1. 下列有两个不相等的实数根的方程是( )

A.$(x - 1)^2 = 0$
B.$x^2 + 2x - 19 = 0$
C.$x^2 + 4 = 0$
D.$x^2 + x + 1 = 0$

B

A. $(x - 1)^2 = 0$，判别式$\Delta = 0$，有两个相等的实数根；
B. $x^2 + 2x - 19 = 0$，判别式$\Delta = 2^2 - 4×1×(-19) = 4 + 76 = 80 ＞ 0$，有两个不相等的实数根；
C. $x^2 + 4 = 0$，判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×4 = -16 ＜ 0$，没有实数根；
D. $x^2 + x + 1 = 0$，判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，没有实数根；
B

2. 设$x_1$,$x_2是一元二次方程x^2 - 2x - 4 = 0$的两根,则$x_1^2 + x_2^2$等于( )

A.6
B.8
C.10
D.12

D

对于一元二次方程$x^2 - 2x - 4 = 0$，由韦达定理得：$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2=-4$。
$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2-2x_1x_2=2^2-2×(-4)=4 + 8=12$
D

3. 某地计划扩大城区绿地面积,现有一块长方形绿地,它的短边长为 60 m,若将短边增大到与长边相等(长边不变),使扩大后的绿地的形状是正方形,则扩大后的绿地面积比原来增加 1600 m^2。设扩大后的正方形绿地边长为$x$m,下面所列方程正确的是( )

A.$x(x - 60) = 1600$
B.$x(x + 60) = 1600$
C.$60(x + 60) = 1600$
D.$60(x - 60) = 1600$

A

设扩大后的正方形绿地边长为$x$m，则原长方形绿地的长边为$x$m，短边为$60$m。
原长方形绿地面积为$60x$ $m^2$，扩大后正方形绿地面积为$x^2$ $m^2$。
因为扩大后的绿地面积比原来增加$1600$ $m^2$，所以$x^2 - 60x = 1600$，即$x(x - 60) = 1600$。
A

4. 当$k$______时,方程$(k - 5)x^2 + 2x - 4k = 0是关于x$的一元二次方程。

≠5

5. 一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的根是______。

$x_{1}=0,x_{2}=2$

解：$x(x - 2) = 0$
$x = 0$或$x - 2 = 0$
$x_{1}=0$，$x_{2}=2$

6. 若关于$x的方程x^2 - x + a - 4 = 0$有两个不相等的实数根,写出一个满足条件的整数$a$的值：$a = $______。

答案不唯一，取小于或等于4的整数即可

方程$x^2 - x + a - 4 = 0$有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(a - 4) ＞ 0$，即$1 - 4(a - 4) ＞ 0$，$1 - 4a + 16 ＞ 0$，$17 - 4a ＞ 0$，$4a ＜ 17$，$a ＜ \frac{17}{4} = 4.25$。满足条件的整数$a$可以是$4$。
$a = 4$

7. 已知方程$x^2 + mx + 3 = 0$的一个根是 1,则它的另一个根是______,$m$的值是______。

3,-4

设方程的另一个根为$x_1$。
由韦达定理得：$1 × x_1 = 3$，解得$x_1 = 3$；
$1 + x_1 = -m$，将$x_1 = 3$代入得$1 + 3 = -m$，解得$m = -4$。
3,-4

8. 已知关于$x的方程x^2 + 2x - k = 0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值范围是______。

$k＞-1$

解：对于方程$x^2 + 2x - k = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-k$。
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-k) = 4 + 4k$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta ＞ 0$，即$4 + 4k ＞ 0$，解得$k ＞ -1$。
$k ＞ -1$

9. 如果$m$,$n$是两个不相等的实数,且满足$m^2 - m = 3$,$n^2 - n = 3$,那么代数式$2n^2 - mn + 2m + 2025 = $______。

2 036

由题意知，$m$，$n$是方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个不相等的实数根，
所以$m + n = 1$，$mn = -3$，且$n^2 = n + 3$。
$2n^2 - mn + 2m + 2025$
$= 2(n + 3) - mn + 2m + 2025$
$= 2n + 6 - mn + 2m + 2025$
$= 2(m + n) - mn + 2031$
将$m + n = 1$，$mn = -3$代入上式，得：
$2×1 - (-3) + 2031 = 2 + 3 + 2031 = 2036$
2036

10. 解下列一元二次方程：
(1)$x^2 - 4x - 45 = 0$；
(2)$x(x + 4) = - 3(x + 4)$；
(3)$(4x - 1)^2 - 5 = 0$；
(4)$(x + 3)^2 = 2x + 5$；
(5)$(2x + 1)(x - 3) = - 6$；
(6)$x^2 - 4\sqrt{2}x + 8 = 0$。

（1）$x_{1}=-5,x_{2}=9$；（2）$x_{1}=-4,x_{2}=-3$；（3）$x_{1}= \frac{1+\sqrt{5}}{4},x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$；（4）$x_{1}=x_{2}=-2$；（5）$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=1$；（6）$x_{1}=x_{2}=2\sqrt{2}$

（1）解：$x^2 - 4x - 45 = 0$，因式分解得$(x - 9)(x + 5) = 0$，则$x - 9 = 0$或$x + 5 = 0$，解得$x_1 = 9$，$x_2 = -5$。
（2）解：$x(x + 4) = -3(x + 4)$，移项得$x(x + 4) + 3(x + 4) = 0$，因式分解得$(x + 4)(x + 3) = 0$，则$x + 4 = 0$或$x + 3 = 0$，解得$x_1 = -4$，$x_2 = -3$。
（3）解：$(4x - 1)^2 - 5 = 0$，移项得$(4x - 1)^2 = 5$，开平方得$4x - 1 = \pm\sqrt{5}$，则$4x = 1 \pm\sqrt{5}$，解得$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$。
（4）解：$(x + 3)^2 = 2x + 5$，展开得$x^2 + 6x + 9 = 2x + 5$，移项合并同类项得$x^2 + 4x + 4 = 0$，即$(x + 2)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = -2$。
（5）解：$(2x + 1)(x - 3) = -6$，展开得$2x^2 - 6x + x - 3 = -6$，移项合并同类项得$2x^2 - 5x + 3 = 0$，因式分解得$(2x - 3)(x - 1) = 0$，则$2x - 3 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = 1$。
（6）解：$x^2 - 4\sqrt{2}x + 8 = 0$，因式分解得$(x - 2\sqrt{2})^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 2\sqrt{2}$。