1. 方程 $x^{2}-2x = 0$ 的解为( )

A.$x_{1}= 1$,$x_{2}= 2$
B.$x_{1}= 0$,$x_{2}= 1$
C.$x_{1}= 0$,$x_{2}= 2$
D.$x_{1}= \frac{1}{2}$,$x_{2}= 2$

C

解：$x^{2}-2x=0$
$x(x-2)=0$
$x=0$或$x-2=0$
$x_{1}=0$，$x_{2}=2$
C

2. 下列方程中,没有实数根的是( )

A.$2x + 3 = 0$
B.$x^{2}-3 = 0$
C.$\frac{2}{x + 1}= 1$
D.$x^{2}+x + 1 = 0$

D

A. $2x + 3 = 0$，解得$x=-\frac{3}{2}$，有实数根。
B. $x^2 - 3 = 0$，$x^2=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$，有实数根。
C. $\frac{2}{x + 1}=1$，两边同乘$x + 1$得$2 = x + 1$，解得$x=1$，经检验$x=1$是原方程的解，有实数根。
D. $x^2 + x + 1 = 0$，$\Delta=1^2 - 4×1×1=1 - 4=-3\lt0$，没有实数根。
D

3. 下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )

A.圆
B.等边三角形
C.平行四边形
D.正五边形

C

4. 已知一元二次方程 $x^{2}-6x + c = 0$ 有一个根为 2,则另一根为( )

A.2
B.3
C.4
D.8

C

设方程的另一根为$x_1$。
对于一元二次方程$x^2 - 6x + c = 0$，由韦达定理得$2 + x_1 = 6$。
解得$x_1 = 6 - 2 = 4$。
C

5. 公园里有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了 1 m,另一边减少了 2 m,剩余空地的面积为 $18 m^{2}$,求原正方形的边长。设原正方形空地的边长为 $x$ m,则可列方程为( )

A.$(x + 1)(x + 2)= 18$
B.$x^{2}-3x + 16 = 0$
C.$(x - 1)(x - 2)= 18$
D.$x^{2}+3x + 16 = 0$

C

设原正方形空地的边长为 $x$ m，一边减少 $1$ m 后为 $(x - 1)$ m，另一边减少 $2$ m 后为 $(x - 2)$ m，剩余空地面积为 $(x - 1)(x - 2)$ $m^2$，依题意可列方程为 $(x - 1)(x - 2) = 18$。
C

6. 将抛物线 $y = 3x^{2}$ 向上平移 5 个单位长度,再向左平移 3 个单位长度,那么得到的抛物线的解析式为( )

A.$y = 3(x - 3)^{2}+5$
B.$y = 3(x + 3)^{2}+5$
C.$y = 3(x - 3)^{2}-5$
D.$y = 3(x + 3)^{2}-5$

B

抛物线平移规律：左加右减，上加下减。
原抛物线解析式为$y = 3x^{2}$。
向上平移5个单位长度，得$y = 3x^{2}+5$。
再向左平移3个单位长度，得$y = 3(x + 3)^{2}+5$。
B

7. 对于二次函数 $y = -x^{2}+2x - 3$,下列说法正确的是( )

A.图象的开口向上
B.当 $x = 1$ 时,$y$ 有最大值 - 2
C.当 $x＞0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大
D.图象与 $x$ 轴有两个交点

B

对于二次函数$y = -x^{2}+2x - 3$：
因为二次项系数$-1\lt0$，所以图象开口向下，A错误；
将函数化为顶点式：$y=-(x - 1)^{2}-2$，顶点坐标为$(1,-2)$，由于开口向下，当$x = 1$时，$y$有最大值$-2$，B正确；
对称轴为直线$x = 1$，开口向下，所以当$x\lt1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x\gt1$时，$y$随$x$的增大而减小，C错误；
判别式$\Delta=2^{2}-4×(-1)×(-3)=4 - 12=-8\lt0$，所以图象与$x$轴没有交点，D错误。
B

8. 点$(-5,2)$关于原点的对称点的坐标为( )

A.$(-5,-2)$
B.$(-5,2)$
C.$(5,2)$
D.$(5,-2)$

D

在平面直角坐标系中，点$(a,b)$关于原点对称的点的坐标为$(-a,-b)$。
对于点$(-5,2)$，其关于原点对称的点的横坐标为$-(-5)=5$，纵坐标为$-2$，即对称点的坐标为$(5,-2)$。
D

9. 二次函数 $y = ax^{2}+bx + c$ 图象上部分点的坐标满足下表：
| $x$ | …$$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | …$$ |
| $y$ | …$$ | $-3$ | $-2$ | $-3$ | $-6$ | $-11$ | …$$ |

则该函数图象的顶点坐标为( )

A.$(-3,-3)$
B.$(-2,-2)$
C.$(-1,-3)$
D.$(0,-6)$

B

解：设二次函数为$y = ax^2 + bx + c$。
由表中数据，当$x=-3$时，$y=-3$，得$9a - 3b + c=-3$；
当$x=-2$时，$y=-2$，得$4a - 2b + c=-2$；
当$x=-1$时，$y=-3$，得$a - b + c=-3$。
联立方程组：
$\begin{cases}9a - 3b + c = -3 \\4a - 2b + c = -2 \\a - b + c = -3\end{cases}$
用第一个方程减第三个方程：$8a - 2b = 0$，即$4a - b = 0$，$b = 4a$。
用第二个方程减第三个方程：$3a - b = 1$。
将$b = 4a$代入$3a - b = 1$，得$3a - 4a = 1$，$-a = 1$，$a=-1$。
则$b = 4×(-1)=-4$。
将$a=-1$，$b=-4$代入第三个方程：$-1 - (-4) + c=-3$，$3 + c=-3$，$c=-6$。
所以二次函数解析式为$y=-x^2 - 4x - 6$。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×(-1)}=-2$。
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2 - 4×(-2) - 6=-4 + 8 - 6=-2$。
顶点坐标为$(-2,-2)$。
B

10. 已知 $A$,$B$,$C$ 是直线 $l$ 上互不重合的三个点,$AB = x^{2}-2x + 3$,$AC = mx$,$BC = 2mx + 1$,其中 $x＞0$,$m＞0$。下列说法正确的个数是( )
① 当 $m= \frac{1}{3}$ 时,点 $C$ 在 $A$,$B$ 之间；
② 当 $\frac{3}{4}＜m＜\frac{7}{4}$ 时,点 $A$ 在 $B$,$C$ 之间；
③ 至少存在一个 $m$ 的值,使点 $B$ 在 $A$,$C$ 之间。

A.0
B.1
C.2
D.3

B

①当$m = \frac{1}{3}$时，$AC=\frac{1}{3}x$，$BC=\frac{2}{3}x + 1$。若点$C$在$A$，$B$之间，则$AB=AC + BC$，即$x^{2}-2x + 3=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}x + 1$，化简得$x^{2}-3x + 2 = 0$，解得$x = 1$或$x = 2$。当$x = 1$时，$AB = 1 - 2 + 3 = 2$，$AC=\frac{1}{3}$，$BC=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$，$AC + BC=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}=2 = AB$；当$x = 2$时，$AB = 4 - 4 + 3 = 3$，$AC=\frac{2}{3}$，$BC=\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}$，$AC + BC=\frac{2}{3}+\frac{7}{3}=3 = AB$，故①正确。
②若点$A$在$B$，$C$之间，则$BC=AB + AC$，即$2mx + 1=x^{2}-2x + 3+mx$，化简得$x^{2}-(m + 2)x + 2 = 0$。判别式$\Delta=(m + 2)^{2}-8$，当$\Delta\geq0$时方程有实根，$(m + 2)^{2}\geq8$，$m + 2\geq2\sqrt{2}$或$m + 2\leq - 2\sqrt{2}$（舍去），$m\geq2\sqrt{2}-2\approx0.828$。当$m=\frac{3}{4}=0.75$时，$\Delta=(0.75 + 2)^{2}-8=(2.75)^{2}-8 = 7.5625 - 8=-0.4375＜0$，方程无实根；当$m = 1$时，方程为$x^{2}-3x + 2 = 0$，$x = 1$或$x = 2$，存在$x＞0$，但$\frac{3}{4}＜m＜\frac{7}{4}$包含$m = 0.8$（$0.8＜2\sqrt{2}-2$），此时方程无实根，故②错误。
③若点$B$在$A$，$C$之间，则$AC=AB + BC$，即$mx=x^{2}-2x + 3+2mx + 1$，化简得$x^{2}+(m - 2)x + 4 = 0$。判别式$\Delta=(m - 2)^{2}-16$，$\Delta\geq0$时，$(m - 2)^{2}\geq16$，$m - 2\geq4$或$m - 2\leq - 4$，$m\geq6$或$m\leq - 2$（舍去）。当$m = 6$时，方程为$x^{2}+4x + 4 = 0$，$x=-2$（舍去），故方程无正根，③错误。
综上，正确的个数是$1$。
B