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1. 利用加减消元法解方程组 $\begin{cases}x - 2y = 7① \\ 3x + 4y = -1②\end{cases} $,下列做法正确的是(
A.要消去 $x$,可以将① $× 3 +$ ②
B.要消去 $x$,可以将① $× (-3) +$ ②
C.要消去 $y$,可以将① $× 3 +$ ②
D.要消去 $y$,可以将① $× (-3) +$ ②
B
)A.要消去 $x$,可以将① $× 3 +$ ②
B.要消去 $x$,可以将① $× (-3) +$ ②
C.要消去 $y$,可以将① $× 3 +$ ②
D.要消去 $y$,可以将① $× (-3) +$ ②
答案
B
解析
要解方程组 $\begin{cases}x - 2y = 7 \quad ① \\ 3x + 4y = -1 \quad ②\end{cases}$，
选项A、B（消去$x$）：
若消去$x$，需使两方程中$x$的系数互为相反数。
①$× (-3)$得：$-3x + 6y = -21$，与②相加可消去$x$，即①$× (-3) +$②。
选项A的①$× 3 +$②无法消去$x$，错误；选项B正确。
选项C、D（消去$y$）：
若消去$y$，需使$y$的系数相同或互为相反数。
①$× 2$得：$2x - 4y = 14$，与②相加可消去$y$，但选项中无此操作。
选项C的①$× 3 +$②无法消去$y$；选项D的①$× (-3) +$②也无法消去$y$，均错误。
选项A、B（消去$x$）：
若消去$x$，需使两方程中$x$的系数互为相反数。
①$× (-3)$得：$-3x + 6y = -21$，与②相加可消去$x$，即①$× (-3) +$②。
选项A的①$× 3 +$②无法消去$x$，错误；选项B正确。
选项C、D（消去$y$）：
若消去$y$，需使$y$的系数相同或互为相反数。
①$× 2$得：$2x - 4y = 14$，与②相加可消去$y$，但选项中无此操作。
选项C的①$× 3 +$②无法消去$y$；选项D的①$× (-3) +$②也无法消去$y$，均错误。
2. 已知关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2ax + by = 3 \\ ax - by = 1\end{cases} $ 的解为 $\begin{cases}x = 1 \\ y = -1\end{cases} $,那么 $a - 2b$ 的值是(
A.$-2$
B.$2$
C.$3$
D.$-3$
B
)A.$-2$
B.$2$
C.$3$
D.$-3$
答案
B
解析
将$\begin{cases}x=1 \\ y=-1\end{cases}$代入方程组得：
$\begin{cases}2a×1 + b×(-1) = 3 \\ a×1 - b×(-1) = 1\end{cases}$，即$\begin{cases}2a - b = 3 \\ a + b = 1\end{cases}$
两式相加：$3a = 4$，解得$a = \frac{4}{3}$
将$a = \frac{4}{3}$代入$a + b = 1$，得$b = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$
$a - 2b = \frac{4}{3} - 2×(-\frac{1}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2$
$\begin{cases}2a×1 + b×(-1) = 3 \\ a×1 - b×(-1) = 1\end{cases}$，即$\begin{cases}2a - b = 3 \\ a + b = 1\end{cases}$
两式相加：$3a = 4$，解得$a = \frac{4}{3}$
将$a = \frac{4}{3}$代入$a + b = 1$，得$b = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$
$a - 2b = \frac{4}{3} - 2×(-\frac{1}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2$
3. 已知 $x$,$y$ 满足二元一次方程组 $\begin{cases}2x + 3y = 5 \\ 3x + 2y = 3\end{cases} $,则 $x - y$ 的值为(
A.$-2$
B.$2$
C.$4$
D.$-4$
A
)A.$-2$
B.$2$
C.$4$
D.$-4$
答案
A
解析
$\begin{cases}2x + 3y = 5 &① \\ 3x + 2y = 3 &②\end{cases}$，②-①得：$(3x + 2y)-(2x + 3y)=3-5$，即$x - y=-2$
4. 方程组 $\begin{cases}2x + y = 1 \\ x + y = 0\end{cases} $ 的解为
$\begin{cases}x = 1 \\y = -1\end{cases}$
。答案
$\begin{cases}x = 1 \\y = -1\end{cases}$（由于本题为填空题，直接给出解即可，无需选择选项。）
解析
给定方程组为：
$\begin{cases}2x + y = 1 \quad (1) \\x + y = 0 \quad (2)\end{cases}$
从(2)式中解出 $y$：
$y = -x \quad (3)$
将(3)式代入(1)式中，得：
$2x - x = 1$
即$x = 1$
将 $x = 1$ 代入(3)式中，得：
$y = -1$
因此，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 1 \\y = -1\end{cases}$
$\begin{cases}2x + y = 1 \quad (1) \\x + y = 0 \quad (2)\end{cases}$
从(2)式中解出 $y$：
$y = -x \quad (3)$
将(3)式代入(1)式中，得：
$2x - x = 1$
即$x = 1$
将 $x = 1$ 代入(3)式中，得：
$y = -1$
因此，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 1 \\y = -1\end{cases}$
5. 已知方程组 $\begin{cases}x + y = 7 \\ 3x - 5y = -3\end{cases} $,则 $3(x + y)(3x - 5y)$ 的值是
-63
。答案
-63
解析
由方程组可知$x + y = 7$，$3x - 5y = -3$，则$3(x + y)(3x - 5y)=3×7×(-3)=-63$
6. 若实数 $a$,$b$ 满足 $(4a - 3b)^2 + \sqrt{2a - b - 2} = 0$,则 $ab$ 的平方根为
$\pm2\sqrt{3}$
。答案
$\pm2\sqrt{3}$
解析
因为一个数的平方和算术平方根都是非负数，且它们的和为0，所以可得方程组：
$\begin{cases}4a - 3b = 0 \\2a - b - 2 = 0\end{cases}$
由第二个方程得：$b = 2a - 2$，代入第一个方程：$4a - 3(2a - 2) = 0$，解得$a = 3$，则$b = 2×3 - 2 = 4$，所以$ab = 3×4 = 12$，$ab$的平方根为$\pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$。
$\begin{cases}4a - 3b = 0 \\2a - b - 2 = 0\end{cases}$
由第二个方程得：$b = 2a - 2$，代入第一个方程：$4a - 3(2a - 2) = 0$，解得$a = 3$，则$b = 2×3 - 2 = 4$，所以$ab = 3×4 = 12$，$ab$的平方根为$\pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$。
7. 解方程组：
(1) $\begin{cases}2x - 3y = 7① \\ x + 3y = -1②\end{cases} $；
(2) $\begin{cases}3x + y = 8① \\ 3x - y = 4②\end{cases} $；
(3) $\begin{cases}2x + 5y = 8① \\ x - 3y = -7②\end{cases} $；
(4) $\begin{cases}4x + 3y = 3① \\ 3x + 5y = -6②\end{cases} $。
(1) $\begin{cases}2x - 3y = 7① \\ x + 3y = -1②\end{cases} $；
(2) $\begin{cases}3x + y = 8① \\ 3x - y = 4②\end{cases} $；
(3) $\begin{cases}2x + 5y = 8① \\ x - 3y = -7②\end{cases} $；
(4) $\begin{cases}4x + 3y = 3① \\ 3x + 5y = -6②\end{cases} $。
答案
(1)
①$+$②得：
$2x - 3y+x + 3y=7-1$
$3x = 6$
$x = 2$
把$x = 2$代入②得：
$2+3y=-1$
$3y=-3$
$y = -1$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$。
(2)
①$+$②得：
$3x + y+3x - y=8 + 4$
$6x = 12$
$x = 2$
把$x = 2$代入①得：
$3×2+y=8$
$6+y=8$
$y = 2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$。
(3)
由②得：
$x=3y - 7$ ③
把③代入①得：
$2(3y - 7)+5y=8$
$6y-14 + 5y=8$
$11y=22$
$y = 2$
把$y = 2$代入③得：
$x=3×2-7$
$x=-1$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -1 \\ y = 2 \end{cases}$。
(4)
①$×5-$②$×3$得：
$5(4x + 3y)-3(3x + 5y)=5×3-3×(-6)$
$20x+15y - 9x - 15y=15 + 18$
$11x=33$
$x = 3$
把$x = 3$代入①得：
$4×3+3y=3$
$12+3y=3$
$3y=-9$
$y = -3$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = -3 \end{cases}$。
①$+$②得：
$2x - 3y+x + 3y=7-1$
$3x = 6$
$x = 2$
把$x = 2$代入②得：
$2+3y=-1$
$3y=-3$
$y = -1$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$。
(2)
①$+$②得：
$3x + y+3x - y=8 + 4$
$6x = 12$
$x = 2$
把$x = 2$代入①得：
$3×2+y=8$
$6+y=8$
$y = 2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$。
(3)
由②得：
$x=3y - 7$ ③
把③代入①得：
$2(3y - 7)+5y=8$
$6y-14 + 5y=8$
$11y=22$
$y = 2$
把$y = 2$代入③得：
$x=3×2-7$
$x=-1$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -1 \\ y = 2 \end{cases}$。
(4)
①$×5-$②$×3$得：
$5(4x + 3y)-3(3x + 5y)=5×3-3×(-6)$
$20x+15y - 9x - 15y=15 + 18$
$11x=33$
$x = 3$
把$x = 3$代入①得：
$4×3+3y=3$
$12+3y=3$
$3y=-9$
$y = -3$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = -3 \end{cases}$。
8. 解方程组：
(1) $\begin{cases}x - 3y = 5① \\ 2x + y = 5②\end{cases} $；
(2) $\begin{cases}2x + 2y = 8① \\ 2x - 2y = 4②\end{cases} $；
(3) $\begin{cases}3x - 2y = 7① \\ 5x - 4y = 10②\end{cases} $；
(4) $\begin{cases}3x - 2y = 6① \\ 2x + 3y = 17②\end{cases} $。
(1) $\begin{cases}x - 3y = 5① \\ 2x + y = 5②\end{cases} $；
(2) $\begin{cases}2x + 2y = 8① \\ 2x - 2y = 4②\end{cases} $；
(3) $\begin{cases}3x - 2y = 7① \\ 5x - 4y = 10②\end{cases} $；
(4) $\begin{cases}3x - 2y = 6① \\ 2x + 3y = 17②\end{cases} $。
答案
(1)
解：由①得$x = 3y + 5$③
将③代入②：$2(3y + 5) + y = 5$
$6y + 10 + y = 5$
$7y = -5$
$y = -\frac{5}{7}$
将$y = -\frac{5}{7}$代入③：$x = 3(-\frac{5}{7}) + 5 = \frac{20}{7}$
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{20}{7} \\ y = -\frac{5}{7}\end{cases}$
(2)
解：①+②得$4x = 12$
$x = 3$
①-②得$4y = 4$
$y = 1$
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}$
(3)
解：①×2得$6x - 4y = 14$③
③-②得$x = 4$
将$x = 4$代入①：$3×4 - 2y = 7$
$12 - 2y = 7$
$-2y = -5$
$y = \frac{5}{2}$
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = 4 \\ y = \frac{5}{2}\end{cases}$
(4)
解：①×3得$9x - 6y = 18$③
②×2得$4x + 6y = 34$④
③+④得$13x = 52$
$x = 4$
将$x = 4$代入①：$3×4 - 2y = 6$
$12 - 2y = 6$
$-2y = -6$
$y = 3$
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = 4 \\ y = 3\end{cases}$
解：由①得$x = 3y + 5$③
将③代入②：$2(3y + 5) + y = 5$
$6y + 10 + y = 5$
$7y = -5$
$y = -\frac{5}{7}$
将$y = -\frac{5}{7}$代入③：$x = 3(-\frac{5}{7}) + 5 = \frac{20}{7}$
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{20}{7} \\ y = -\frac{5}{7}\end{cases}$
(2)
解：①+②得$4x = 12$
$x = 3$
①-②得$4y = 4$
$y = 1$
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}$
(3)
解：①×2得$6x - 4y = 14$③
③-②得$x = 4$
将$x = 4$代入①：$3×4 - 2y = 7$
$12 - 2y = 7$
$-2y = -5$
$y = \frac{5}{2}$
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = 4 \\ y = \frac{5}{2}\end{cases}$
(4)
解：①×3得$9x - 6y = 18$③
②×2得$4x + 6y = 34$④
③+④得$13x = 52$
$x = 4$
将$x = 4$代入①：$3×4 - 2y = 6$
$12 - 2y = 6$
$-2y = -6$
$y = 3$
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = 4 \\ y = 3\end{cases}$
