$，
∴ $∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×72°=36°$，
在△BDC中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠1=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的基础题型，解题逻辑连贯，只需要熟练掌握三角形和等腰三角形的基础性质，按步骤推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8

4. (2025湘潭模拟)马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带.如图，已知$OA=OB$，$∠ A=55°$，则$∠ BOD$的度数为.

4. 110°

【分析】
解题时先观察已知条件，看到OA=OB可判断△OAB是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可求出∠B的度数，再结合∠BOD是△OAB的外角，利用三角形外角的性质即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∴∠B=∠A=55°，
∵∠BOD是△OAB的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠BOD=∠A+∠B=55°+55°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活中的马扎场景考查几何基础性质的应用，解题关键是识别出等腰三角形，再结合外角性质计算角度，属于基础题。
【难度系数】
0.8

5. (2025 湖南模拟)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,AD=5,CD=3,则△ABC的面积为.

5. 15

【分析】
首先，题目给出等腰△ABC且AB=AC，AD是顶角∠BAC的角平分线，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形顶角的平分线同时是底边上的高和底边上的中线。由此可确定AD⊥BC，且D是BC的中点，先求出底边BC的长度，再结合三角形面积公式即可算出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得：AD⊥BC，且D为BC的中点
∴BC=2CD=2×3=6
则△ABC的面积 = $\frac{1}{2}×BC×AD$ = $\frac{1}{2}×6×5$ = 15
【答案】
15
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形“三线合一”性质的应用，解题的关键是通过性质明确AD是底边BC上的高，同时求出BC的长度，代入面积公式即可得到结果。
【难度系数】
0.8

6. (2025 南京期中)如图,在$△ ABC$中,点D在边AC上,$AB=BD=CD$.若$∠ A=50°$,求$∠ C$的度数.

6. 解:因为AB=BD,∠A=50°,
所以∠BDA=∠A=50°.
因为BD=DC,
所以∠DBC=∠C.
因为∠BDA是△BCD的外角，
所以∠BDA=∠DBC+∠C=2∠C，
∴∠C=25°.

【分析】
解题时先结合题目给出的等边条件，利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导角的等量关系：首先由AB=BD可知△ABD为等腰三角形，已知∠A的度数即可求出∠BDA的度数；再由BD=CD可知△BCD为等腰三角形，可得∠DBC=∠C；最后根据三角形外角的性质，△BCD的外角∠BDA等于不相邻的两个内角∠DBC与∠C的和，代入等量关系即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=BD，∠A=50°，
∴∠BDA=∠A=50°。
∵BD=DC，
∴∠DBC=∠C。
∵∠BDA是△BCD的外角，
∴∠BDA=∠DBC+∠C=2∠C，
∴∠C=50°÷2=25°。
【答案】
25°
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形外角性质的基础综合应用题，解题核心是通过“等边对等角”建立角的等量关系，再结合外角性质构造等式求解，解题时注意找准对应的等腰三角形和外角所属的三角形。
【难度系数】
0.8

7. (2025 长沙月考)如图，AD，CE 分别是$△ ABC$的中线和角平分线.若 $AB=AC$，$∠ CAD=20°$，则$∠ AEC$的度数是 （）


A.$95°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$110°$

7. C

【分析】
首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD是中线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD同时是顶角∠BAC的角平分线，先由∠CAD=20°求出顶角∠BAC的度数；再根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和求出底角∠ACB的度数；接下来CE是△ABC的角平分线，根据角平分线定义求出∠ACE的度数；最后在△AEC中，利用三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
∵AD是△ABC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC
已知∠CAD=20°，
∴∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°
∵等腰三角形两底角相等，
∴∠B=∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=½∠ACB=½×70°=35°
在△AEC中，根据三角形内角和为180°：
∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE=180°-40°-35°=105°
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质推导各角的数量关系，再结合角平分线定义和三角形内角和定理逐步求解，是等腰三角形相关性质的典型应用考题。
【难度系数】
0.7

8.(2025娄底模拟)等腰三角形的一个内角是$40°$,则它的底角是。

8. 40°或70°

【分析】
解题时首先回忆等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和为180°的定理。题目仅给出等腰三角形的一个内角是40°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：一是该40°角为顶角，二是该40°角为底角，分别计算底角度数后验证是否符合三角形内角和要求，最终确定所有符合条件的结果。
【解析】
解：已知等腰三角形的一个内角为40°，分两种情况讨论：
① 若40°的角是顶角，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，则底角的度数为：
$(180°-40°)÷ 2=70°$
② 若40°的角是底角，此时另一个底角也为40°，顶角为$180°-40°× 2=100°$，符合三角形内角和定理。
综上，该等腰三角形的底角为40°或70°。
【答案】
40°或70°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，易错点是忽略对已知内角是顶角还是底角的分类讨论，导致漏写答案，解题后要注意验证所得角度是否满足三角形内角和要求，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6

9. (2025广州期中)如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=7\ \mathrm{cm}$，$∠ B=50°$，$AD⊥ BC$于点$D$，点$E$在$AC$上且$AE=AD$。
(1)若$△ ABC$的周长是$22\ \mathrm{cm}$，求线段$BD$的长；
(2)求$∠ CDE$的度数。

9. 解:(1)因为AB=AC=7 cm,AD⊥BC,
所以BD=CD=$\frac{1}{2}$BC.
因为△ABC的周长是22 cm，
所以BC=22-AB-AC=8 cm，
所以BD=CD=4 cm，
所以线段BD的长为4 cm.
(2)因为AB=AC,∠B=50°,
所以∠C=∠B=50°.
因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°,
所以∠DAC=90°-50°=40°.
因为AD=AE,
所以∠ADE=∠AED=$\frac{180°-∠DAC}{2}$=70°,
所以∠CDE=∠ADC-∠ADE=20°,
所以∠CDE的度数为20°.

【分析】
(1) 首先由$AB=AC$可判断$△ ABC$是等腰三角形，结合$AD⊥ BC$，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得$D$是$BC$的中点，即$BD=\frac{1}{2}BC$。已知$△ ABC$的周长和两腰长，先求出$BC$的长度，再除以2即可得到$BD$的长。
(2) 先根据等腰三角形“等边对等角”的性质得$∠ C=∠ B=50°$，结合$AD⊥ BC$可得$∠ ADC=90°$，由此可求出$∠ DAC$的度数；再由$AD=AE$可知$△ ADE$是等腰三角形，根据三角形内角和定理求出$∠ ADE$的度数，最后用$∠ ADC$减去$∠ ADE$即可得到$∠ CDE$的度数。
【解析】
(1) $\because AB=AC=7\ \mathrm{cm}$，$AD⊥ BC$，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
$\because △ ABC$的周长是$22\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=22-AB-AC=22-7-7=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because AB=AC$，$∠ B=50°$，
根据等腰三角形等边对等角，得$∠ C=∠ B=50°$。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=90°-∠ C=90°-50°=40°$。
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ ADE=\frac{180°-∠ DAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
$\therefore ∠ CDE=∠ ADC-∠ ADE=90°-70°=20°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boldsymbol{20°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的核心是灵活运用等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合边长、角度的数量关系推导结果，属于三角形章节的常规考点，需熟练掌握这类题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8